高校数学C 球面と平面の交わり—中心からの距離で切り口の円を決定する｜武蔵野個別指導塾

球の中心から平面への垂足を求め、距離と半径の比較で円・接点・共有点なしを判定し、断面円の中心と半径を検算します。

よくあるのは、球面を平面で切った円の中心を求めるとき、球の中心をそのまま答える場面です。球の中心が切断面の上になければ、その点は円の中心にもなれません。中心から平面へ垂線を下ろし、足がどこにあるかを先に調べます。円が現れない場合も、同じ距離の比較から見分けられます。

数学Cで扱う空間への座標とベクトルの拡張を使い、球面と平面の共通部分を考えます。球の内部を含む立体の断面は円板ですが、ここで求める球面との共通部分はその境界の円です。円の方程式は、空間では平面の式と球面の式を組にして表せます。

どの情報から切り口を決めるか

中心と半径、平面の方程式が与えられたら、まず中心から平面までの距離を求めます。距離が半径より小さければ円、大きければ共有点はありません。等しいときは垂線の足が唯一の共有点です。等号の場合を円の半径0と計算するだけで終えず、点として答えます。

別の型では、円の半径や接する条件が指定され、平面の位置を表す文字を逆に求めます。このとき距離には絶対値があるため、中心の両側にある平面を見落とさないようにします。また、求めた足が平面に属することを確かめれば、符号の取り違えに気づけます。

垂線の足が中心になる理由

中心をC、半径をRとし、R > 0とします。平面をα、Cからαに下ろした垂線の足をH、距離CHをdとします。α上の任意の点Pについて、ベクトル CHは平面内のベクトル HPと垂直です。直角三角形の関係はPがHに一致する場合も成分の二乗で成り立ち、次を得ます。

CP² = CH² + HP²
      = d² + HP²

球面上の条件はCP² = R²です。したがって共通部分は、α上でHP² = R² − d²を満たす点の集まりです。右辺が正ならHを中心とする円、0ならH、負ならそのような点はありません。図1のように、球の中心と断面の中心は、垂線で結ばれます。中心が平面上にあるd = 0の場合に限って、両者は一致します。

図1の線分HPは平面内、CHは平面に垂直です。絵は空間を平面へ写した模式図なので、見かけの角度や長さを実際の値として測りません。円の半径をrとすると、円が存在する場合の関係はr² = R² − d²です。距離の二乗を引くのであって、半径から距離を直接引くわけではありません。

座標で足を求めるには、平面をax + by + cz = q、Cを(u, v, w)とします。法線n（ベクトル）= (a, b, c)が非零、すなわちa² + b² + c² > 0であることが必要です。HをC + tnと置くと、その座標は(u + ta, v + tb, w + tc)です。平面の式へ代入すれば、次のようにtが定まります。

a(u + ta) + b(v + tb) + c(w + tc) = q
t(a² + b² + c²) = q - au - bv - cw
t = (q - au - bv - cw)/(a² + b² + c²)

このHは平面に属し、CHは法線方向なので垂線の足です。距離はd = |t|√(a² + b² + c²)です。tが負でも距離は負になりません。平面の式を非零の数倍にしても、同じ足と距離が得られます。

二乗を使うときの確認

距離と半径はどちらも負でないので、大小比較は二乗しても向きが変わりません。例えばd² < R²と確かめられれば、根号を計算する前に円ができると判定できます。逆にR² − d² = 0なら、HP² = 0を満たすPはHに限られます。この場合もHが球面上にあることはCH = Rから確かめられます。

平面の式と球面の式を連立する表し方は、共通部分の点が両方の条件を満たすことをそのまま示します。ただし、その2式を書いただけでは中心や半径を読み取れない場合があります。足と距離を別に計算してから、答えとして必要な座標と長さを示しましょう。平面上の任意の点Pについて得た関係を使っているので、特定の点を一つ代入する確認より広い範囲を説明できます。

球面と平面が交わらない場合にも、足は存在します。足は平面上で球の中心に最も近い点ですが、その距離が半径を超えていれば、他の平面上の点も球面には届きません。足があることと、足が球面上にあることを区別すると、接点と共有点なしを混同しにくくなります。

