高校数学II 不定積分と定積分—積分定数と端点の代入を分け多項式を計算する｜武蔵野個別指導塾

積分定数と初期条件を自作例で扱い、原始関数の端点での値の差として求めるのが定積分です。

よくあるのは、高校生が不定積分の計算を終えたところで、積分定数を書き忘れる場面です。微分して元に戻る式が1つ見つかると、答えも1つに決まった気がするかもしれません。しかし定数を足した式も微分すると同じ式になります。定積分へ進むと、今度は上端と下端を代入する順序が計算を左右します。2種類の答えの形を区別し、途中式にそれぞれの役割を残しましょう。

テストで問われる3つの形

1つ目は、多項式の不定積分を求める形です。各項の次数を1つ上げ、その次数で係数を割ります。最後に任意の定数 C を付け、微分して元の式になるかを確かめます。

2つ目は、導関数と関数の値から元の関数を決める形です。不定積分で候補の集まりを表した後、与えられた点の座標を代入して C を決めます。定数を先に思い込まず、条件を使う段階を分けると計算の根拠が残ります。

3つ目は、両端を指定された定積分の値を求める形です。原始関数を用意して上端での値から下端での値を引きます。区間が途中で分かれていれば、それぞれの定積分を足して両端をつなぐこともできます。ここでは二次までの多項式の積分を中心に、値の計算とその理由を扱います。

微分を逆向きにたどる

関数 F(x) を微分した結果が f(x) になるとき、F(x) を f(x) の原始関数と呼びます。たとえば x² を微分すると 2x ですから、x² は 2x の原始関数です。x² + 4 を微分しても 2x なので、こちらも原始関数になります。

2つの原始関数の差を微分すると 0 です。多項式では導関数が恒等的に 0 なら定数なので、原始関数は定数の差を除いて同じ形です。したがって、原始関数を1つ見つけたら任意の定数 C を加えることで、不定積分の答えを表せます。

図1のように、微分の矢印は定数を消し、不定積分ではその分を C として戻します。C は決まった数を表す文字ですが、条件がない段階ではどの実数でも選べます。2x の不定積分を x² とだけ書くと、x² + 4 などが答えから抜けます。

図1の上下にある式はどちらも同じ 2x に微分されます。求めた式の微分が元の式になることは、係数や符号を点検する手がかりです。一方、微分の確認だけでは C の書き忘れに気づけないので、任意の定数を付けたかも別に見ます。

多項式では、x の n 乗を微分すると n 倍の x の n − 1 乗になります。そこで逆に、x の n 乗の不定積分は、x の n + 1 乗を n + 1 で割った式に C を加えます。ここで n は 0 以上の整数です。定数項も x の 0 乗の項と考えれば、定数 a の積分が ax になる理由を同じ規則で説明できます。

定積分は原始関数の集まりではなく、端点で決まる1つの数です。ここでは ∫[a,b] f(x) dx を、a から b までの f(x) の定積分と書きます。F(x) が f(x) の原始関数なら、その値は F(b) − F(a) です。別の原始関数 F(x) + C を使っても、上端と下端に同じ C が現れて差で消えます。

区間の加法性は、a から b、b から c への2つの定積分を足すと、a から c への定積分になる性質です。原始関数を F とすれば、和は F(b) − F(a) + F(c) − F(b) です。中央の F(b) が消えて F(c) − F(a) が残るので、この性質が成り立ちます。途中の数 b が負でも、同じ式の引き算として扱えます。

端点が同じ a から a への定積分は F(a) − F(a) = 0 です。また、端点を入れ替えると F(a) − F(b) となり、もとの F(b) − F(a) と符号が反対になります。積分区間の順序は計算の条件であり、小さい数が必ず先に書かれるとは限りません。定積分が負になる場合もありますから、数の符号だけを見て誤りと決めず、端点と被積分関数に戻ります。

記号の dx は x について積分することを示します。原始関数を探すときは x を変数として扱い、数の係数はそのまま掛けた状態で各項を計算します。和や差は項ごとに分けられるので、各項を微分して戻す確認も項ごとに行えます。定積分の場合は最後の答えが x を含む式ではなく、指定された端点によって定まる数になることも目印です。

