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高校数学C 偏角と角の範囲—象限と周期を確かめて角の候補を整理する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 複素数平面を掘り下げる

逆正接の値から象限を選び、指定区間の端点まで点検する偏角の整理法をたどります。

よくあるのは、理系高3が逆正接の値だけで象限を決める場面です。虚部を実部で割ると正の値になったので、第1象限の角を書いてしまう。しかし実部と虚部がともに負なら、点は第3象限にあります。比の符号は角の候補を絞りますが、点の位置まで決めるものではありません。実部と虚部を先に見て、角を選んだ後で指定区間へ移す順番を身につけましょう。

どこで角を選び直すか

偏角を問う問題には、まず座標から角を求める型があります。実部と虚部の符号で象限を決め、正接の値と特殊角を照合します。次に、ある偏角が与えられていて、別の区間の代表値を求める型があります。この場合は 2π の整数倍を加減し、端点が含まれるかまで確認します。

もう1つは、文字を含む点について、偏角が存在する条件と範囲を同時に調べる型です。点が原点になる値では作業を止めます。原点でない場合も、実軸や虚軸上にある境目を別に扱うと、象限を分け損ないません。角を求める計算と、その角が採用できるかの判定を分けることが、後戻りを減らします。

原点からの向きと 1 周の違い

複素数 z = x + yi に対応する点を P(x, y) とします。z が 0 でなければ、正の実軸から半直線 OP まで反時計回りに測った角を z の偏角といいます。時計回りに測る角は負で表します。半直線は 1 周しても元に戻るので、θ が偏角なら θ + 2kπ も偏角です。ここで k は整数です。逆に同じ非零の点の偏角は、この形で表せます。

角は弧度法で表します。半径と同じ長さの弧に対する中心角が 1 ラジアンで、半周は π、1 周は 2π です。したがって直角は π/2 です。度数法と混ぜて 180 を加えることはしません。点が原点なら半直線 OP の向きが決まらないため、0 の偏角は定義されません。

図1のように、正接が同じでも半直線が逆向きのことがあります。例えば座標 (1, 1) と (-1, -1) では虚部を実部で割った値がともに 1 ですが、向きは π だけ異なります。図1では矢印の向きと点の符号を合わせて読みます。

x が 0 でないとき、偏角 θ は tan θ = y/x を満たします。ただし正接は π ごとに同じ値を取るので、この式だけでは向きを特定できません。例えば逆正接で得た角が -π/4 でも、点の実部が負で虚部が正なら、第2象限の 3π/4 が候補です。逆正接の値は出発点であって、点の符号による選別が必要です。

x = 0 では y/x を計算できません。y > 0 なら π/2、y < 0 なら -π/2 を代表として使えます。y = 0 で x > 0 なら 0、x < 0 なら π を使えます。x = y = 0 は別扱いです。象限には軸上の点を含めず、軸上の向きを直接判断します。

代表値とは、無数にある偏角から指定区間に入る値を選んだものです。例えば -π < θ ≤ π とすれば、負の実軸の代表値は π であり、-π は含みません。一方、0 ≤ θ < 2π では負の実軸の代表値も π です。両端をともに含む長さ 2π の区間なら同じ向きの値が2つ入ることがあるので、区間の不等号を省略できません。

符号と区間を表で照らす

点が軸上にないときは、実部と虚部の符号を別々に読みます。両方が正なら第1象限、実部が負で虚部が正なら第2象限、両方が負なら第3象限、実部が正で虚部が負なら第4象限です。正接の符号は順に正、負、正、負となります。したがって正接が正という情報は第1象限と第3象限のいずれにも当てはまり、それだけで半直線を決めることはできません。

区間の長さが 2π で、一方の端点を含み他方を含まない場合には、どの方向についても代表値がちょうど1つあります。角を 2π ずつ動かせばその区間に入り、2つ入ったと仮定するとその差は 2π の非零の整数倍です。しかし区間内の2値の差の絶対値は 2π 未満なので矛盾します。端点が両方含まれる区間では、差がちょうど 2π の両端が同じ方向を表す場合があり、この説明は使えません。

