高校数学C 直線と円のベクトル方程式—動く点の条件を式と図で対応させる｜武蔵野個別指導塾

線分の端点と媒介変数の範囲、中心と半径を図に照らし、動く点の条件から直線と円を読み解きます。

よくあるのは、定期テスト前に線分を表す式を作り、媒介変数の範囲を書き忘れて直線全体にしてしまう場面です。式の形が合っていても、動く点がどこまで進めるかによって図形は変わります。始点と向きを決めた後、端を含むかまで式に残しましょう。

位置ベクトルを使うと、点の移動と距離の条件を同じ記号で表せます。ここでは平面上の直線と線分、円を扱い、点の集合と式が互いに対応することを確かめます。

何を図から読み取るか

出方の1つ目は、2点を通る直線や線分の式を求める問題です。固定した点から、もう一方の点へ向かうベクトルを作り、その実数倍を加えます。直線なら実数全体、線分なら端点に対応する値の間を動かします。

2つ目は、与えられた式から図形を判定する問題です。方向を示すベクトルと媒介変数の範囲を読み、直線、半直線、線分のどれになるかを考えます。方向ベクトルが零ベクトルの場合は動かないので、直線という結論に進めません。

3つ目は、中心と半径から円の式を作る問題、または内積の式から円の中心と半径を読み取る問題です。長さの2乗が負にはならないことにも注意します。条件を満たす点が存在しない場合や、円が1点に縮む場合も区別します。

固定点からの移動と距離

原点を O、固定点を A、動く点を P とし、それぞれの位置ベクトルを a、p と書きます。A から P へのベクトルは p − a です。零ベクトルでないベクトル d に平行に P が動くなら、ある実数 t を使って p − a = t d と表せます。したがって式は p = a + t d です。

ここで a は位置を決め、d は進む方向を決めます。d の大きさは1でなくてもかまいません。t = 0 では P は A にあり、t が正なら d と同じ向き、負なら反対向きに進みます。t を実数全体に動かすと、A を通り d に平行な直線になります。

もう1点 B の位置ベクトルを b とすると、A から B への方向ベクトルは b − a です。A と B が異なるとき、p = a + t(b − a) と置けば t = 0 で A、t = 1 で B になります。図1のように、0 以上 1 以下という範囲を添えると、端点を含む線分 AB が得られます。

図1で t = 1/2 の点は中点です。t が 1 より大きければ B を越え、負なら A の反対側に出ます。端点を含まない線分なら 0 < t < 1 と書きます。A から B へ延びる半直線なら t ≧ 0 です。式を見たら、まず 0 と 1 を代入してどの点に対応するか確かめると、範囲を図に戻せます。

一方、中心 C の位置ベクトルを c、半径を r とする円では、P と C の距離が常に r です。距離の2乗はベクトル自身との内積で表せるので、(p − c)・(p − c) = r² となります。r > 0 なら円周、r = 0 なら中心の1点です。内積の値が負になるという条件なら、それを満たす点はありません。

同じ直線を別の式で表す

方向ベクトルは1通りに決まりません。d が零でなければ、2d や -d も同じ直線の方向を表します。たとえば p = a + u(2d) では、u を実数全体に動かすと t = 2u も実数全体を動くので、p = a + t d と同じ点の集合になります。向きが反対になっても、媒介変数に負の値を許せば反対側へ進めます。

ただし、範囲があるときは係数の変更に合わせて範囲も変えます。p = a + t d、0 ≦ t ≦ 1 と同じ線分を 2d で表すには、t = 2u と置いて 0 ≦ u ≦ 1/2 とします。方向ベクトルを2倍にして範囲をそのままにすると、終点を越えて2倍の距離まで進みます。式だけでなく、端点への代入で集合を比較してください。

円の式でも逆向きの確認が役立ちます。内積が r² なら中心からの距離の2乗が r² です。r を正と決めていれば距離は r なので、その式の点は円周上にあります。円周上の点も同じ式を満たすため、条件と式は両方向に対応します。円の内部を含む問題なら等号ではなく不等号が必要で、円周のみの条件とは区別します。

