高校数学III 部分積分の選び方—積の微分から公式を導き計算量を比べる｜武蔵野個別指導塾

一次式と指数・三角関数の積について、因子の役割を替えた後に残る積分を比べ、選択の理由を確かめます。

よくあるのは、部分積分で因子を選ぶたびに式が複雑になるという場面です。積の一方を微分し、もう一方を積分することは覚えていても、どちらをどちらに割り当てるかで手が止まります。公式に入れる前に、残る積分を予想してみましょう。一次式なら微分で定数になるため、指数関数や三角関数を残して計算を終えられます。

数学IIIで扱う積分の方法には部分積分が含まれます。ここでは積の微分から公式を導き、1回の適用で整理できる多項式と指数関数・三角関数の積を扱います。

どんな積で選択が必要になるか

一次式と指数関数の積では、一次式を微分すると定数になります。指数関数は積分しても指数関数の定数倍ですから、残った積分は基本公式で処理できます。反対に指数関数を微分する役に選ぶと、一次式の積分で二次式が生まれ、残る積の次数が上がります。

一次式と三角関数の積でも、一次式を微分する役にすると同じ見通しが立ちます。ただし、sinとcosの原始関数は符号が異なります。選択が正しくても原始関数の符号が違えば答えは変わるので、微分して確かめます。

積に見えても、因子の取り方は一通りではありません。定数倍をどちらに持たせるかを決め、微分後の因子と、もう一方の原始関数を先に書きます。その2つの積が元より簡単になるかを比べると、公式を使った後の作業が見えます。次数を下げることは判断の目安であり、積の形だけを見て無条件に公式へ代入する理由にはなりません。

積の微分から得る関係

区間上でu(x)とv(x)が連続な導関数を持つとします。積の微分は次の式です。

(uv)′ = u′v + uv′
uv′ = (uv)′ - u′v
∫ uv′ dx = uv - ∫ u′v dx

2行目は積の微分を移項した式です。3行目は両辺を積分した結果で、最後に任意定数Cを添えて原始関数の族を表します。u′vの原始関数が求まる区間で使い、答えを微分すれば右辺の2つのu′vが打ち消し合います。

図1のように、uを微分する矢印とv′を積分する矢印を別々に追います。公式の右辺では、積uvから残りの積分を引きます。

図1の下段が元の積より簡単なら、その選択には計算上の利点があります。vにはv′の原始関数を1つ選べば十分です。vに加えた定数による右辺の変化は最後の積分定数にまとめられるため、vを求める段階の積分定数は通常0とします。

公式は積をそれぞれ別に積分する規則ではありません。例えばuとv′をそれぞれ積分して掛けても、積の微分には2項が現れます。また、u′とvの積に付く負号を落とすと、その2項は打ち消し合いません。公式の形を覚える際は、導出の積の微分に戻すと符号の理由まで追えます。

基本例題：一次式と指数関数

次の不定積分を求め、積分定数を含めて答えてください。

∫ (2x + 3)eˣ dx

一次式をu、指数関数をv′とします。どちらも実数全体で連続な導関数を持ち、選んだvの導関数はv′です。

u = 2x + 3,  u′ = 2
v′ = eˣ,  v = eˣ

図2のように、微分で一次式が定数に変わることが選択の根拠です。残る指数関数の積分は基本公式で求まります。

公式に代入し、残りの積分を計算します。

∫ (2x + 3)eˣ dx
= (2x + 3)eˣ - ∫ 2eˣ dx
= (2x + 3)eˣ - 2eˣ + C
= (2x + 1)eˣ + C

2行目は積uvから∫ u′v dxを引いた式です。3行目では定数2を積分の外に出し、eˣの原始関数を使いました。最後は共通因子eˣをまとめています。

答えを元の問題に戻して微分します。積の微分で2eˣ + (2x + 1)eˣとなり、整理すると(2x + 3)eˣです。積分定数の微分は0なので、求めた族は元の被積分関数に戻ります。

逆にu=eˣ、v′=2x + 3とすると、v=x² + 3xです。残る積分は∫ (x² + 3x)eˣ dxとなり、一次式が二次式に変わります。公式自体は正しく使えても、計算を短くする目的には合いません。図2の選択は、その先の積分の形まで見て決めています。

