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高校数学C 線分の交点と比—媒介変数の範囲から交わる場所を判定する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 平面ベクトルを掘り下げる

二直線の交点を両線分の媒介変数の範囲へ戻し、端点での接触と延長上での交差を区別して比を求めます。

よくあるのは、理系の高校生が二直線の交点を計算し、その点が必ず元の線分上にもあると考える場面です。紙に描いた線を少し延ばせば交差して見えても、問題が指定した区間の外では線分の交点にはなりません。交点を求める式と、その点が線分に入る条件を分けて調べましょう。端点で触れる場合や、同じ直線上で重なる場合も区別します。

要点（結論から）

線分上は始点からの媒介変数が 0 以上 1 以下です。
交点候補は両方の範囲に戻し、端点の等号も調べます。
内部の点なら、始点からの比は t : (1 − t) です。

どこまでを交点と呼ぶか

出方の一つは、座標で与えられた2本の線分が交わるか判定し、交わるなら座標と比を答える問題です。直線として連立してから、それぞれの線分に対応する媒介変数を調べます。片方が範囲外なら、もう片方の線分に乗っていても共通点ではありません。

もう一つは、交点を線分の内分点として表し、係数から比を読み取る問題です。係数は始点から終点への進み具合なので、内分比の順序を逆にしないことが要点です。さらに、端点での接触や同一直線上の重なりを含む問題では、交点が1点とは限りません。連立式が一組に決まらないときは、同一直線上の区間として調べ直します。

進み具合と両端の条件

異なる2点 A、B の位置ベクトルをそれぞれ a（ベクトル）、b（ベクトル）とします。点 P が直線 AB 上にあることは、実数 t を使って次のように表せます。

p = a + t(b - a)
  = (1 - t)a + tb

ここで p は P の位置ベクトルです。t = 0 なら P は A、t = 1 なら B です。0 < t < 1 なら P は両端の間にあり、t < 0 なら A の外側、t > 1 なら B の外側にあります。したがって線分 AB の条件は 0 ≦ t ≦ 1 です。A と B が異なるので、b − a は零ベクトルではなく、t の値は位置に対応して一意に決まります。

図1のように、線分は両端を含む区間です。端点を除くと明記された場合は不等号を厳密にしますが、普通の線分では等号を残します。

図1の線分上で 0 < t < 1 のとき、AP の長さは AB の長さの t 倍、PB の長さはその 1 − t 倍です。よって AP : PB = t : (1 − t) です。例えば t = 2/5 なら比は 2 : 3 であり、係数 (1 − t) : t と同じ順序ではありません。t が 0 または 1 のときは端点であり、正の比による内分点とは呼びません。

点の並べ方を逆にして B を始点とすると、同じ P の媒介変数は 1 − t です。このとき BP : PA = (1 − t) : t となり、点の位置は変わらず比の順序だけが入れ替わります。式に書いた始点と、答えに書く比の最初の文字を対応させてください。

別の異なる2点 C、D についても、点 Q を c + s(d − c) と置きます。線分同士の共通点は、位置ベクトルが等しく、かつ 0 ≦ t ≦ 1、0 ≦ s ≦ 1 を同時に満たす点です。媒介変数 t と s は別々の線分の進み具合ですから、最初から等しいとは限りません。平行でない方向なら連立によって候補が一組に決まり、その候補に範囲を戻して判定します。

基本例題：両方の区間へ戻す

座標平面上で A(0, 0)、B(6, 0)、C(2, -2)、D(2, 4) とします。線分 AB と CD の交点の座標を求め、AP : PB と CP : PD を整数の比で答えてください。

図2のように、横の線分と縦の線分をそれぞれ始点から表します。両端は異なるので、方向を表すベクトルはどちらも零ではありません。

交点を P とし、各線分上の位置を別の文字で表すと、座標の一致から次を得ます。

P = (0, 0) + t(6, 0) = (6t, 0)
P = (2, -2) + s(0, 6) = (2, -2 + 6s)
6t = 2
-2 + 6s = 0
t = 1/3
s = 1/3

