高校数学C 球面の方程式—中心と半径を平方完成から正確に読み直す｜武蔵野個別指導塾

三つの文字を平方完成し、右辺の符号から正の半径をもつ球面、中心の1点、空集合へと分類する根拠を追います。

よくあるのは、理系の高3が平方完成で半径の二乗に負の数を得たのに、そのまま球面を描くという場面です。中心に見える座標を求めても、実際にそこから指定された距離にある点が存在するとは限りません。距離の二乗は負にならないからです。

座標とベクトルを空間へ広げる学習を踏まえ、ここでは球面の方程式とその表す点の集合を扱います。球面と直線や平面との交わりには進まず、まず式から図形が存在する条件を読み取ります。

式から問われる3つのこと

中心と半径が与えられたら、動く点までの距離を使って方程式を作ります。このとき半径が正であることを先に確かめ、中心の座標を各成分から引きます。引く数の符号まで含めて距離を作ることが出発点です。

逆に、展開された式から中心と半径を求める問いでは、3つの文字についてそれぞれ平方完成します。完成した右辺が正なら球面、0なら1点、負なら実数の点はありません。計算結果をすぐ半径にせず、符号で分類する手順が必要です。

文字を含む条件では、右辺の符号がその文字によって変わります。正、0、負の境界をそれぞれ含むかどうかまで示すと、球面が存在する範囲と、退化して点になる場合を区別できます。最後に得た中心や半径を元の式へ戻し、定数項まで一致するかを点検します。

距離の二乗から標準形へ

空間の点 C(a, b, c) と P(x, y, z) を考えます。位置ベクトルの差はベクトル CP = (x − a, y − b, z − c) です。その長さの二乗は成分の二乗の和なので、CP² = (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² です。座標は実数とし、距離は負になりません。

中心 C、半径 r の球面は、C からの距離が r である点 P 全体です。r > 0 のとき、距離の両辺が非負なので、CP = r と CP² = r² は同値です。したがって標準形は次の式です。

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²

図1のように、中心から表面の点までの距離が一定です。図の円形の輪郭は球面の見取り図で、紙面上の円周だけを球面と考えるわけではありません。

図1の中心 C は球面上の点ではありません。r > 0 なら C と P は異なります。r = 0 の式は C の1点を表し、正の半径をもつ球面とは分けます。右辺が負であれば、各平方が0以上なので左辺は負になれず、実数座標をもつ点は存在しません。

一般形のうち、3つの二乗の係数が同じ非零の数で、文字どうしの積がない式は、その係数で割ってから平方完成できます。たとえば x² + Dx は (x + D/2)² − (D/2)² です。追加した平方の定数を反対側にも反映し、最後に右辺全体の符号を判断します。係数が0ならこの操作で割れないため、同じ手順を無条件には使えません。

平方完成で定数を動かす理由

一般に x² + Dx + y² + Ey + z² + Fz + G = 0 を考えます。二乗の係数がすべて 1 なので、各一次の係数の半分を使えます。たとえば (x + D/2)² は x² + Dx より (D/2)² だけ大きいため、その分を引いて等式を保ちます。y と z も同じように処理すると次の形です。

(x + D/2)² + (y + E/2)² + (z + F/2)²
= (D/2)² + (E/2)² + (F/2)² - G

右辺を R とすると、R > 0 のとき中心は (-D/2, -E/2, -F/2)、半径は √R です。R = 0 ではその中心の1点、R < 0 では空集合です。中心の候補は3場合で同じ式から得られても、空集合に中心を持つ球面が存在するという意味にはなりません。

展開から完成形へ移る各行は、同じ数を足し引きする等価な変形です。したがって途中で点を加えたり除いたりしていません。式の二乗に伴う余分な解を心配する場面では、元の距離と半径がともに非負であることを確認します。右辺が負のときに平方根を距離として扱う操作はできないので、そこで止めて集合を判定します。