標準例題：三角関数の符号まで追う

次の不定積分を求め、積分定数を含めて答えてください。角は弧度法です。

∫ (3x - 2)cos 2x dx

一次式の微分は3です。cos 2xの原始関数は、sin 2xを微分すると2cos 2xになることから、(1/2)sin 2xと選べます。両因子は実数全体で滑らかです。

u = 3x - 2,  u′ = 3
v′ = cos 2x,  v = (1/2)sin 2x
∫ (3x - 2)cos 2x dx
= (3x - 2)sin 2x/2 - (3/2)∫ sin 2x dx
= (3x - 2)sin 2x/2 + 3cos 2x/4 + C

最後の行はsin 2xの原始関数が-cos 2x/2であることを使いました。公式にある負号と原始関数にある負号が掛かり、残るcosの項は正です。係数2も連鎖律から生じるので、原始関数を一度微分して照合してください。

元の積へ戻すと、最初の項の導関数は3sin 2x/2 + (3x − 2)cos 2xです。次の項の導関数は-3sin 2x/2ですから、余分な項が消えて条件どおりです。符号が正しいかは、この相殺が成立するかで判定できます。

発展例題：係数を決めてから選ぶ

実数aに対し、次の不定積分がe²ˣの定数倍と積分定数の和で表されるようにaを求め、その不定積分を正確に答えてください。

∫ (4x + a)e²ˣ dx

まずaを未知数のまま計算します。各因子は実数全体で連続な導関数を持ち、一次式を微分すると4、e²ˣの原始関数はe²ˣ/2です。

u = 4x + a,  u′ = 4
v′ = e²ˣ,  v = e²ˣ/2
∫ (4x + a)e²ˣ dx
= (4x + a)e²ˣ/2 - ∫ 2e²ˣ dx
= (2x + a/2 - 1)e²ˣ + C

この結果のe²ˣの係数は2x + a/2 − 1で、xの係数は2です。aがどの実数でも係数は定数にならないため、条件を満たすaは存在しません。aを変えると定数項は変化しますが、xの項は消えません。

問題の条件へ直接戻しても同じです。仮に原始関数がke²ˣ + Cなら、その導関数は2ke²ˣです。e²ˣは常に正なので元の被積分関数と等しいためには4x + a = 2kが実数全体で必要ですが、左辺はxによって変わります。したがって不可能です。計算結果が得られた後も、求める形と一致するかを確認する必要があります。

条件の読み違いにも注意する

発展例題でa=2とすると、原始関数は2xe²ˣ + Cです。括弧の定数項は消えますが、係数全体が定数になったわけではありません。「定数項が0」と「定数倍で表される」は違う条件です。未知数を決める問題では、求める形を文字で置いてから係数を比べると、この違いが明確になります。

また、実際にa=2を元の被積分関数へ戻すと(4x + 2)e²ˣです。候補2xe²ˣの導関数も2e²ˣ + 4xe²ˣなので、この場合の計算は正しい一方、要求された定数倍という形は満たしません。計算の正否と条件の充足は別々に判定します。条件を満たす値がない場合も、理由を式で示すことが答えになります。

負号を落とした答案を直す

例えば∫ (x + 4)sin x dxで、u=x + 4、v′=sin xと選びます。v=-cos xです。ここで「uv + ∫ u′v dx」と書くと、公式の引き算が足し算に変わっています。

図3のように、正しい式では積uvの後に残る積分を引きます。v自体が負なので、その後の符号は正に変わります。

誤り: -(x + 4)cos x + ∫ (-cos x) dx
正しく: -(x + 4)cos x - ∫ (-cos x) dx
= -(x + 4)cos x + sin x + C

図3の2つの負号は由来が異なります。1つは部分積分の公式、もう1つはsin xの原始関数です。先に公式の負号を残し、括弧の中の負号を次の行で処理すると混同を避けられます。

誤答を微分すると(x + 4)sin x − 2cos xとなり、元の式にない項が残ります。修正した式なら-cos xと+cos xが消え、(x + 4)sin xに戻ります。微分による照合は答えの符号だけでなく、途中の選択が正しく実行されたかを調べる手段です。

