高校数学III 接線による近似式—基準点と小さな変化を選んで関数値を見積もる｜武蔵野個別指導塾

平方根や対数を近くの接点から見積もり、角のずれを弧度法へ直す手順や、近似値と実際の値の丸めが異なる例を確かめます。

よくあるのは、理系高3の演習で、変化量が大きい所にも同じ近似を使ってしまう場面です。接点の近くでは曲線と接線が接近していても、離れた場所まで同じ程度に接近しているとは限りません。基準点をどこに選び、どれだけ動いたのかを式に残してから値を見積もります。近似値と正確な値を区別し、必要な桁を確認するところまでが一つの解答です。

どのような問いで使うか

第一の型は、平方根や対数などの値を、計算しやすい数の近くで求める問題です。例えば、ある数の平方根を求める際、近くの平方数を基準に取れば、そこでの関数値と傾きから直線を作れます。最初に求めたい数を「基準の数 + 変化量」に分けると、正負も見失いにくくなります。

第二の型は、指数や三角関数の値を、基準の角や指数からのずれで表す問題です。三角関数では角度の増分を弧度法で表します。度数の数字をそのまま増分に入れると、導関数に用いた単位と一致しません。

第三の型は、近似式を用いて見積もった結果が指定された桁の値と一致するかを確かめる問題です。接線の式が求まっても、その時点では誤差の大きさや丸めた桁の正しさは自動的には保証されません。別の根拠で値を挟むか、必要な精度を確認します。誤差の一般的な評価はここでは深入りせず、個々の値の照合に絞ります。

高校数学IIIで学ぶ導関数と接線を用い、関数値の小さな変化を調べます。公式の暗記だけでなく、どの点で微分可能か、何が変化量かを先に確かめることが出発点です。

接点から一次近似を作る

関数 f が点 a の近くで定義され、a で微分可能であるとします。微分係数の定義により、h が 0 に近づくとき、差商 (f(a + h) − f(a))/h は f′(a) に近づきます。ただし差商の式では h は 0 ではありません。したがって小さい h に対して、次の見積もりを使います。

f(a + h) ≒ f(a) + f′(a)h

右辺は曲線 y = f(x) の点 (a, f(a)) における接線に x = a + h を代入した値です。図1のように、横の変化 h に傾き f′(a) を掛け、基準の高さに加えます。h が負なら基準点の左側に移り、傾きが正であっても接線上の高さは下がります。

図1の縦の差は接線の上での変化です。実際の曲線上の変化と全く等しいと決めるのではなく、近くで代わりに使います。記号 ≒ は近似を表し、正確な等号 = と混ぜません。微分可能であることから誤差を h で割った値は h → 0 で 0 に近づきますが、特定の h に対する小数何桁の正しさは、それだけでは決まりません。

基準点 a は、f(a) と f′(a) が求めやすく、求める引数に近い点を選びます。根号では基準点が正であること、対数では真数が正であることを確認します。指数関数は実数全体で微分可能です。三角関数の導関数をそのまま使う角は弧度法で表します。基準点での連続性も微分可能性から満たされます。

例えば h = 0.01 と h = 2 は、どちらも代入自体はできる場合があります。しかし「小さい」という説明は、数値が基準点に対して十分近いか、必要な精度に合うかを伴います。遠い点の計算値に近似記号を付けただけでは、目的の桁の保証になりません。求めたい点に近い別の基準点を選び直すか、値を別途照合します。

基本例題：平方根を近くの平方数から見積もる

正の平方根 √16.08 を、f(x) = √x の x = 16 における接線を使って近似し、小数第3位まで表してください。四捨五入による実際の値も、平方して挟む方法で照合してください。

f は x > 0 で微分可能です。16 と 16.08 はともに正なので、基準点と求める点は定義域に入ります。接点での値と傾きは次の通りです。

f(16) = √16
      = 4
f′(x) = 1/(2√x)
f′(16) = 1/(2・4)
       = 1/8

接線の式と近似した値を順に求めます。

y = 4 + (x - 16)/8
16.08 = 16 + 0.08
√16.08 ≒ 4 + 0.08/8
         = 4 + 0.01
         = 4.010

図2のように、基準点 (16, 4) から横に 0.08 進むと、接線では縦に 0.01 進みます。答えの 4.010 は接線から得た近似値です。末尾の 0 は小数第3位まで示すために残しています。

