高校数学III 根号を含む置換積分—根号を変数にして残った式を整理する｜武蔵野個別指導塾

一次式の平方根を置いた後のxとdx、積分区間を追い、非負条件から根号を含む置換積分へ進みます。

よくあるのは、置換した式にxが混在するという場面です。√(2x+1)をtにした後、根号だけをtに直して安心すると、xとtが同じ積分の中に残ります。さらにdxの係数や定積分の端点を元のままにすると、見慣れた多項式に見えても元の積分とは違う式になります。

根号を文字にする狙いは、平方することで中身の一次式を取り出し、xもdxも新しい文字で表せることです。以下では平方根の値が非負であることを出発点に、置換の往復と検算まで追います。積分の方法を式の変形によって考えることは、学習指導要領の数学IIIの範囲に含まれます。

どこに根号が現れるか

1つ目は、xと一次式の平方根が掛け合わされる形です。根号をtと置くと、xはt²の一次式になり、dxもtを含む式になります。残る積が多項式なら、展開して項ごとに積分できます。置換前にxを無理に根号の中へ入れる必要はありません。

2つ目は、根号が分母にある形です。dxに現れるtと分母のtが約分できる場合があります。ただし約分する前にt=0が含まれるかを確かめます。分母が0になる点は、元の被積分関数の定義域から外れます。端点で0になる定積分を、そのまま通常の連続関数の定積分として処理することはできません。

3つ目は、定積分の区間内で根号の値が変化する形です。一次式の係数が負なら、xの増加に対してtは減少します。そのとき端点は逆順になり、dxの負の係数と一緒に積分の向きを保ちます。端点を小さい順に並べ替えるなら、別に符号を反転させます。

置換を往復するための条件

平方根√Aは、非負の数であって、その平方がAになるものです。したがってt=√(ax+b)と置けば、t≥0とt²=ax+bが同時に成立します。aは0でない定数とします。後者からx=(t²-b)/a、両辺の微分からdx=(2t/a) dtを得ます。t²=ax+bだけからt=±√(ax+b)と戻すのは、この置き方では誤りです。

図1のように、根号、x、dxの3つを対応させます。tが非負という条件は、平方したときに失われる符号の情報を保存する役割を持ちます。aが負でも同じ式が使えますが、dxの係数が負になります。

図1の各行は、元の式に残るものを順に書き換える道筋です。置換積分の根拠は合成関数の微分です。例えば置換後の被積分関数に原始関数G(t)があれば、G(t(x))を微分するとG′(t(x))t′(x)となり、元の被積分関数に戻ります。元の関数が連続な区間の内部で微分可能な置換を使い、定積分では対応する端点まで含めて連続性を確かめます。

根号の中が0となる端点では、t′(x)を直接書くと分母が0になる場合があります。その場合も、区間の内部で得た原始関数が端点まで連続に延び、元の被積分関数も端点まで連続なら、その端点の値を代入して定積分を求められます。分母に根号があり端点で元の関数が定義されない場合とは区別します。不定積分では、微分による確認を元の関数が定義される区間の内部で行います。

基本例題：xも残さず置き換える

次の不定積分を、根号を含む正確な式と積分定数で表してください。

∫ x√(2x+1) dx

実数の範囲はx≥-1/2です。内部x>-1/2でt=√(2x+1)と置きます。平方根なのでt>0で、端点を含めた対応ではt≥0です。図2のように、根号だけでなくxとdxもtで表します。

t² = 2x+1
x = (t²-1)/2
dx = t dt

最初の式は両辺を平方した結果です。次はxについて解き、最後は2t dt=2 dxから求めました。これらを元の積分に同時に代入します。

∫ x√(2x+1) dx
= ∫ ((t²-1)/2)t・t dt
= (1/2)∫ (t⁴-t²) dt
= t⁵/10 - t³/6 + C
= (2x+1)²√(2x+1)/10 - (2x+1)√(2x+1)/6 + C