基本例題：線分と円を式にする

座標平面に A(1, 1)、B(5, 3)、C(3, 2) を取ります。P の位置ベクトルを p とします。次の条件を満たす P の集合を、成分と媒介変数または内積を用いて表してください。係数は整数または正確な分数で表します。

1. P は端点を含む線分 AB 上を動きます。

2. P は中心 C、半径 √5 の円周上を動きます。

図2のように、線分の両端と円の中心を先に置きます。円周上にある A と B は、線分の端点としても確かめられます。

1. A と B の位置ベクトルは、それぞれ a = (1, 1)、b = (5, 3) です。A から B に向かうベクトルは、終点の成分から始点の成分を引いて

b − a = (5 − 1, 3 − 1) = (4, 2)

となります。A からこのベクトルの t 倍だけ進む点の位置ベクトルは

p = (1, 1) + t(4, 2)

です。t = 0 で A、t = 1 で B に一致します。端点を含む線分なので、答えはこの式に 0 ≦ t ≦ 1 を添えたものです。たとえば t = 1/2 では p = (3, 2) となり、図の C と一致します。

逆向きの確認も必要です。線分上の点は A から B への移動の 0 倍以上 1 倍以下で表せるので、この範囲の式は線分上の点を漏らしません。範囲を外れた値は線分上にないため、余分な点も入りません。

2. C の位置ベクトルは c = (3, 2) です。P と C の距離が √5 という条件を2乗し、距離の2乗を内積で表すと

(p − (3, 2))・(p − (3, 2)) = 5

です。p = (x, y) と成分で置けば、(x − 3)² + (y − 2)² = 5 とも書けます。右辺は半径そのものではなく、半径の2乗です。

元の条件に戻して端点を調べます。A では中心との差が (-2, -1) なので、その内積は 4 + 1 = 5 です。B でも差は (2, 1) で内積は 5 です。どちらも C からの距離が √5 で、図の円周上にあります。C 自身は差が零ベクトルで内積が 0 なので、円周には含まれません。

条件が変わると交点はいくつか

次は直線全体で計算した後に、線分の範囲へ戻す例です。D(0, 0)、E(4, 0) を端点とする線分 DE と、中心 F(1, 0)、半径 2 の円の共有点を求めます。座標は整数で答えてください。

線分上の点を p = (0, 0) + t(4, 0)、0 ≦ t ≦ 1 と置きます。円の条件は (p − (1, 0))・(p − (1, 0)) = 4 です。代入すると

(4t − 1)² + 0² = 4

です。4t − 1 = 2 または 4t − 1 = -2 なので、t = 3/4 または t = -1/4 となります。ここで計算を終えず、線分の範囲を照合します。3/4 は範囲内ですが、-1/4 は範囲外です。よって共有点は (3, 0) です。

答えの点は D から E へ向かう移動の 3/4 の場所にあり、F からの距離も 2 です。もう一方の (-1, 0) は F からの距離が 2 ですが、D の外側にあります。直線 DE と円の共有点としては使えても、線分 DE の共有点には入れません。

この手順では、円に代入して得た候補が範囲外になることを失敗とせず、元の条件によって取り除きます。候補が両方とも範囲外なら共有点はありません。重なった1つの候補が範囲内なら共有点は1つです。代入後に実数の候補がなければ、範囲の確認を待たずに共有点はありません。

誤答を図に戻して直す

線分 AB を p = a + t(b − a)、t は実数、と答えるのは誤りです。たとえば t = 2 では P は B を越えます。それでも式自体は満たすので、位置の式だけでは線分に限定できません。原因は、方向を指定する式と、移動できる範囲の条件を混同したことです。

図3のように、t = 2 は線分の外にあります。修正するには t = 0 と t = 1 を端点に対応させ、0 ≦ t ≦ 1 と添えます。A と B を逆に選んでもよいのですが、その場合は出発点と方向を両方変えます。p = b + s(a − b)、0 ≦ s ≦ 1 も同じ線分を表します。

円では、中心の位置ベクトル c を引かず p・p = r² と書く誤りがあります。これでは中心が O の円です。中心からの距離を使うため、まず p − c を作ってからその内積を取ります。また、半径 3 に対して右辺を 3 とすると、距離は √3 になります。半径を2乗する前後の量を言葉で区別しましょう。

