高校数学III 往復する曲線の長さ—軌跡の長さと動いた道のりを区別する｜武蔵野個別指導塾

同じ放物線を往復する点について、通過回数を含む道のりと、重複を除く軌跡の長さを求めます。折り返し前後の座標の範囲を比べて数え分けます。

よくあるのは、理系の高3が演習で、媒介変数の増加に従って同じ弧を二度通ったのに、長さを一度分として答える場面です。描かれた線を定規で測るつもりなのか、点が動いた距離を数えるのかで、答えは変わります。出発点と終点が同じでも、途中で動いていれば道のりは0ではありません。

何を数える問題か

媒介変数 t による点の座標が与えられたら、まず問題文の対象を囲みます。「点が動いた道のり」は、重なった部分も通るたびに数えます。「点の描く軌跡の長さ」は、図形として現れる部分を重複なく数えます。どちらを求めるのか書かれていない場合、両方を区別して示すと条件の読み違いを避けられます。

典型的な出方は、同じ端点の間を往復するもの、途中で折り返して一部だけ重なるもの、媒介変数の区間を変えて通過回数を問うものです。軌跡が同じでも、t の区間を延ばせば道のりが増えることがあります。反対に、曲線上の異なる点が交わる場合は、交点があるだけで弧全体が重なったとは限りません。座標を比べて、どの区間が本当に同じ弧か調べます。

折り返しと長さの対応

x = x(t)、y = y(t) が閉区間で連続な導関数を持つとき、その区間に点が動いた道のりは ∫[a→b] √(x′(t)² + y′(t)²) dt です。速さに当たる根号は非負なので、逆向きに通った部分も正に加えられます。有限個の折り返し点で区間を分けても、各区間の積分の和は元の積分に等しくなります。端で両導関数が0でも、ここで扱うように被積分関数が連続なら定積分として計算できます。

図1のように、同じ弧を A から B、B から A へ通ると、道のりは弧 AB の長さの2倍です。軌跡としては弧 AB が1本です。矢印は媒介変数が増える向きを示し、色の違いは別々の道ではなく通過順を表します。

図1では折り返しの前後が同じ点の集合であることを確かめてから、重複を取り除きます。図だけで重なりを判断せず、共通の変数 u を用いて座標を (u, u²) のように表し、各区間の u の範囲を比較する方法が確実です。u が増える区間と減る区間に分ければ、通過する向きも読み取れます。

長さの式には絶対値が現れます。たとえば x = u(t)、y = u(t)² なら、速さは |u′(t)|√(1 + 4u(t)²) です。u′ の符号が変わる点で分割して絶対値を外します。符号を無視して u′ をそのまま使うと、戻る部分が負になって打ち消されます。それは長さではありません。

基本例題：放物線を1往復する

点 P は 0 ≦ t ≦ 2 で x = t(2 − t)、y = x² と動きます。点の道のりと軌跡の長さを、それぞれ厳密な値で求めてください。

x と y は多項式で、導関数は連続です。x′ = 2 − 2t は t = 1 で0となり、その前は正、後は負です。x の値は t = 0, 1, 2 で順に 0, 1, 0 です。したがって図2のように、放物線 y = x² の 0 ≦ x ≦ 1 の弧を行って戻ります。

図2の A は (0, 0)、B は (1, 1) です。各区間で x が単調なので、片道の長さを x で求められます。dy/dx = 2x は連続ですから、片道を L とすると次の式です。

L = ∫[0→1] √(1 + 4x²) dx

この積分を無理に計算せず、厳密値を定積分で表すこともできますが、ここでは初等関数で表します。u = 2x + √(1 + 4x²) とおくと、u は1から 2 + √5 へ増え、2x = (u − 1/u)/2 です。これを代入すると次の通りです。

L = (1/8)∫[1→2+√5] (u + 2/u + 1/u³) du
  = (1/8)[u²/2 + 2 log u - 1/(2u²)] [1→2+√5]
  = √5/2 + (1/4) log(2 + √5)

よって道のりは 2L = √5 + (1/2) log(2 + √5)、軌跡の長さは L です。戻る側で x を逆向きに動かしても、各位置の速さの大きさは対応する行きの値と同じです。端点の距離は √2 であり、片道 L がこれ以上であることも確かめられます。