練習問題

いずれも不定積分を求め、積分定数を含めた正確な式で答えてください。三角関数の角は弧度法です。各因子の選択と、得た答えを微分して元に戻す確認も書いてみましょう。

1. ∫ (5x + 1)eˣ dx
2. ∫ (x − 3)e³ˣ dx
3. ∫ (2x + 5)sin x dx
4. ∫ (4x − 1)cos 3x dx
5. ∫ (6 − x)e⁻²ˣ dx

練習の解答と戻し方

1

一次式を微分し、指数関数を積分します。両者は実数全体で連続な導関数を持ちます。

u = 5x + 1,  u′ = 5,  v′ = eˣ,  v = eˣ
∫ (5x + 1)eˣ dx
= (5x + 1)eˣ - ∫ 5eˣ dx
= (5x - 4)eˣ + C

最後は5eˣを引いてまとめました。答えの導関数は5eˣ + (5x − 4)eˣで、与えられた(5x + 1)eˣに戻ります。

2

指数の内側の係数3を、原始関数の係数で調整します。連鎖律によってe³ˣ/3の導関数はe³ˣです。

u = x - 3,  u′ = 1,  v′ = e³ˣ,  v = e³ˣ/3
∫ (x - 3)e³ˣ dx
= (x - 3)e³ˣ/3 - (1/3)∫ e³ˣ dx
= (x - 3)e³ˣ/3 - e³ˣ/9 + C
= (3x - 10)e³ˣ/9 + C

通分して答えをまとめました。微分するとe³ˣ/3 + (3x − 10)e³ˣ/3となり、(x − 3)e³ˣに戻ります。

3

sin xの原始関数にある負号を先に書きます。一次式を微分すると定数2になります。

u = 2x + 5,  u′ = 2,  v′ = sin x,  v = -cos x
∫ (2x + 5)sin x dx
= -(2x + 5)cos x + 2∫ cos x dx
= -(2x + 5)cos x + 2sin x + C

公式の引き算とvの負号を合わせて、残る積分は正です。答えを微分すると-2cos x + (2x + 5)sin x + 2cos xとなり、元の積に戻ります。

4

cos 3xを積分する際、内側の微分係数3を割ります。各因子は実数全体で連続な導関数を持ちます。

u = 4x - 1,  u′ = 4,  v′ = cos 3x,  v = sin 3x/3
∫ (4x - 1)cos 3x dx
= (4x - 1)sin 3x/3 - (4/3)∫ sin 3x dx
= (4x - 1)sin 3x/3 + 4cos 3x/9 + C

sin 3xの原始関数は-cos 3x/3です。答えを微分すると、4sin 3x/3と-4sin 3x/3が消え、(4x − 1)cos 3xが残ります。

5

減少する指数関数でも連鎖律を使います。e⁻²ˣの原始関数は-e⁻²ˣ/2で、微分すれば元に戻ります。

u = 6 - x,  u′ = -1,  v′ = e⁻²ˣ,  v = -e⁻²ˣ/2
∫ (6 - x)e⁻²ˣ dx
= -(6 - x)e⁻²ˣ/2 - (1/2)∫ e⁻²ˣ dx
= -(6 - x)e⁻²ˣ/2 + e⁻²ˣ/4 + C
= (2x - 11)e⁻²ˣ/4 + C

u′vは正のe⁻²ˣ/2なので、公式ではその積分を引きます。答えを微分するとe⁻²ˣ/2 − (2x − 11)e⁻²ˣ/2であり、(6 − x)e⁻²ˣに戻ります。

要点を手元に残す

一次式は微分すると定数になり、残る積分が簡単になります。
v′の原始関数vは、係数と符号を微分して確認します。
公式の引き算とv自身の負号を分けて扱います。
最後に答えを微分し、元の被積分関数に戻します。

どこで止まったかを見分ける

残る積分の次数が上がっているなら、計算の前に因子の役割を入れ替えて比べます。次数は下がったのに微分で元へ戻らないなら、vの係数か公式の負号を点検します。個別指導では、u、u′、v′、vの4つを本人に書いてもらい、vの微分と、公式へ代入した行を別々に確かめます。相殺される項を指で追えば、選択の判断と符号の処理を切り分けられます。