高校数学III 三角置換による積分—根号の符号と角の範囲をそろえて求める｜武蔵野個別指導塾

角の範囲と端点を確かめ、根号の符号に注意して行う三角置換です。

よくあるのは、√(a²-x²) に x=a sin θ を代入し、平方根を外すときに cos θ の符号を落とす場面です。sin² θ+cos² θ=1 は使えていますが、平方根は常に負でない値なので、直ちに cos θ とは限りません。置換する角の範囲を先に決め、x の端点に対応する角も記録すれば、符号と計算の向きを同じ表で点検できます。

ここでは a>0 とし、√(a²-x²) を含む式を正弦で置き換えて定積分を求めます。根号が分母にあるときは、積分区間で分母が0にならないことも確認します。正弦による置換は、数学IIIの積分で扱う置換の一つです。

式を見たときの3つの入口

まず √(a²-x²) が分子にある型です。x=a sin θ と置くと、根号と dx にそれぞれ cos θ が現れ、その積は cos² θ になります。二倍角の公式で次数を下げれば、角の関数を積分できます。根号は x=±a でも定義されるので、分子にあるだけなら端点にそこを含む問題も考えられます。

次に 1/√(a²-x²) が現れる型です。根号と dx の cos θ が約分され、分子に残る x の式を sin θ で書き直せます。ただし約分の前に、分母が0でない区間を確かめる必要があります。端点で分母が0になる場合は、この計算をそのまま通常の定積分として扱えません。

さらに 1/(a²-x²) の3/2乗のように根号が重なる型では、置換後に 1/cos² θ が現れることがあります。tan θ の導関数を使う前に cos θ が0にならないかを調べます。どの型でも、置換後に x と θ を混在させず、係数と積分範囲を最後までそろえます。

正弦と平方根を結ぶ条件

平方根 √A は、Aが0以上のとき、2乗して A になる負でない数です。したがって √(cos² θ)=|cos θ| です。図1のように、-π/2からπ/2までの角を選べば cos θ は0以上で、絶対値を外せます。この範囲で sin θ は連続かつ単調増加し、-1から1までを1回ずつとります。

図1の矢印は、左から右へ x が増えると θ も増える対応を表します。a>0 のもとで x=a sin θ とすれば、-a≦x≦a に対して -π/2≦θ≦π/2 を選べます。このとき

x = a sin θ
 dx/dθ = a cos θ
√(a²-x²) = √(a² cos² θ)
                = a|cos θ|
                = a cos θ

となります。a>0 なので √(a²)=a です。最後の行では、選んだ範囲の cos θ が負でないことを使っています。例えば別の範囲で cos θ<0 なら、根号は -a cos θ です。平方した式だけを見て絶対値を消してはいけません。

定積分の置換では、連続な被積分関数と、連続な導関数を持つ置換を使います。x=a sin θ は選んだ範囲で連続かつ微分可能です。x の下端と上端に対応する角をそれぞれ α、β と書けば、置換後は θ=α から θ=β まで積分します。θ の式に x の端点を代入することはできません。

分母の根号が0になる端点を含まない場合、選んだ角の範囲は -π/2<θ<π/2 の内側にあり、cos θ>0 です。分子の根号が端点で0になる場合には、置換後の式が区間全体で連続であることを確認します。端点で逆関数の導関数を使わなくても、連続な置換 x=a sin θ に定積分の置換を適用できます。

基本例題：根号と微分をまとめる

次の定積分を、πと根号を含む正確な式で求めてください。

I = ∫[0→1] √(4-x²) dx

区間 0≦x≦1 では 4-x²≧3>0 なので、被積分関数は連続です。a=2 と読み、x=2 sin θ、-π/2≦θ≦π/2 と置きます。図2のように、x=0 に θ=0、x=1 に θ=π/6 が対応します。角が増える向きも一致します。

図2の右側の区間では cos θ>0 です。よって根号は 2 cos θ、微分は dx=2 cos θ dθ と書けます。この2つを同時に代入してから半角の式に直します。

I = ∫[0→π/6] (2 cos θ)(2 cos θ) dθ
  = 4∫[0→π/6] cos² θ dθ
  = 2∫[0→π/6] (1+cos 2θ) dθ
  = [2θ+sin 2θ]₀→π/6
  = π/3+√3/2

3行目は cos² θ=(1+cos 2θ)/2 によります。4行目では cos 2θ の原始関数が sin 2θ/2 となる係数を、外側の2と合わせています。最後に sin(π/3)=√3/2、sin 0=0 を代入しました。

答えの向きも点検しましょう。元の区間で根号は正なので I>0 です。変換後の区間も下端から上端へ進み、cos² θ も負になりません。また、得られた角の原始関数 2θ+sin 2θ を微分すると 2+2 cos 2θ=4 cos² θ に戻ります。端点と被積分関数の両方で、元の問題との対応が保たれています。