基本例題：水平な平面で切る

中心C(1, -2, 3)、半径5の球面を平面z = 7で切ります。共通部分の中心と半径を求め、半径は根号を使わずに答えてください。

平面の法線(0, 0, 1)は非零です。Cから法線方向に進んでz座標を7にすると、図2のように足はH(1, -2, 7)です。Hはz = 7を満たし、ベクトル CH = (0, 0, 4)は平面に垂直です。

図2のCHの長さは4なので、半径5と比較すると4 < 5です。よって共通部分は円です。その半径rは正として、次のように求めます。

r² = 5² - 4²
   = 25 - 16
   = 9
r = 3

答えは中心(1, -2, 7)、半径3です。例えばP(4, -2, 7)は平面上にあり、CP² = 3² + 0² + 4² = 25です。Pが元の球面にも属することから、位置と半径を合わせて確かめられます。円全体はz = 7と(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 25の組でも表せます。

標準例題：斜めの平面への足

中心C(2, -1, 1)、半径5の球面と平面2x + 2y + z = 12の共通部分について、円の中心を座標で、半径を根号で求めてください。

法線(2, 2, 1)は非零で、その大きさは3です。足Hを(2 + 2t, -1 + 2t, 1 + t)と置き、平面の式に代入します。

2(2 + 2t) + 2(-1 + 2t) + 1 + t = 12
3 + 9t = 12
t = 1
H = (4, 1, 2)

Hを平面に戻すと2・4 + 2・1 + 2 = 12です。またCH = (2, 2, 1)は法線方向で、d = 3です。3 < 5なので円ができ、その半径rは次の通りです。

r² = 25 - 9
   = 16
r = 4

したがって中心は(4, 1, 2)、半径は4です。例えば平面内の方向(1, -1, 0)は法線との内積が0です。この方向に長さ4だけHから進んだ点(4 + 2√2, 1 − 2√2, 2)は平面上にあり、Cからの距離の二乗は9 + 16 = 25です。根号を含む座標でも、元の条件に戻せます。

発展例題：切り口の半径から平面を探す

中心C(1, 2, -1)、半径5の球面を、平面x + 2y + 2z = kで切ります。共通部分が半径4の円となる実数kをすべて求めてください。

法線(1, 2, 2)は非零で長さ3です。半径4の円ができるには、中心から平面までの距離dが次を満たします。

4² = 5² - d²
d² = 9
d = 3

距離は非負なのでd = -3は採りません。一方、平面はCの両側にありえます。Cの左辺の値は1 + 4 − 2 = 3なので、足をC + t(1, 2, 2)と置くと次が成り立ちます。

3 + 9t = k
d = 3|t|
3|t| = 3
t = 1 または t = -1
k = 12 または k = -6

それぞれの足は(2, 4, 1)、(0, 0, -3)です。前者は左辺が12、後者は-6となり、各平面に属します。どちらもCからの距離は3で、3² + 4² = 5²です。したがって両方とも求める円を生みます。符号を1つに決めてから距離を求めると、片側の平面が抜けてしまいます。

なお同じ球面に対し、距離が5なら足が接点となり、距離が5より大きければ共有点はありません。求める半径が5より大きいという条件なら、d²が負になるので該当する平面はありません。負の値を平方根に入れて円を描く前に、この不可能性を言葉で答えます。

誤った中心と半径を直す

基本例題で「断面の中心はC(1, -2, 3)、半径は5 − 4 = 1」と答えたとします。Cはz = 7を満たさないので、平面内の円の中心にはなれません。さらに5、4、1は直角三角形の辺の関係を満たしません。5²と4² + 1²を比べれば、この誤りを数でも見つけられます。

図3のように、Cから平面へ下ろした足Hに中心を移します。Hの所属とCHの垂直を確かめたうえで、5² = 4² + r²からr = 3と直します。球の中心が平面上にある場合にはCとHは一致しますが、それは距離0の特別な場合です。