たとえば負の実軸について、0 ≤ θ ≤ 2π では π が1つ入りますが、正の実軸については 0 と 2π の2つが入ります。反対に 0 < θ < 2π では正の実軸の代表値がありません。条件の不等号を見ずに「1周分だから必ず1つ」と考えると、端点で失敗します。解答では、得られた値の範囲と元の方向を別々に確かめます。

基本例題：逆正接の後で象限を見る

点 z = -2 + 2i の偏角のうち、-π < θ ≤ π を満たす θ を求めてください。答えは π を用いた正確な値で表します。

実部は -2、虚部は 2 なので、z は 0 でなく第2象限にあります。実部が非零だから、正接を計算できます。

tan θ = 2/(-2)
      = -1

正接が -1 となる基準の鋭角は π/4 です。第2象限では正の実軸から反時計回りに半周より π/4 手前なので、候補は次のとおりです。

θ = π - π/4
  = 3π/4

図2のように (-2, 2) は左上にあります。3π/4 は指定区間に入るので、答えは 3π/4 です。図2の横と縦の長さは等しく、基準の鋭角が π/4 であることにも対応します。

逆に 3π/4 の余弦は負、正弦は正で、座標の符号に一致します。また正接は -1 で、与えられた虚部と実部の比に戻ります。-π/4 も正接は -1 ですが、右下を向くので元の点には対応しません。検算では値を式へ戻すだけでなく、向きまで戻します。

標準例題：端点を含むかで代表値を選ぶ

非零の複素数 w の偏角の1つが -13π/6 です。0 ≤ θ < 2π を満たす偏角 θ を正確に求めてください。

偏角は 2π の整数倍だけ変えてよいので、まず -13π/6 に 2π を加えます。

-13π/6 + 2π = -13π/6 + 12π/6
               = -π/6

まだ負なので、さらに 2π を加えます。

-π/6 + 2π = -π/6 + 12π/6
             = 11π/6

0 ≤ 11π/6 < 2π ですから、答えは 11π/6 です。逆に差を取ると 11π/6 − (-13π/6) = 24π/6 = 4π で、2周分です。したがって元の向きへ戻ります。例えば計算結果が 2π になった場合、その区間では右端が含まれないので 0 に直します。左端が含まれることまで確認して初めて選択が完了します。

区間への調整は、角が正か負かだけで済ませないことが肝心です。-π < θ ≤ π なら 11π/6 は上限を超えるので、2π を引いて -π/6 になります。どちらも同じ向きですが、求める代表値は指定によって変わります。整数倍を一度に加える方法も使えますが、最後に差が 2π の整数倍かを調べます。

発展例題：原点と軸上の境目を分ける

実数 t に対し z = (t − 1) + (t − 1)i とします。偏角 θ の代表値を -π < θ ≤ π とするとき、t の値に応じて θ を求め、偏角が存在しない場合も示してください。答えは π を用いた正確な値で表します。

まず実部と虚部が同時に 0 となる条件を調べます。

t - 1 = 0
t = 1

このとき z = 0 なので偏角はありません。次に t > 1 なら実部と虚部はともに正です。比は次のようになります。

(t - 1)/(t - 1) = 1

ここでは t − 1 > 0 なので割れます。第1象限で正接が 1 の角は π/4 です。これは指定区間に入ります。

一方 t < 1 なら実部と虚部はともに負です。t − 1 は非零なので同じ比 1 を得ますが、点は第3象限にあります。正の向きに測った候補は 5π/4 で、指定区間を超えます。

5π/4 - 2π = 5π/4 - 8π/4
             = -3π/4

よって t > 1 なら θ = π/4、t < 1 なら θ = -3π/4、t = 1 なら偏角は未定義です。前の2つの角の余弦と正弦はそれぞれ同符号で、対応する点の符号に戻ります。t = 1 では割り算の分母も 0 ですから、比を約分してから原点の可能性を忘れることはできません。

分かれ目は、比が同じかどうかではなく、半直線の向きが同じかどうかです。符号が両方反転すると点は原点の反対側へ移り、偏角は π ずれます。境界 t = 1 を先に除く方法は、計算途中で存在しない方向を作らないための手順です。