指定された桁を別に確かめます。正の数では平方の大小が元の大小に対応するので、丸めの境界を平方します。

4.0095² = 16.07609025
4.0105² = 16.08411025
16.07609025 < 16.08 < 16.08411025
4.0095 < √16.08 < 4.0105

よって実際の平方根を小数第4位で四捨五入した値も 4.010 です。ここでは挟んだ両端が同じ丸め値を与えることまで確かめました。接線の近似値が小数で書けることと、実際の値が同じ桁に丸まることは別の確認です。

標準例題：対数の基準を取り直す

自然対数 log 2.02 を、f(x) = log x の x = 2 における接線で近似し、log 2 を含む式で答えてください。また log 2 を 0.6931 としたときの見積もりを小数第4位まで求めてください。ここで log は自然対数です。

対数の真数は正で、2 と 2.02 はどちらも定義域に入ります。f は正の範囲で微分可能なので、x = 2 の接線を使えます。基準点での値と傾きから進めます。

f(2) = log 2
f′(x) = 1/x
f′(2) = 1/2
y = log 2 + (x - 2)/2
2.02 = 2 + 0.02
log 2.02 ≒ log 2 + 0.02/2
          = log 2 + 0.01

与えられた log 2 の値を使う見積もりは、0.6931 + 0.01 = 0.7031 です。この計算には接線による誤差と、0.6931 を基準値に使う際の丸めの影響の両方が含まれます。そのため 0.7031 は指定された条件で得る見積もりであり、log 2.02 の正しい小数第4位が保証されたという結論ではありません。

基準を x = 1 として同じ点まで移すと、変化量は 1.02 です。接線式 x − 1 への代入はできますが、基準点からの隔たりが大きいため、局所的な近似をそのまま信用する理由にはなりません。今回のように 2 を基準にすれば変化量を 0.02 にできます。基準値 log 2 が文字で残っても、まず近くでの変化を正しく表すことが重要です。

また 2.02 = 2(1.01) と分ける方法でも、log 2.02 = log 2 + log 1.01 となります。後者を 1 の近くで近似すれば log 1.01 ≒ 0.01 なので、同じ式が得られます。この照合では対数の積の性質を使い、真数 2 と 1.01 が正であることも確認しています。

発展例題：指数と角のずれを同時に扱う

角は弧度法とします。g(x) = eˣ sin x とし、g(π/2 + 0.042) を x = π/2 の接線で近似してください。答えは e と π を含む式で表します。あわせて、その式を小数第3位まで丸めるときの手順を説明してください。

g は実数全体で微分可能です。積の微分により接点の傾きを計算し、角のずれ 0.042 を代入します。

g′(x) = eˣ sin x + eˣ cos x
       = eˣ(sin x + cos x)
g(π/2) = eのπ/2乗
g′(π/2) = eのπ/2乗(1 + 0)
          = eのπ/2乗
y = eのπ/2乗 + eのπ/2乗(x - π/2)
g(π/2 + 0.042) ≒ eのπ/2乗(1 + 0.042)
                  = 1.042 eのπ/2乗

指数の表記を文字で読むと、e の π/2 乗です。接線の近似式は 1.042 e の π/2 乗となります。積の片方の sin x は π/2 で傾きが 0 ですが、eˣ の変化があるため g 全体の傾きは 0 ではありません。片方の傾きだけで積全体の変化を決めないようにします。

近似式の小数値は、e の π/2 乗を十分な桁で計算し、1.042 を掛けてから丸めます。例えば 4.810477 という値を使うと、積は約 5.012517 なので小数第3位まで 5.013 です。これは接線の見積もりを丸めた結果です。元の関数値が同じ桁に丸まるかは別に照合する必要があります。実際に元の式へ戻して十分な桁で計算すると約 5.012396 となり、小数第3位では 5.012 です。近似式の丸め値との差が小さくても、丸め境界をまたぐことがあります。

誤答から基準と単位を点検する

次の誤答を考えます。角を弧度法で扱う接線の式 sin h ≒ h に、5度の数字 5 を入れ、sin 5度 ≒ 5 とする答えです。原因は、導関数の式に用いた角の単位と、代入した数の単位が違うことです。図3のように、5度を弧度法の π/36 に直してから代入します。

sin x は x = 0 で微分可能で、sin 0 = 0、導関数の値は cos 0 = 1 です。従って、0 に近い弧度法の h について sin h ≒ h と書けます。5度は π/36 ラジアンですから、見積もりは sin 5度 ≒ π/36 です。この式自体は近似であり、π/36 と正確に等しいという意味ではありません。