標準例題：分母の根号を消す

次を、πと整数を用いた正確な式で求めてください。

J = ∫[0→3√2/2] x²/√(9-x²) dx

上端の2乗は 9/2 です。したがって区間内で 9-x²≧9/2>0 となり、分母は0にならず被積分関数は連続です。x=3 sin θ と置くと、下端は θ=0、上端は sin θ=√2/2 より θ=π/4 です。前に決めた単調な範囲でこの角が1つに定まります。

x² = 9 sin² θ
√(9-x²) = 3 cos θ
 dx = 3 cos θ dθ
J = ∫[0→π/4] (9 sin² θ)/(3 cos θ)・3 cos θ dθ
  = 9∫[0→π/4] sin² θ dθ
  = (9/2)∫[0→π/4] (1-cos 2θ) dθ
  = (9/2)[θ-(sin 2θ)/2]₀→π/4
  = 9π/8-9/4

cos θ は区間全体で正なので、5行目の約分ができます。上端では sin(2θ)=1、下端では0です。元の被積分関数は0以上なので答えは正であるはずです。π>3 と見れば 9π/8-9/4>9/8>0 となり、符号も合います。

計算を戻してみます。置換後の原始関数 (9/2)(θ-sin 2θ/2) を θ で微分すると 9 sin² θ です。x=3 sin θ と dx=3 cos θ dθ を併せて戻せば、元の x²/√(9-x²) dx に一致します。根号を消した後の9を忘れた答えは、この照合で元の分子に戻りません。

発展例題：分母に根号が3個分あるとき

次を根号を用いた正確な式で求めてください。分母の (4-x²) の3/2乗は、(4-x²)√(4-x²) を表します。

K = ∫[0→√3] 1/((4-x²)√(4-x²)) dx

0≦x≦√3 では 4-x²≧1 です。分母は正で、被積分関数は区間全体で連続です。x=2 sin θ とすると、下端は0、上端は sin θ=√3/2 から π/3 です。この範囲の cos θ は正なので、後で cos² θ で割ることができます。

4-x² = 4 cos² θ
√(4-x²) = 2 cos θ
 dx = 2 cos θ dθ
K = ∫[0→π/3] (2 cos θ)/(8 cos³ θ) dθ
  = (1/4)∫[0→π/3] 1/cos² θ dθ
  = (1/4)[tan θ]₀→π/3
  = √3/4

分母の係数は4と2の積で8です。dx の係数2を約分して1/4が残ります。tan θ の導関数は 1/cos² θ であり、この区間では cos θ が0にならないため連続です。上端の tan(π/3)=√3、下端の tan 0=0 を使いました。

元の式への照合では、(tan θ/4) の θ に関する導関数が 1/(4 cos² θ) となります。一方、元の被積分関数に dx/dθ=2 cos θ を掛けても、同じ 1/(4 cos² θ) が得られます。上端の x=√3 も 2 sin(π/3) に戻るため、係数だけでなく区間も確かめられます。

誤答を直す：平方した後の符号

x=2 sin θ として、次のように考えたとします。

√(4-x²) = √(4 cos² θ) = 2 cos θ
角の範囲は指定しない

この最後の等号は、角の範囲を決めていなければ成り立つとは限りません。図3のように θ=2π/3 では sin θ=√3/2、cos θ=-1/2 です。同じ x=√3 に対し、平方根の値は1ですが、2 cos θ は-1です。負の値が出た時点で平方根の定義と食い違います。

図3の左の角をそのまま使うなら、√(4-x²)=2|cos θ|=-2 cos θ と直します。一方、今回の方法では -π/2≦θ≦π/2 に範囲を定め、同じ x=√3 に対して θ=π/3 を選びます。こちらでは cos θ=1/2 なので根号は 2 cos θ=1 です。角を変えたら dx と積分端点もその角に合わせます。

もう1つの誤りは、分母の根号を約分した結果だけを見て、元の分母が0になる点を通過することです。例えば x=2 では 1/√(4-x²) が定義されません。置換後の式が単純になっても、元の区間で連続かどうかは別に確かめます。根号の中が負になる区間を実数の定積分として計算することもできません。

練習：端点と係数を自分で追う

次の5問は、示された形で正確に求めてください。いずれも x=a sin θ を使い、角の範囲と両端の対応を書いてから計算します。

1. ∫[0→2] √(16-x²) dx を、πと根号を用いて求めてください。
2. ∫[0→√2] 1/√(4-x²) dx を、πを用いて求めてください。
3. ∫[-√3→0] x/√(9-x²) dx を、整数と根号を用いて求めてください。
4. ∫[0→√3] x²/√(4-x²) dx を、πと根号を用いて求めてください。
5. ∫[0→1] 1/((9-x²)√(9-x²)) dx を、根号を用いて求めてください。