基本例題：中心を与えて式を作る

中心 C(1, -2, 3)、半径 2 の球面の方程式を標準形で求め、点 A(3, -2, 3) がその球面上にあることを確かめてください。

半径 2 は正です。P(x, y, z) が球面上にある条件 CP = 2 を二乗して、次のように表します。

CP² = (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)²
CP² = 2²
(x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 4

y 座標は -2 を引くので y + 2 です。図2のように A は C から x 方向に 2 進んだ点です。球面はその方向以外にも広がります。

図2の A を元の距離条件へ戻すと、CA² = (3 − 1)² + (-2 + 2)² + (3 − 3)² = 4 です。距離は非負なので CA = 2 となり、A は球面上にあります。反対に C を代入すると左辺は 0 で、4 にはなりません。

標準例題：一般形を読み替える

方程式 x² + y² + z² − 4x + 6y − 2z − 11 = 0 が表す図形を求めてください。球面なら中心と半径を、半径は根号を使って示してください。

3つの二乗の係数はともに 1 です。各文字をまとめ、平方完成して定数を整理します。

(x² - 4x) + (y² + 6y) + (z² - 2z) = 11
(x - 2)² - 4 + (y + 3)² - 9 + (z - 1)² - 1 = 11
(x - 2)² + (y + 3)² + (z - 1)² = 25

右辺 25 は正なので、中心は (2, -3, 1)、半径は √25 = 5 です。中心の y 座標は、かっこの中が y + 3 であることから -3 と読みます。25 は半径の二乗であり、半径そのものではありません。

答えの式を展開すると、一次の項は -4x + 6y − 2z、左辺に移した定数は 4 + 9 + 1 − 25 = -11 です。元の方程式に戻ります。また中心から x 方向に半径だけ進んだ点 (7, -3, 1) を元の左辺へ代入すると 49 + 9 + 1 − 28 − 18 − 2 − 11 = 0 です。中心と距離の両方が元の条件と整合します。

発展例題：文字による存在範囲

実数 t に対し、方程式 x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z + t = 0 が表す集合を、t の範囲ごとに分類してください。球面の場合は中心と半径を示し、点の場合はその座標を示してください。

二乗の係数は 1 で、t は定数項に入っています。平方完成は t の値によらず行えます。

(x² - 2x) + (y² + 4y) + (z² - 6z) = -t
(x - 1)² - 1 + (y + 2)² - 4 + (z - 3)² - 9 = -t
(x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 14 - t

右辺の 14 − t の符号で場合を分けます。平方の和は必ず 0 以上なので、この分岐は計算の最後に付ける飾りではなく、解となる点があるかどうかの判定です。

• t < 14 なら 14 − t > 0 です。中心 (1, -2, 3)、半径 √(14 − t) の球面です。
• t = 14 なら右辺は 0 です。3つの平方がすべて 0 のときに限り成立し、点 (1, -2, 3) を表します。
• t > 14 なら右辺は負です。左辺は 0 以上なので、条件を満たす実数座標の点はなく、空集合です。

境界 t = 14 を球面の範囲に含めないのは、半径が正という条件を確認したためです。点の場合を元の式へ戻すと、1 + 4 + 9 − 2 − 8 − 18 + 14 = 0 です。t < 14 の場合も、中心から x 方向に √(14 − t) だけ進んだ点を完成後の式へ入れると左辺は 14 − t となります。完成後の式は元の式と等価なので、元の条件も満たします。

中心は t で変わりませんが、右辺が変わるので半径と集合の種類は変わります。たとえば t を大きくして境界に近づけると正の半径は小さくなり、境界で中心の1点になります。その先で負の半径を作ることはできません。

負の右辺を見落とした答案を直す

次の式を考えます。

(x - 2)² + (y + 1)² + (z - 4)² = -3

誤答として「中心 (2, -1, 4)、半径 √3 の球面」とすると、右辺の負号が消えています。図3のように左辺は3つの非負の数の和です。どの実数座標を選んでも左辺は負にならず、右辺 -3 と一致しません。

図3では左辺の取りうる値と右辺の位置を数直線上で比べています。左辺が最小の 0 になるのは (2, -1, 4) ですが、その点でも -3 に届きません。正しくは空集合です。√3 を半径とする式の右辺は 3 なので、元の式とは別の条件になります。