別の誤りは、h が小さい場合の式を遠い点にも適用することです。例えば sin x ≒ x を x = π に使うと、右辺は π ですが左辺は 0 です。基準点 0 から π は離れており、式の局所的な根拠をそのまま持ち込めません。接点を求める角の近くに選び直しても、指定桁を満たすかは別に確かめます。

さらに、f(a + h) ≒ f(a) + f′(a)h の f(a) を抜くと、接線が基準点を通らなくなります。x = a を代入したときに f(a) に戻るか、傾きが f′(a) かを確かめれば、式を使う前に誤りを見つけられます。引き算で基準点から左に動く場合は h の符号も点検します。

練習問題

次の5問を先に解き、答えを見た後に接点、変化量、指定された形を照合してください。近似値は接線から求めます。

1. √25.1 を x = 25 における y = √x の接線で近似し、小数第3位まで表してください。実際の平方根も同じ桁に丸まるか、平方して確かめてください。
2. log 3.03 を x = 3 における y = log x の接線で近似し、log 3 を含む式で答えてください。log は自然対数です。
3. eの0.03乗 を x = 0 における y = eˣ の接線で近似し、小数第2位まで表してください。
4. 角を弧度法とし、cos(π/3 − 0.02) を x = π/3 における y = cos x の接線で近似してください。答えは根号を含む式で表してください。
5. f(x) = 1/x とします。x = 4 の接線を使って 1/3.96 を近似し、分数で答えてください。基準点と変化量の符号も示してください。

練習問題の答えと解き方

1. 正の範囲で √x は微分可能で、f(25) = 5、f′(25) = 1/10 です。25.1 = 25 + 0.1 なので、接線から次を得ます。

√25.1 ≒ 5 + 0.1/10
         = 5.010

正しい桁の照合には 5.0095² = 25.09509025、5.0105² = 25.10511025 を使います。25.1 はその間にあるので、正の平方根は 5.0095 と 5.0105 の間にあります。実際の値も小数第4位で四捨五入すると 5.010 になります。

2. 正の範囲で対数は微分可能です。基準点は 3、変化量は 0.03、傾きは 1/3 です。

log 3.03 ≒ log 3 + 0.03/3
          = log 3 + 0.01

元の真数 3.03 は正で、3 + 0.03 に戻ります。近似式は log 3 を含む指定の形です。

3. 指数関数は 0 で微分可能で、関数値も傾きも 1 です。変化量 0.03 を接線に入れると、eの0.03乗 ≒ 1 + 0.03 = 1.03 です。これは小数第2位までの接線による見積もりです。実際の値をその桁で丸めた値と一致することまでは、この式単独では主張しません。

4. cos x は π/3 で微分可能で、関数値は 1/2、傾きは -sin(π/3) = -√3/2 です。変化量は -0.02 なので、符号を含めて掛けます。

cos(π/3 - 0.02) ≒ 1/2 + (-√3/2)(-0.02)
                  = 1/2 + √3/100

元の角は基準の π/3 から 0.02 ラジアン小さくなっています。傾きと変化量がともに負なので、接線上の変化は正です。

5. 逆数の関数は 0 でない点で微分可能です。基準点 4 と目的の 3.96 はともに正で、変化量は -0.04 = -1/25 です。

f(4) = 1/4
f′(x) = -1/x²
f′(4) = -1/16
1/3.96 ≒ 1/4 + (-1/16)(-1/25)
         = 1/4 + 1/400
         = 101/400

接線に x = 3.96 を入れると 101/400 に戻ります。実際の値は 25/99 なので、等号ではなく近似記号を用います。基準点の左へ動くと、負の傾きの接線では値が増えることも符号と一致します。

覚えておくこと

基準点 a での関数値と傾きを求めます。 目的の引数を a + h と置き、h の符号と単位を確かめます。 接線の値 f(a) + f′(a)h を近似値として使います。 実際の値の指定桁は別の根拠で照合します。

つまずきの見分け方

式の最初が合わないときは、求めたい引数を基準点と変化量に分けて読み直します。基準点に戻したとき接線が f(a) を通らなければ定数項、左へ動いたのに増分を正にしたなら h の符号を点検します。個別に解答を確認する際は、傾きの数値だけでなく、それをどの点で求めたかも口に出して説明できるかを見ます。

近似値の桁に迷う場合は、丸めた近似値と実際の値のどちらを問われているかを区別します。図と計算を往復し、近くの接線で見た値を、元の関数に戻して確かめる習慣が判断を支えます。