標準例題：一部を重ねて戻る

点 Q は 0 ≦ t ≦ 3 で x = t(2 − t)、y = x と動きます。道のりと軌跡の長さを厳密な値で求めてください。

両座標は微分可能で導関数も連続です。x′ = 2 − 2t なので、t = 1 を境に進行方向が変わります。x は 0 から 1 へ増え、その後 -3 まで減ります。前半は 0 から 1、後半は 1 から -3 の直線上です。0 から 1 の部分が2回、-3 から 0 の部分が1回通られます。

直線 y = x では、x が1変化すると長さは √2 変化します。したがって各部分の長さを順に加えると、次のようになります。

道のり = √2・1 + √2・4
       = 5√2
軌跡の長さ = √2・(1 - (-3))
           = 4√2

実際に端点は (0, 0)、折り返し点は (1, 1)、終点は (-3, -3) です。それぞれの直線距離を足すと道のりが 5√2 に戻ります。始点から終点までの距離 3√2 を答えると、折り返し分が抜けます。軌跡は x が -3 から 1 まで切れ目なく動くので、4√2 です。全部を2倍するのではなく、重なる部分を特定することが重要です。

発展例題：部分的な再通過を積分する

点 R は 0 ≦ t ≦ 4 で u = t(3 − t)、x = u、y = (2/3)u√u と動きます。ただし 0 ≦ t ≦ 3 に限ります。この区間の道のりと軌跡の長さを厳密な値で求めてください。

u は 0 ≦ t ≦ 3 で非負です。端点を含め座標の導関数は連続で、u′ = 3 − 2t です。t = 3/2 で u は最大 9/4 となり、u は0から 9/4 へ増え、再び0へ減ります。x = u なので、両区間の同じ u は同じ点を表し、弧は完全に重なります。

u > 0 で dy/du = √u です。u = 0 でも右側からの導関数は0で連続につながります。弧の長さを K とすると、根号の中が 1 + u になり、次のように積分できます。

K = ∫[0→9/4] √(1 + u) du
  = [(2/3)(1 + u)√(1 + u)] [0→9/4]
  = (13√13 - 8)/12
道のり = 2K = (13√13 - 8)/6
軌跡の長さ = K = (13√13 - 8)/12

終点で u = 0 となり出発点に戻ること、折り返しで u = 9/4 となることを元の式に代入して確認します。片道 K は両端を結ぶ線分以上で、往復の道のりも正です。なお条件にある 0 ≦ t ≦ 4 と 0 ≦ t ≦ 3 は両立するので、実際に動く区間は共通部分の 0 ≦ t ≦ 3 です。負の u で平方根を考える必要はありません。

区間の表から重なりを読む

折り返しのある問題では、計算の前に各区間の始点、終点、向きを並べておきます。標準例題なら、前半の x の範囲は 0 以上1以下、後半は -3 以上1以下です。範囲の共通部分が 0 以上1以下なので、この部分の通過回数は2回です。後半に含まれる負の部分は1回です。端点は長さを変えないので、境界点を両区間に含めて記録しても長さの二重計上にはなりません。

ただし、x の範囲が同じという情報だけでは一般には同じ弧とは言えません。たとえば上側の弧と下側の弧では、同じ x に対して y が異なり得ます。各区間で y も含めた座標が一致することを確かめます。標準例題は常に y = x ですから、この確認ができます。共通変数を採用できない場合も、両区間の座標の対応を直接調べてください。

問題文が図形の長さを求めるのか、点の運動の記録を求めるのかによって、同じ表から異なる合計を作ります。各行に通過回数を書くと、どこを足し直すかが明確です。

区間を短くすれば、往復の途中で計測を止める問題にも対応できます。折り返し点に達する前なら軌跡と道のりは一致します。折り返し後なら、すでに通った範囲に戻った長さを道のりへ加えます。戻りながら出発点を越えれば、その先は新たな軌跡にも加わります。出発点、折り返し点、終点の位置関係を比較することで、この3つを区別できます。

誤答を図で直す

基本例題で、速さを 2(1 − t)√(1 + 4x²) として 0 から 2 まで積分し、0とする誤答を考えます。図3のように、前半の x′ は正、後半の x′ は負です。負の x′ は左向きという情報であって、負の長さを意味しません。