誤答を向きに戻して直す

z = -3 − 3i に対し、tan θ = 1 から θ = π/4 と答えたとします。比の計算は正しいのですが、π/4 の方向は右上です。元の点は左下なので、図3のように矢印が反対を向きます。図3の2つの点は同じ直線上にあっても、原点からの半直線は異なります。

修正するには実部と虚部の符号に戻り、第3象限を選びます。0 ≤ θ < 2π なら 5π/4、-π < θ ≤ π なら -3π/4 です。どちらも正接は 1 ですが、区間の指定に応じて書き分けます。π/4 と 5π/4 の差は π であって、同じ偏角どうしの差である 2π の整数倍ではありません。

別の誤りは、虚軸上の点について実部で割ろうとすることです。例えば正の虚軸なら比を作らず π/2 と読みます。さらに原点で「角は 0」とする誤りもありますが、0 は正の実軸上の非零点の向きです。原点には方向そのものがないため、区別が必要です。端点の誤りには、答えを不等式に代入して左辺と右辺を順に確認する方法が有効です。

練習：角と区間を別々に点検する

次の問題はすべて正確な値で答えてください。偏角の代表値は、各問に書いた区間で選びます。

z = 4 − 4i の偏角 θ を -π < θ ≤ π で求めてください。
z = -5i の偏角 θ を 0 ≤ θ < 2π で求めてください。
非零の複素数の偏角の1つが 17π/3 です。-π < θ ≤ π にある偏角 θ を求めてください。
z = -6 の偏角 θ を -π ≤ θ < π で求めてください。
実数 s に対し z = (s + 2) − (s + 2)i とします。-π < θ ≤ π にある偏角 θ を s によって分類し、存在しない場合も示してください。

練習の答えと戻し方

実部は正、虚部は負なので第4象限です。実部は非零で、虚部と実部の比は (-4)/4 = -1 です。基準の鋭角は π/4 なので、指定区間の答えは θ = -π/4 です。余弦は正、正弦は負で、比も -1 となり、右下の点に戻ります。
実部が 0、虚部が負なので負の虚軸を向きます。-π/2 は同じ向きですが指定区間の外です。

-π/2 + 2π = 3π/2

答えは θ = 3π/2 です。これは 0 以上 2π 未満で、下向きの半直線に戻ります。実部で割る操作は行えません。

2π = 6π/3 を使って整数倍を引きます。

17π/3 - 2π = 11π/3
11π/3 - 2π = 5π/3
5π/3 - 2π = -π/3

-π < -π/3 ≤ π なので答えは θ = -π/3 です。元の角との差は 17π/3 − (-π/3) = 6π で、3周分です。したがって方向も一致します。

負の実軸の方向は π ですが、この問の右端 π は含まれません。

π - 2π = -π

左端は含まれるので、答えは θ = -π です。半周を時計回りに測っても負の実軸へ到達します。区間の両端の記号を逆に読むと、同じ向きの値でも条件を満たさなくなります。

s = -2 なら実部と虚部がともに 0 なので偏角は未定義です。s > -2 なら実部は正、虚部は負で第4象限です。

-(s + 2)/(s + 2) = -1
θ = -π/4

s < -2 なら実部は負、虚部は正で第2象限です。同じ比 -1 から基準角 π/4 を用いて、次を得ます。

θ = π - π/4
  = 3π/4

分母 s + 2 が非零であることをそれぞれの場合で確認しました。-π/4 は右下、3π/4 は左上を向き、元の実部と虚部の符号に戻ります。両方とも指定区間内です。

要点

偏角は非零の点の方向で、同じ方向の角は 2π の整数倍だけ異なります。正接の値に加え、実部と虚部の符号で象限を選びます。軸上と原点を先に分け、最後に指定区間の端点を調べます。

手が止まったときの確認

正接は合っているのに点が反対側に描かれるなら、比から象限まで決めていないかを見ます。個別指導では、実部と虚部の符号を口に出してから半直線を描き、選んだ角の余弦と正弦の符号を点へ戻してもらいます。区間で迷う場合は、求めた角と元の角の差を 2π の整数倍として書き、不等号に代入して端点を確認します。原点を含む文字の問題では、割る前に分母が 0 となる値を説明できるかも確かめます。偏角の候補は、方向と範囲の両方を通して選びます。