似た失敗として、d = Rでも円があると答えたり、d > Rなのに負の数から半径を求めたりすることがあります。どちらもHP²は0以上という条件に戻れば判定できます。平面の係数がすべて0なら法線が零で、そもそもここで扱った平面の式ではありません。距離の式に代入して0で割らず、与えられた条件を先に確かめます。

練習：位置と半径を自分で決める

次の5問はそれぞれ独立です。座標は順に(x, y, z)で表し、長さは正確な整数または根号で答えてください。円があるときは中心と半径を、点ならその座標を、共有点がなければその旨を答えます。

1. 中心(0, 1, -2)、半径5の球面と平面z = 1の共通部分を求めてください。
2. 中心(2, 0, 1)、半径3の球面と平面x = -1の共通部分を求めてください。
3. 中心(-1, 2, 0)、半径2の球面と平面y = 5の共通部分を求めてください。
4. 中心(0, 0, 0)、半径3の球面と平面x + 2y + 2z = 3の共通部分を求めてください。
5. 中心(1, -1, 2)、半径√10の球面と平面x + 2y + 2z = kの共通部分が半径1の円となる実数kをすべて求めてください。

練習の解答と戻し方

1

法線(0, 0, 1)は非零です。足はH(0, 1, 1)で、距離は3です。3 < 5なので円ができます。

r² = 5² - 3²
   = 16
r = 4

中心は(0, 1, 1)、半径は4です。点(4, 1, 1)はz = 1を満たし、球の中心からの距離の二乗は4² + 3² = 25です。

2

法線(1, 0, 0)は非零で、足はH(-1, 0, 1)です。距離は3で半径と等しいため、共通部分は点(-1, 0, 1)です。この点はx = -1を満たし、中心からの距離も3です。半径0の円と記すより、共有点として座標を答えます。

3

法線(0, 1, 0)は非零で、足はH(-1, 5, 0)です。中心と平面の距離は3で、半径2より大きいため共有点はありません。実際、平面上の点は中心とのy座標の差が3ですから、その距離の二乗は少なくとも9です。球面の条件である距離の二乗4には届きません。

4

法線(1, 2, 2)は非零です。足を(t, 2t, 2t)とすると、平面への代入から次を得ます。

9t = 3
t = 1/3
H = (1/3, 2/3, 2/3)
CH = 1
r² = 9 - 1
   = 8
r = 2√2

中心は(1/3, 2/3, 2/3)、半径は2√2です。Hを平面に代入すると1/3 + 4/3 + 4/3 = 3です。例えばH + (0, 2, -2)は平面上で、原点からの距離の二乗は1 + 8 = 9です。

5

法線(1, 2, 2)は非零で長さ3です。断面の半径が1なので、中心から平面までの距離dは次を満たします。

d² = (√10)² - 1²
   = 9
d = 3

中心の左辺の値は1 − 2 + 4 = 3です。足を中心 + t(1, 2, 2)と置くと、k = 3 + 9t、d = 3|t|です。

3|t| = 3
t = 1 または t = -1
k = 12 または k = -6

足はそれぞれ(2, 1, 4)、(0, -3, 0)です。平面の左辺は順に12、-6で、中心からの距離はともに3です。さらに3² + 1² = 10なので、どちらも元の球面に半径1の切り口を作ります。

手元に残す要点

球の中心から平面への垂線の足が断面の中心です。
d < Rなら半径√(R² − d²)の円です。
d = Rなら足が接点、d > Rなら共有点はありません。
足の所属と法線方向、距離の非負を確認します。

つまずきを見分けるには

足の座標が出たら、まず平面の式に代入します。合わなければ、法線の向きに付けた係数の符号や代入の計算を見直します。足が合うのに半径が合わない場合は、直角三角形にR、d、rを書き込み、どの辺が斜辺かを確かめます。

個別に式を確認するときは、円になる例に加え、接する例と届かない例も図で説明できるか試します。負の半径の二乗を見たときに計算を続けるのではなく、共有点がないと判断できれば、距離の比較が使えています。切り口の位置は、垂線の足と二乗の関係で決まります。