2行目はx、根号、dxの順に置き換えた式です。3行目は積を展開しました。4行目では各項を積分し、最後にtを平方根へ戻しました。Cは積分定数です。図2で3つの変換を別々に記したのは、1つでも置き忘れると積分の変数が混ざるからです。

戻した式を微分して確かめます。内部では√(2x+1)の導関数が1/√(2x+1)なので、積の微分によって第1項は(2x+1)√(2x+1)/2、第2項は-√(2x+1)/2になります。和はx√(2x+1)です。端点でも原始関数と被積分関数は連続に延びます。

標準例題：減る置換と端点

次の定積分を分数と√5を用いて正確に求めてください。

∫[0→1] x√(5-4x) dx

区間内で5-4xは1以上なので、被積分関数は連続です。t=√(5-4x)とするとtは正で、xが増えると減ります。両端の値はx=0でt=√5、x=1でt=1です。答えには根号が残るため、分数と√5を用いた正確な式で表します。

t² = 5-4x
x = (5-t²)/4
dx = -(t/2) dt
∫[0→1] x√(5-4x) dx
= ∫[√5→1] -(5t²-t⁴)/8 dt
= (1/8)∫[1→√5] (5t²-t⁴) dt
= (1/8)[5t³/3 - t⁵/5]₁→√5
= (25√5-11)/60

端点を逆にする操作で負号が消えます。原始関数へ上端を入れると10√5/3、下端では22/15です。その差を8で割れば最後の値です。元の区間ではxも根号も負でないため、積分値が正になることも一致します。端点を変換しないままtの原始関数へ0と1を代入すると、別の区間を積分したことになります。

発展例題：分母の根号を消して整理する

x>1で、下の不定積分をt=√(x-1)により置換し、実数の一次因子に分解して対数型へ進めるか調べてください。続いて、x>0で∫ 1/(x√(x+1)) dxを、根号・自然対数・積分定数を用いて求めてください。

∫ 1/(x√(x-1)) dx

このままt=√(x-1)とすると、x=t²+1、dx=2t dtです。t>0なので分母のtを約分できますが、残る2/(t²+1)を数学IIIの基本的な原始関数に直接戻す方法は、この範囲では用いません。置換できたことと、その後の積分を実行できることは別の確認です。

そこで条件を変えた次の積分を考えます。

∫ 1/(x√(x+1)) dx　ただしx>0

求める形は根号と自然対数、積分定数です。t=√(x+1)ならt>1、x=t²-1、dx=2t dtです。分母は正なので約分と分解ができます。

∫ 1/(x√(x+1)) dx
= ∫ 2/(t²-1) dt
= ∫ (1/(t-1) - 1/(t+1)) dt
= log(t-1) - log(t+1) + C
= log((√(x+1)-1)/(√(x+1)+1)) + C

分解は右辺を通分すれば分子が2となります。t>1だから対数の中は正です。最後の式を微分すると、まずtについて2/(t²-1)、さらにdt/dx=1/(2t)を掛けて1/(t(t²-1))となり、元の1/(x√(x+1))に戻ります。最初に示した積分は、この方法では同じ対数の分解に進めない例です。解ける形かどうかを置換の直後に見極めます。

誤答をどこで止めるか

図3のように、t=√(2x+1)としたのにdx=2t dtとする誤りを考えます。t²=2x+1を微分すると2t dt=2 dxですから、両辺を2で割ったdx=t dtが正しい関係です。誤答は右辺の2も微分した後に消す作業を落としています。

図3で確認する箇所は、平方後の式の両辺です。右辺を微分した係数も残してからdxについて解けば、係数を暗算に頼らずに済みます。実際、誤ったdxを使うと基本例題の原始関数は正しいものの2倍になり、微分しても元の被積分関数に戻りません。

もう1つの失敗は、t²=ax+bからtの正負を勝手に選ぶことです。平方根をtとした時点でtは非負です。置換後に対数や分母が現れたら、その区間で0にならないかを別途調べます。計算途中で条件が消えても、元の式の定義域は広がりません。