どちらも 0 と 1 の間なので、候補 P(2, 0) は2本の線分の共通点です。図2の P は A から B へ全体の 1/3、C から D へも全体の 1/3 進んだ点にあります。したがって次の比です。

AP : PB = (1/3) : (2/3) = 1 : 2
CP : PD = (1/3) : (2/3) = 1 : 2

元の条件にも戻します。A から P までの長さは 2、P から B までは 4 です。C から P までが 2、P から D までが 4 なので、両方の比が確かに 1 : 2 です。今回はたまたま t と s が等しくなりましたが、同じ値と仮定してよい根拠にはなりません。

標準例題：一方の延長にある候補

A(0, 0)、B(4, 0)、C(6, -3)、D(6, 3) とします。線分 AB と CD に共通点があるか判定し、ない場合は二直線 AB、CD の交点の座標を答えてください。

横方向と縦方向が平行でないため、直線の交点は一つです。まず候補を求め、その後で各線分の範囲を調べる方針にします。

P = (0, 0) + t(4, 0) = (4t, 0)
P = (6, -3) + s(0, 6) = (6, -3 + 6s)
4t = 6
-3 + 6s = 0
t = 3/2
s = 1/2
P = (6, 0)

s = 1/2 は CD の範囲内ですが、t = 3/2 は 1 を超えます。P は B を越えた延長上にあるので、線分 AB と CD に共通点はありません。直線の交点は (6, 0) です。

確認として、P の x 座標 6 は AB 上の点の x 座標の範囲 0 ≦ x ≦ 4 に入りません。一方、CD の x 座標は常に 6 で、P の y 座標 0 は -3 と 3 の間です。片方への代入だけで結論を出すと、この違いを見落とします。平行でない2直線の交点が唯一なので、候補以外を探す必要もありません。

発展例題：動く端点と境界

A(0, 0)、B(5, 0)、C(2, -2)、D(6, k) とします。ただし k は実数です。線分 AB と CD が共通点をもつ k の範囲を求め、境界の値では共通点がどの端点か答えてください。

C と D の x 座標が異なるため、どの k でも C と D は異なります。AB は水平で、CD の x 座標は C から D へ増えます。共通点を P とすると、異なる2つの媒介変数を用いて次のように表せます。

P = (5t, 0) = (2 + 4s, -2 + (k + 2)s)
5t = 2 + 4s
0 = -2 + (k + 2)s

線分 CD 上なら 0 ≦ s ≦ 1 です。さらに線分 AB 上なら 0 ≦ 2 + 4s ≦ 5 です。前者と合わせると、必要な範囲は 0 ≦ s ≦ 3/4 です。ところが y 座標の式には -2 があるので s = 0 は不可能です。したがって次を満たす必要があります。

0 < s ≦ 3/4
(k + 2)s = 2
k + 2 = 2/s
k + 2 ≧ 8/3
k ≧ 2/3

逆も確認します。k ≧ 2/3 とすると k + 2 は正で、s = 2/(k + 2) は 0 < s ≦ 3/4 を満たします。t = (2 + 4s)/5 と置けば 0 ≦ t ≦ 1 です。この s と t は両方の座標の式を満たすため、実際に2本の線分は交わります。よって答えは k ≧ 2/3 です。

境界 k = 2/3 では s = 3/4、t = 1 で、P = B(5, 0) です。B は CD の内部にあります。k が境界より小さい場合も見ます。k ≦ -2 なら CD の y 座標は線分上で常に負です。-2 < k < 2/3 なら水平線との交点に対応する s は 3/4 を超えるか、1 を超え、AB の範囲または CD の範囲から外れます。境界を等号付きにする理由は、線分が端点 B を含むからです。

誤答を直す：直線の交点だけで終えない

A(0, 0)、B(4, 0)、C(1, 1)、D(2, 2) を考えます。直線 AB と CD の交点は A(0, 0) です。「A は線分 AB の端点だから、2本の線分の交点も A」とするのは誤りです。図3のように、C から D に向かう線を C の先へ逆向きに延ばしたところに A があります。

実際に CD 上の点を (1 + s, 1 + s) とすると、A に対して s = -1 です。負の値は C より手前を意味し、0 ≦ s ≦ 1 を満たしません。図3では A は AB に含まれますが CD には含まれないため、線分の共通点はありません。片方が端点であることと、他方にも属することは別の条件です。