基本例題：不定積分と定積分を続けて計算する

次の2つを求め、答えは整数または分数で表します。不定積分には任意の定数を付けます。

1. ∫ (6x² − 4x + 3) dx

2. ∫[1,3] (6x² − 4x + 3) dx

まず (1) です。各項を別々に積分し、最後に定数をまとめて1つ付けます。

∫ (6x² − 4x + 3) dx = 6 × x³/3 − 4 × x²/2 + 3x + C = 2x³ − 2x² + 3x + C

6x² は次数を3に上げて3で割るため 2x³ です。-4x は次数を2に上げて2で割り、-2x² になります。定数 3 は微分すると 3 になる 3x に戻します。C を付けた式を微分すると 6x² − 4x + 3 になり、元の被積分関数と一致します。

次に (2) では F(x) = 2x³ − 2x² + 3x を原始関数として選びます。定積分の値を計算する際は C を書かずにこの1つを使えます。図2のように、まず端点ごとの値を別々に作り、その後で引き算をします。

F(3) = 2 × 3³ − 2 × 3² + 3 × 3 = 54 − 18 + 9 = 45

F(1) = 2 × 1³ − 2 × 1² + 3 × 1 = 2 − 2 + 3 = 3

したがって、∫[1,3] (6x² − 4x + 3) dx = 45 − 3 = 42 です。図2で上端側の 45 から下端側の 3 を引いていることを確認してください。上下の値がそれぞれ何を表すかを式に残すと、端点を逆にする間違いを見つけやすくなります。

同じ区間を 2 で分けると F(2) = 16 − 8 + 6 = 14 なので、1 から 2 までは 14 − 3 = 11、2 から 3 までは 45 − 14 = 31 です。和は 42 となり、元の 1 から 3 までの結果に戻ります。途中の 14 が差し引きで消えるため、区間をつなげられます。

条件から原始関数を1つに決める

関数 F(x) が F’(x) = 3x² − 2x + 4、F(2) = 9 を満たすとします。F(x) を求め、さらに ∫[-1,2] (3x² − 2x + 4) dx を整数または分数で求めます。

導関数を積分すると、条件を使う前の形は

F(x) = x³ − x² + 4x + C

です。ここで x = 2 のとき F(x) = 9 となるので、代入して

8 − 4 + 8 + C = 9 12 + C = 9 C = -3

となります。よって F(x) = x³ − x² + 4x − 3 です。微分すると 3x² − 2x + 4 に戻り、F(2) = 8 − 4 + 8 − 3 = 9 なので、導関数と関数値の両方を満たします。定数を決めた後は、与えられた関数値に戻して確認することが必要です。

定積分にもこの F(x) を使えます。F(-1) = -1 − 1 − 4 − 3 = -9 ですから、

∫[-1,2] (3x² − 2x + 4) dx = F(2) − F(-1) = 9 − (-9) = 18

です。下端の値が負なので、引く数全体を括弧に入れます。初期条件を使わず G(x) = x³ − x² + 4x を選んでも、G(2) = 12、G(-1) = -6 なので差は 18 です。定積分の値には原始関数の定数が残らないことも、2通りの計算で確かめられます。

条件付きの問題で C を代入前に 0 とすると、F(2) は 12 になって与えられた 9 と食い違います。原始関数としては正しくても、その問題の関数の値を満たすとは限りません。条件が指定するのはグラフ上の点であり、定数を変えるとグラフは上下に移動します。計算した C を戻したとき、その点を通るかどうかまで確認しましょう。

区間の加法性を使うときは、接続する端点をそろえることも必要です。たとえば 1 から 2 と 3 から 4 の値を足しても、2 から 3 の部分が含まれないため、一般には 1 から 4 の値とは一致しません。つなぎ目に同じ数が2回現れ、一方が上端、もう一方が下端になっているかを見ると、式を足してよい理由を追えます。

誤答を見つけたら、どこへ戻るか

不定積分 ∫ 2x dx に対して「x²」と書く誤答を考えます。微分すると 2x になるため、一見すると計算は合っています。しかしこれは原始関数の1つを示しただけで、x² + 5 のような別の原始関数を含みません。図3のように答えの末尾へ + C を補い、C が任意の定数であると示します。