図3の境目 t = 1 で積分を分け、前半は x′、後半は -x′ を使います。すなわち速さに現れるのは |x′| です。もう一つの誤りは、積分で得た往復の値をそのまま軌跡の長さにすることです。往復の両区間が同じ弧を通ると確かめてから2で割ります。一部しか重ならない標準例題に、この割り算をそのまま適用してはいけません。

折り返し点が見つからないときは、x′ と y′ のどちらか一方が0になる時刻だけで判断しないでください。片方が0でも点は動き続けることがあります。まず位置と各座標の増減を調べ、前後の点の集合を比較します。計算が途中で止まったときは、長さを数える区間の表に戻ると、重複と未通過の部分を切り分けられます。

練習問題

いずれも長さは厳密な値で求めてください。道のりは通過回数を含め、軌跡の長さは重複を除きます。

1. 0 ≦ t ≦ 4 で x = t(4 − t)、y = 0 と動く点の道のりと軌跡の長さを求めてください。
2. 0 ≦ t ≦ 3 で x = t(4 − t)、y = 2x と動く点の道のりと軌跡の長さを求めてください。
3. 0 ≦ t ≦ 2π で x = 3 cos t、y = 3 sin t と動く点の道のりと軌跡の長さを求めてください。
4. 0 ≦ t ≦ 4π で x = 2 cos t、y = 2 sin t と動く点の道のりと軌跡の長さを求めてください。
5. 0 ≦ t ≦ 2 で u = t(2 − t)、x = u、y = (2/3)u√u と動く点の道のりと軌跡の長さを求めてください。

練習の答えと道筋

1. x′ = 4 − 2t は t = 2 で符号を変えます。x は 0 から 4 を経て 0 に戻り、数直線上の同じ区間を往復します。道のりは 4 + 4 = 8、軌跡の長さは 4 です。元の式に t = 0, 2, 4 を入れると各位置が確かめられます。

2. x′ = 4 − 2t で、x は 0 から 4 へ増え、3 まで戻ります。直線 y = 2x 上で x が1変化すると長さは √5 です。道のりは (4 + 1)√5 = 5√5、軌跡の長さは 4√5 です。時刻 0, 2, 3 の座標はそれぞれ (0, 0)、(4, 8)、(3, 6) となり、各区間の端点距離の和が道のりに一致します。

3. 導関数は連続で、速さは √(9 sin² t + 9 cos² t) = 3 です。区間は円を1周するため、道のりは ∫[0→2π] 3 dt = 6π です。軌跡も半径3の円周なので 6π です。始点と終点はともに (3, 0) ですが、道のりは0ではありません。

4. 同様に速さは2で、道のりは ∫[0→4π] 2 dt = 8π です。t が 2π 増えると座標が繰り返され、半径2の円を2周します。軌跡は1周分の 4π です。t = 0, 2π, 4π でいずれも (2, 0) に戻ることが通過回数の確認になります。

5. u は0から1へ増えて0に戻り、同じ弧を2回通ります。座標の導関数は端点を含め連続で、dy/du = √u として片道を積分できます。

片道 = ∫[0→1] √(1 + u) du
     = (2/3)(2√2 - 1)
道のり = (4/3)(2√2 - 1)
軌跡の長さ = (2/3)(2√2 - 1)

u の値を元の式で確かめると、t = 0, 1, 2 で順に 0, 1, 0 です。折り返し点の座標は (1, 2/3) で、片道の長さはその点と原点の距離以上です。

数え方の要点

• 求める対象が道のりか軌跡かを先に決めます。
• 座標と媒介変数の区間から折り返しと再通過を調べます。
• 道のりは速さを積分し、重なった弧も通過回数分数えます。
• 軌跡は重なる部分を一度に数え、端点と区間を照合します。

答えが合わないときに見る場所

図では矢印の方向と折り返し点、式では絶対値と積分区間を見直します。軌跡が正しいのに道のりが小さいなら、重なった区間の通過回数を調べます。道のりが正しいのに軌跡が大きいなら、同じ点の集合を複数回足していないか確かめます。

個別指導で確認するなら、座標の増減表から図への矢印を描けるか、各部分の長さを何回加えるか言葉で説明できるかが手がかりです。途中の式を消さずに区間ごとの意味を添えると、符号の誤りと数え方の誤りを別々に直せます。往復する弧は、通過回数を添えて初めて道のりに変わります。