別の間違いは、右辺 0 を空集合とすることです。平方の和が 0 なら各平方が 0 なので、中心に対応する1点が残ります。正・0・負をそれぞれ書き、等号のある境界を独立に調べると、存在しない球面を描く誤りと点を消す誤りの両方を防げます。

練習：式と集合を行き来する

次の5問を解いてから解答を見てください。座標は実数とし、球面の半径は正とします。

1. 中心 (-1, 3, 2)、半径 4 の球面の方程式を標準形で求め、点 (3, 3, 2) の所属を判定してください。
2. (x + 2)² + (y − 1)² + (z + 3)² = 7 の中心と半径を、半径は根号を使って求めてください。
3. x² + y² + z² + 2x − 4y + 6z + 5 = 0 の表す図形を求め、中心と半径を示してください。
4. x² + y² + z² − 6x − 2y + 4z + 14 = 0 の表す集合を、点の座標または空集合で答えてください。
5. 実数 k に対し、x² + y² + z² + 4x − 2y + 2z + k = 0 の表す集合を k の範囲ごとに分類し、球面の中心と半径または点の座標を示してください。

練習の解答と戻し方

1

中心から P(x, y, z) までの距離の二乗を 4² に等しくします。

(x + 1)² + (y - 3)² + (z - 2)² = 16

点 (3, 3, 2) を代入すると左辺は 4² + 0² + 0² = 16 なので球面上です。元の場面でも中心からの距離は 4 で、指定された半径に一致します。

2

各かっこを x − a の形で読むと中心は (-2, 1, -3) です。右辺 7 は正なので半径は √7 です。中心からの距離の二乗を作ると元の左辺そのものになり、半径の二乗は (√7)² = 7 に戻ります。

3

(x + 1)² - 1 + (y - 2)² - 4 + (z + 3)² - 9 + 5 = 0
(x + 1)² + (y - 2)² + (z + 3)² = 9

右辺は正ですから中心 (-1, 2, -3)、半径 3 の球面です。完成後の式を展開すると定数は 1 + 4 + 9 − 9 = 5 で、元の式に戻ります。球面上の点 (2, 2, -3) を元の左辺に入れても 4 + 4 + 9 + 4 − 8 − 18 + 5 = 0 です。

4

(x - 3)² - 9 + (y - 1)² - 1 + (z + 2)² - 4 + 14 = 0
(x - 3)² + (y - 1)² + (z + 2)² = 0

各平方が 0 でなければ和は 0 になりません。したがって集合は点 (3, 1, -2) です。元の左辺に戻すと 9 + 1 + 4 − 18 − 2 − 8 + 14 = 0 であり、この点は条件を満たします。

5

(x + 2)² - 4 + (y - 1)² - 1 + (z + 1)² - 1 + k = 0
(x + 2)² + (y - 1)² + (z + 1)² = 6 - k

k < 6 では中心 (-2, 1, -1)、半径 √(6 − k) の球面です。k = 6 では点 (-2, 1, -1)、k > 6 では空集合です。境界の点を元の式に入れると 4 + 1 + 1 − 8 − 2 − 2 + 6 = 0 です。k < 6 でも、中心から x 方向に √(6 − k) だけ進んだ点は、中心からの距離の二乗が 6 − k で、完成後の式を満たします。完成後の式を展開すると元の式に戻るため、元の条件も満たします。

手元に残す要点

• 中心からの距離の二乗を3成分の平方和で表します。
• 平方完成では各文字の定数の補正を残します。
• 右辺が正なら半径はその正の平方根です。
• 右辺が0なら1点、負なら空集合です。
• 最後に展開または点の代入で元の条件へ戻します。

どこで止まったかを見分ける

中心の符号を逆に読む場合は、かっこの値を 0 にする座標を先に書いてみてください。半径とその二乗を混同する場合は、中心から軸方向へ半径だけ進んだ点を式に代入すると、何が右辺に現れるか確認できます。

個別指導で式を見直すなら、平方完成の各行に加え、右辺の符号と点が存在する理由を言葉で説明できるかを確かめます。負の場合には図を描こうとする前に、平方が負にならないことを数直線で表すと、空集合という結論につながります。球面の方程式は、距離と存在条件を同時に読む式です。