もう1つは、下端の値が負のときに括弧を外してしまう誤りです。先ほどの条件付きの例で、9 − (-9) を 9 − 9 = 0 とするのは符号の誤りです。引く対象は -9 という数全体なので、9 + 9 = 18 と直します。図3では、下端の負の値を括弧ごと引く順序を示しています。

答えが合わないときは、原始関数を微分した結果と、端点に代入した値を別々に調べます。前者が違えば積分の係数や次数、後者が違えば代入時の累乗や符号に戻ります。最初から計算を全部書き直す前に、どの段階で元の条件との食い違いが生じたかを見分けましょう。

練習：先に問題を解いてから答えを照合する

答えは整数または分数で表してください。不定積分では任意の定数 C を用います。

1. ∫ (4x² − 6x + 7) dx を求めてください。
2. ∫[-2,1] (2x + 5) dx を求めてください。
3. F’(x) = 6x − 3、F(-1) = 8 を満たす F(x) を求めてください。
4. ∫[0,2] (x² + 1) dx と ∫[2,4] (x² + 1) dx をそれぞれ求め、その和が ∫[0,4] (x² + 1) dx に等しいことを確かめてください。

問題1は次数が1つ上がる順序と定数項を点検する問題です。問題2は下端が負なので、代入した値を引くところまで丁寧に書きます。問題3では関数値を使う前に C を置きます。問題4では分けた両区間の接点が同じ 2 であることに注目します。

練習の答えと途中式

1. 各項の不定積分

∫ (4x² − 6x + 7) dx = 4 × x³/3 − 6 × x²/2 + 7x + C = 4x³/3 − 3x² + 7x + C

微分すると 4x² − 6x + 7 となり、問題の式に戻ります。C を残すことで定数の違う原始関数も表せます。定数項 7 を積分すると 7x になる点も確認してください。

2. 負の下端を代入する

原始関数を G(x) = x² + 5x とすると、G(1) = 1 + 5 = 6、G(-2) = 4 − 10 = -6 です。したがって

∫[-2,1] (2x + 5) dx = 6 − (-6) = 12

です。G’(x) = 2x + 5 であり、端点を元の範囲 -2 と 1 に戻して代入しています。負の下端そのものを引くのではなく、下端を代入した結果 -6 を引きます。

3. 関数値から定数を決める

F’(x) を積分して F(x) = 3x² − 3x + C とおきます。F(-1) = 8 を代入すると

3 × (-1)² − 3 × (-1) + C = 8 6 + C = 8 C = 2

よって F(x) = 3x² − 3x + 2 です。微分すれば 6x − 3、x = -1 では 3 + 3 + 2 = 8 となり、問題の2条件に戻ります。負の数の二乗と、負の数に -3 を掛ける計算を分けて書くと符号を追えます。

4. つなぎ目の値が消える

原始関数を H(x) = x³/3 + x とします。H(0) = 0、H(2) = 8/3 + 2 = 14/3、H(4) = 64/3 + 4 = 76/3 です。

∫[0,2] (x² + 1) dx = 14/3 − 0 = 14/3

∫[2,4] (x² + 1) dx = 76/3 − 14/3 = 62/3

2つの和は 14/3 + 62/3 = 76/3 です。また、元の両端を用いると ∫[0,4] (x² + 1) dx = 76/3 − 0 = 76/3 です。両区間で H(2) が一度は足され、一度は引かれるため、和が両端の差に戻ります。

手元に残す要点

不定積分では原始関数に任意の定数 C を付けます。
条件があるときは代入して C を決めます。
定積分は原始関数の上端の値から下端の値を引きます。
区間の和では、つなぎ目の原始関数の値が消えます。

つまずきの場所を言葉で確かめる

不定積分で止まる場合は、1項を選び「何を微分したらこの項になるか」を声に出してみてください。次数を上げることは言えても係数を割る理由が言えなければ、候補を微分して係数が戻るまで確認します。答えを微分できるのに C が抜ける場合は、定数を足しても導関数が変わらないことを別の数で示します。

定積分で止まる場合は、原始関数、上端での値、下端での値、差の4段階を分けて書きます。個別指導の場でも、本人が端点を式に入れた行から引き算まで説明できるかを見ると、積分の規則と符号計算のどちらに戻るべきか判断できます。1つの式の中で迷う箇所を特定できれば、次の問題でも確かめる場所を自分で選べます。