候補が出ない場合も点検する

式を解いた結果に実数がない場合、直線と円の間に共有点はありません。例えば距離の2乗が負になる形に整理されたなら、実数の点では実現しません。計算の途中で負の数の平方根を実数として扱わず、条件に合う点がないことを答えます。

媒介変数を消して座標の式を得た場合も、消去前の範囲を忘れないでください。座標の式が同じでも、線分とその延長では点の集合が異なります。端点を含むかを不等号で確認し、含まない場合は端点自体を候補から外します。図だけで判断しにくいときは、候補を元の媒介変数の式へ戻せば判定できます。

また、2点が一致する場合は b − a が零ベクトルになります。この式ではどの t でも同じ点しか得られず、方向は定まりません。2点を通る直線を求める際には、異なる2点であることを先に確認します。円の右辺が 0 の場合と同様に、式が表す集合が1点になる例です。

手を動かす問題

いずれも P の位置ベクトルを p とします。座標や係数は整数または正確な分数で答えてください。円の式は内積を使って書きます。

1. G(-2, 1)、H(1, 5) を通る直線と、端点を含む線分 GH をそれぞれ表してください。
2. p = (2, -1) + t(-1, 2)、-1 ≦ t ≦ 2 で表される図形を判定し、両端の座標を求めてください。
3. 中心 J(-1, 2)、半径 3 の円周を表してください。また K(2, 2) が円周上にあるか判定してください。
4. L(0, 0) と M(6, 0) を端点とする線分と、中心 N(2, 0)、半径 1 の円の共有点を求めてください。

解答と戻し方

1. H − G に対応するベクトルは (1 − (-2), 5 − 1) = (3, 4) です。直線は p = (-2, 1) + t(3, 4)、t は実数です。線分は同じ式に 0 ≦ t ≦ 1 を添えます。t = 0 で G、t = 1 で H に戻り、その間の値は両点間の移動に対応します。範囲外も許す直線と区別できています。

2. 媒介変数が閉じた区間を動き、方向ベクトルも零ではないので線分です。t = -1 では (2, -1) − (-1, 2) = (3, -3)、t = 2 では (2, -1) + 2(-1, 2) = (0, 3) です。両端を含みます。2点の差は (-3, 6) で、方向ベクトルの3倍です。t の幅も 3 なので、端点の計算が移動量と一致します。

3. 円周の式は (p − (-1, 2))・(p − (-1, 2)) = 9 です。K と J の差は (3, 0) で、その内積は 9 です。したがって K は円周上にあります。距離に戻しても √9 = 3 で、指定された半径に一致します。中心 J は内積が 0 のため、この円周には入りません。

4. 線分上の点を p = (6t, 0)、0 ≦ t ≦ 1 と置き、円の式に代入すると (6t − 2)² = 1 です。6t − 2 = 1 または -1 より、t = 1/2 または 1/6 です。どちらも範囲内なので、共有点は (3, 0)、(1, 0) です。両点はともに x 座標が 0 以上 6 以下で、N からの距離も 1 です。直線上の候補が線分の条件も満たすことまで確認します。

手元に残す要点

• 直線は固定点の位置ベクトルに、零でない方向ベクトルの実数倍を加えます。
• 線分は両端に対応する媒介変数の範囲を添えます。
• 円は中心からの差の内積を半径の2乗に等しくします。
• 求めた候補は元の距離と範囲に戻します。

どこで止まったかを探す

式が作れないときは、固定点の位置と、そこからの移動を別々に指でたどります。端点を代入できるのに図形を間違える場合は、媒介変数の範囲を数直線に書き、範囲外の値を1つ試すと原因を見つけやすくなります。

個別指導で確かめるなら、答えの形だけでなく、どの点を出発点に選び、どの差を方向に使ったかを口に出してもらいます。円で止まった場合は、原点からではなく中心から P へのベクトルを図に描きます。式と図を往復すると、動く点の範囲が答えに残ります。最後に端点と中心からの距離をそれぞれ元の条件へ戻し、図にない点を加えていないか確かめましょう。