さらに、方向が平行な場合を連立の失敗として捨てるのも誤りです。異なる平行直線なら共通点はなく、同一直線なら線分の区間が離れる、端点で接する、長さをもって重なる、のいずれかです。例えば同一直線上で一方の区間が 0 ≦ t ≦ 1、もう一方が 1 ≦ t ≦ 2 なら、共通部分は t = 1 の端点です。もう一方が 1/2 ≦ t ≦ 2 なら共通部分は 1/2 ≦ t ≦ 1 という線分です。分母が 0 になった時点で割り算を続けず、元の式と区間に戻します。

練習：交点候補と区間を照合する

各問で、点は座標平面上にあります。比は整数の比で答えてください。線分は端点を含みます。

A(0, 0)、B(8, 0)、C(3, -1)、D(3, 3) とします。線分の交点 P の座標と AP : PB、CP : PD を求めてください。
E(0, 1)、F(2, 1)、G(4, -2)、H(4, 2) とします。線分 EF と GH の共通点の有無を判定し、二直線の交点の座標を求めてください。
J(0, 0)、K(3, 0)、L(3, -2)、M(3, 0) とします。線分 JK と LM の共通点を座標で求め、両線分のどの端点か答えてください。
同一直線上に N(0, 0)、R(6, 0)、S(2, 0)、T(9, 0) があります。線分 NR と ST の共通部分を両端の座標で答えてください。
U(0, 0)、V(4, 0)、W(1, -1)、X(5, h) とします。線分 UV と WX が共通点をもつ実数 h の範囲を求め、境界での共通点を座標で答えてください。

練習の解き方

1

P を AB 上では t、CD 上では s で表します。

(8t, 0) = (3, -1 + 4s)
8t = 3
4s = 1
t = 3/8
s = 1/4
P = (3, 0)

両値は 0 から 1 の間なので共通点です。AP : PB = 3 : 5、CP : PD = 1 : 3 です。元の座標からも横の長さは 3 と 5、縦の長さは 1 と 3 で、両方の比が戻ります。

2

(2t, 1) = (4, -2 + 4s)
2t = 4
4s = 3
t = 2
s = 3/4

二直線の交点は (4, 1) です。s は範囲内ですが t > 1 なので線分の共通点はありません。実際、EF 上の x 座標は 0 から 2 までで、4 はその外にあります。GH では y = 1 が -2 と 2 の間にあります。

3

(3t, 0) = (3, -2 + 2s)
3t = 3
2s = 2
t = 1
s = 1

共通点は (3, 0) で、JK の端点 K、LM の端点 M です。K と M の座標は一致し、どちらの線分にも端点として含まれます。等号を落とすと、この接触を見逃します。

4

NR を (6t, 0) と表すと、0 ≦ t ≦ 1 です。ST は同じ直線上で 2 ≦ x ≦ 9 ですから、共通部分の x 座標は次の範囲です。

0 ≦ x ≦ 6
2 ≦ x ≦ 9
2 ≦ x ≦ 6

共通部分は両端が (2, 0)、(6, 0) の線分です。両端とも両方の区間に属し、その間の点も両方の区間に属します。逆にこの範囲の外では少なくとも一方の条件を満たしません。

5

(4t, 0) = (1 + 4s, -1 + (h + 1)s)
4t = 1 + 4s
(h + 1)s = 1

0 ≦ t ≦ 1 と 0 ≦ s ≦ 1 から、0 ≦ s ≦ 3/4 です。最後の式より s > 0 であり、次が必要です。

h + 1 = 1/s
h + 1 ≧ 4/3
h ≧ 1/3

逆に h ≧ 1/3 なら s = 1/(h + 1) は 0 < s ≦ 3/4 で、t = (1 + 4s)/4 も 0 ≦ t ≦ 1 です。これらを元の2式に代入できるので条件は十分です。境界 h = 1/3 では s = 3/4、t = 1 となり、共通点は V(4, 0) です。WX の式に代入すると (1 + 3, -1 + 1) = (4, 0) と戻ります。