練習問題

各問は実数の範囲で考え、不定積分には積分定数Cを付けてください。根号を含む式は根号を残した正確な値で表します。

1. ∫ (x+1)√(3x+4) dxを求めてください。
2. ∫ 1/√(2x+7) dxを、x>-7/2で求めてください。
3. ∫[0→2] √(x+2) dxを求めてください。
4. ∫[0→1] √(9-5x) dxを求めてください。
5. ∫ 1/((x+2)√(x+3)) dxを、x>-2で自然対数を使って求めてください。

練習の解答と確かめ

1

t=√(3x+4)とすると、t²=3x+4です。x=(t²-4)/3、x+1=(t²-1)/3、dx=2t dt/3となります。

∫ (x+1)√(3x+4) dx
= (2/9)∫ (t⁴-t²) dt
= 2t⁵/45 - 2t³/27 + C
= 2(3x+4)²√(3x+4)/45 - 2(3x+4)√(3x+4)/27 + C

tによる導関数は2(t⁴-t²)/9です。dt/dx=3/(2t)を掛けると(t²-1)t/3となり、(x+1)√(3x+4)に戻ります。端点x=-4/3を含む範囲でも、両辺の関数は連続に延びます。

2

t=√(2x+7)とするとt>0、dx=t dtです。分母のtを約分できる条件が満たされます。

∫ 1/√(2x+7) dx
= ∫ 1/t・t dt
= t+C
= √(2x+7)+C

答えを微分すると1/√(2x+7)です。x=-7/2では元の分母が0となるので、この式をその点を含む区間の原始関数として扱いません。

3

t=√(x+2)と置きます。x=0でt=√2、x=2でt=2、dx=2t dtです。元の関数は閉区間で連続です。

∫[0→2] √(x+2) dx
= 2∫[√2→2] t² dt
= [2t³/3]√2→2
= (16-4√2)/3

元のxでの原始関数は2(x+2)√(x+2)/3です。微分すると元の根号に戻り、上端と下端の差は同じ値です。区間内の被積分関数は正で、答えも正です。

4

t=√(9-5x)と置くとdx=-2t dt/5です。x=0から1へ進むとtは3から2へ減ります。区間内で根号の中は4以上なので連続です。

∫[0→1] √(9-5x) dx
= -(2/5)∫[3→2] t² dt
= (2/5)∫[2→3] t² dt
= (2/15)(27-8)
= 38/15

原始関数-2(9-5x)√(9-5x)/15を微分すると元の関数に戻ります。端点に1と0を入れた差も38/15です。値は区間の長さ1と、根号の値が2以上3以下であることに照らしても整合します。

5

t=√(x+3)とするとx>-2よりt>1です。x+2=t²-1、dx=2t dtで、分母は0になりません。

∫ 1/((x+2)√(x+3)) dx
= ∫ 2/(t²-1) dt
= ∫ (1/(t-1) - 1/(t+1)) dt
= log((t-1)/(t+1)) + C
= log((√(x+3)-1)/(√(x+3)+1)) + C

対数の中はt>1より正です。答えを微分すると、tについて2/(t²-1)、xについてはさらに1/(2t)を掛けて1/(t(t²-1))となります。これは元の被積分関数です。

手元に残す要点

• 根号をtと置いたらt≥0を記録し、平方してxを求めます。
• dxも両辺を微分して求め、xとtを混在させません。
• 定積分では端点と向きを変え、元の区間の連続性を確かめます。
• 答えを微分し、元の被積分関数と定義域へ戻して点検します。

式のどこを見直すか

置換後にxが残るなら、t²からxを解いた行があるかを見ます。係数が合わないなら、平方した両辺を微分した行まで戻ります。端点が合わない場合は、元の各端点をt=√(ax+b)へ別々に代入し、大小を確認します。

個別指導で確かめるなら、完成した答えより先に、置換直後の3行と端点の対応を本人に説明してもらいます。分母が0となる点やtの非負条件を言葉にできるかも見ます。微分で元の式へ戻るところまで記録すれば、根号の置換は途中式から検証できます。