練習の解答と戻しての確認

1. 区間で 16-x²≧12>0 なので連続です。x=4 sin θ と置くと、0は0に、2はπ/6に対応します。cos θ>0 を使って根号と dx を置き換えます。

∫[0→2] √(16-x²) dx
= 16∫[0→π/6] cos² θ dθ
= 8∫[0→π/6] (1+cos 2θ) dθ
= [8θ+4 sin 2θ]₀→π/6
= 4π/3+2√3

原始関数を微分すると 8+8 cos 2θ=16 cos² θ に戻ります。端点は 4 sin 0=0、4 sin(π/6)=2 です。根号も区間で正なので答えの正の符号と矛盾しません。

2. 4-x²≧2>0 により分母は0になりません。x=2 sin θ とすれば、両端はそれぞれ0とπ/4です。区間内の cos θ は正です。

∫[0→√2] 1/√(4-x²) dx
= ∫[0→π/4] (1/(2 cos θ))・2 cos θ dθ
= ∫[0→π/4] 1 dθ
= [θ]₀→π/4
= π/4

θ の導関数は1であり、元の被積分関数に dx/dθ を掛けた式と一致します。2 sin(π/4)=√2 なので、上端も元へ戻ります。

3. 区間の x² は3以下なので 9-x²≧6>0 です。x=3 sin θ の下端は -π/6、上端は0です。負の x に対して負の角を選んでも cos θ は正です。

∫[-√3→0] x/√(9-x²) dx
= 3∫[-π/6→0] sin θ dθ
= [-3 cos θ]₋π/6→0
= -3+3√3/2

下端の cos(-π/6)=√3/2 を引くため、答えは 3√3/2-3 です。微分すると 3 sin θ となり、置換後の被積分関数に戻ります。元の区間では x≦0 なので負の答えも自然です。下端を戻すと 3 sin(-π/6)=-3/2 となり、問題の -√3 には一致しません。ここで角を取り違えたと気づきます。

正しくは sin θ=-√3/3 です。特殊角を使わず、cos θ=√(1-1/3)=√6/3 と求めます。角を α と書くと -π/2<α<0、sin α=-√3/3 です。

∫[-√3→0] x/√(9-x²) dx
= 3∫[α→0] sin θ dθ
= [-3 cos θ]α→0
= -3+3・√6/3
= √6-3

3 sin α=-√3、3 sin 0=0 と両端が戻ります。α は負で cos α は正なので、符号の扱いも範囲と一致します。

4. 分母について 4-x²≧1>0 です。x=2 sin θ とし、下端0、上端π/3とします。根号と dx の係数が消え、x² の4が残ります。

∫[0→√3] x²/√(4-x²) dx
= 4∫[0→π/3] sin² θ dθ
= 2∫[0→π/3] (1-cos 2θ) dθ
= [2θ-sin 2θ]₀→π/3
= 2π/3-√3/2

2θ-sin 2θ の導関数は 2-2 cos 2θ=4 sin² θ です。上端の 2 sin(π/3)=√3 と、元の積分範囲も一致します。

5. 9-x²≧8>0 です。x=3 sin θ とし、上端に対応する角を β と置きます。0<β<π/2、sin β=1/3 なので、cos β=2√2/3、tan β=1/(2√2) です。

∫[0→1] 1/((9-x²)√(9-x²)) dx
= (1/9)∫[0→β] 1/cos² θ dθ
= (1/9)[tan θ]₀→β
= 1/(18√2)

最後の原始関数を微分すると 1/(9 cos² θ) です。元の分母は 27 cos³ θ、dx/dθ は 3 cos θ なので、元の式からも同じ値が出ます。3 sin β=1 によって上端の対応も確認できます。

覚えておくこと

• x=a sin θ では、まず a>0 と角の範囲を決めます。
• √(a² cos² θ)=a|cos θ| から、範囲を使って符号を定めます。
• dx と両端を同じ角の変数に変え、元の分母と連続性を調べます。
• 結果は微分して被積分関数に戻し、端点と積分の向きも照合します。

どの行で止まったかを見る

置換自体が思いつかないときは、根号の中が a²-x² になっているか、a が正かを先に見ます。置換後に符号が合わないときは、平方根に絶対値を付けた行と角の範囲を並べて確認します。数値が合わないときは dx の係数、変換した端点、二倍角の原始関数の係数を順にたどります。

個別指導では、答えだけでなく x の端点から θ を選んだ理由と、元の分母が区間内で0にならない根拠を本人の式で確かめます。誤った角を選んだ場合も、正弦の値を元の端点に戻せば、どの対応が崩れたかを見つけられます。三角置換の計算は、角の範囲と根号の符号をそろえたところから進みます。