高校数学II 定積分と面積—交点で区間を分け上下の関数の差を積分する｜武蔵野個別指導塾

横軸をまたぐ領域と2曲線に囲まれた領域を例に、交点、上下関係、符号から面積を求めます。図から定積分と面積を読み解きます。

よくあるのは、高校生が曲線と横軸の間を定積分して負の数を出し、それをそのまま面積の答えにする場面です。計算が正しくても、定積分の符号と図形の面積は同じ意味ではありません。横軸の下にある部分は定積分では負に数えますが、面積は正の大きさとして数えます。式を積分する前に、どの部分を求めるのか図に印を付けてみましょう。

面積を問う式の見分け方

定期テストでは、例えば次のような形で問われます。1つ目は、曲線と横軸、指定された2本の縦の直線で囲まれた面積です。途中で曲線が横軸を横切るなら、その位置で区間を分けます。横切らなくても、横軸の下にある区間では符号を反転する必要があります。

2つ目は、2つの曲線が囲む面積です。まず連立して交点のx座標を求め、その間で上にある式から下にある式を引きます。横軸の上か下かよりも、2つの曲線の上下関係が決め手です。3つ目は、指定区間内で2つのグラフが交差する場合です。交点の左右で上下が入れ替われば、差の順序を変えてそれぞれ積分します。

いずれも先に原始関数を作ると、どの区間を計算すべきか見落としやすくなります。小さな図と交点の値を残し、積分する式と区間に対応させましょう。ここでは多項式で表される曲線と面積を扱い、立体の体積や曲線の長さには進みません。

縦に切って高さを読む

関数 y = f(x) が区間 a ≦ x ≦ b で横軸以上にあるとき、曲線と横軸、x = a、x = b に囲まれた面積は ∫[a,b] f(x) dx です。ここで ∫[a,b] は下端 a、上端 b の定積分を表します。逆に f(x) が区間内で横軸以下なら、面積は -∫[a,b] f(x) dx です。

この違いは、図形を細い縦の帯に分けると見えます。横軸より下の帯の高さは、上端の0から下端の f(x) を引いた 0 − f(x) です。定積分の値をそのまま使うと負になりますが、高さとして使う式は負になりません。端点で高さが0になっても、面積の式に含めて問題ありません。

図1のように、2つのグラフの間でも帯の高さは「上のy座標 − 下のy座標」です。区間全体で f(x) ≧ g(x) なら、面積は ∫[a,b] {f(x) − g(x)} dx です。例えば両方が横軸の下でも、この順序は変わりません。各グラフと横軸の間を別々に計算する必要はなく、両者の差が帯の高さを直接表します。

図1では青い上の直線と緑の下の直線の間を塗っています。縦の帯の上端と下端をたどると、引く順序を確認できます。上端と下端が区間の途中で入れ替わるときは、一つの差を区間全体に使わず、その交点で分けます。

交点は f(x) = g(x) を解いて求めます。解が指定区間の外にあれば、そこで面積を分ける必要はありません。一方、解が区間内にあるときは、左右の適当な値を差 f(x) − g(x) に代入して符号を調べると確実です。交点で差が0になっても、接するだけで符号が変わらない場合もあるため、交点の個数だけで上下を決めないようにします。

基本例題：横軸を横切る直線

問題：直線 y = x − 1 と横軸、および x = 0、x = 3 で囲まれた図形の面積を求め、整数または分数で答えましょう。

まず横軸との交点を求めます。横軸では y = 0 なので、

x − 1 = 0

x = 1

です。0 ≦ x ≦ 1 では x − 1 ≦ 0、1 ≦ x ≦ 3 では x − 1 ≧ 0 です。図2のように交点を境に左右を分け、左の面積を A、右の面積を B とします。左の高さは 0 − (x − 1) = 1 − x、右の高さは (x − 1) − 0 = x − 1 です。

図2で左側が横軸の下、右側が上にあることを確かめます。面積の和は次のように立てます。

A + B = ∫[0,1] (1 − x) dx + ∫[1,3] (x − 1) dx

それぞれの原始関数を使い、上端の値から下端の値を引きます。

A = [x − x²/2] の x = 0 から x = 1 まで

= (1 − 1/2) − (0 − 0)

= 1/2

B = [x²/2 − x] の x = 1 から x = 3 まで

= (9/2 − 3) − (1/2 − 1)

= 3/2 − (-1/2)

= 2

したがって面積は 1/2 + 2 = 5/2 です。左の負の定積分を面積に変える操作と、上下の端点を代入して差を取る操作は別です。先に高さを正の式にしておくと、2種類の符号を混同しにくくなります。

図の条件に戻しても確かめられます。左は底辺1、高さ1の三角形なので面積は 1/2、右は底辺2、高さ2の三角形なので面積は2です。両方を足すと 5/2 となり、図の各部分に対応します。この幾何による確認は、この直線の例で計算を点検する方法です。一般の曲線でも三角形になるという意味ではありません。

応用例題：放物線と直線が囲む部分

問題：放物線 y = x² と直線 y = x + 2 で囲まれた図形の面積を求め、整数または分数で答えましょう。

左右の端を決めるため、2つの式を等しくします。

x² = x + 2

x² − x − 2 = 0

(x + 1)(x − 2) = 0

よって交点のx座標は -1、2 です。元の式へ戻すと、交点は (-1, 1) と (2, 4) です。どちらも放物線と直線の両方を満たします。2つの交点の間では、直線から放物線を引いた差を因数分解すると、

(x + 2) − x² = (x + 1)(2 − x)

となります。-1 ≦ x ≦ 2 で両方の因数は0以上ですから、直線が上、放物線が下です。交点の間の全域で差が負にならないことまで、因数の符号で確かめています。

したがって、求める面積を S とすると、

S = ∫[-1,2] (x + 2 − x²) dx

= [x²/2 + 2x − x³/3] の x = -1 から x = 2 まで

= (2 + 4 − 8/3) − (1/2 − 2 + 1/3)

= 10/3 − (-7/6)

= 9/2

です。直線と放物線の差を積分するので、横軸との交点を探して分割する必要はありません。縦の帯が常に直線から放物線まで伸びていることを、図を描いて確かめてください。

なお、上下を判断するために区間内の1点を調べる方法もあります。この問題では2つの交点の間に別の交点がなく、連続な差の符号は途中で変わりません。例えば x = 0 で差が2と正なので、間では直線が上です。ただし、交点を探し漏らしたまま1点だけで判断すると、途中の入れ替わりを見逃します。まず交点を求める順序が大切です。

誤答を図に戻して直す

基本例題で ∫[0,3] (x − 1) dx を計算すると、

[x²/2 − x] の x = 0 から x = 3 まで = 3/2

です。これを面積と答えるのは誤りです。計算の結果は左側の符号付きの値 -1/2 と右側の値 2 の和で、左右の面積を足したものではありません。図3のように左側が差し引かれてしまいます。

図3の左側の領域は、図形としての面積なら 1/2 です。横軸をまたぐ場合は交点 x = 1 で分け、左は符号を反転して 1/2、右はそのまま2とし、合計を 5/2 に修正します。結果が正だからといって面積として正しいとは限りません。正と負が打ち消し合う場合があるからです。

逆に、定積分の答えが負だからといって、最後に全体の符号を一度だけ反転すればよいとも限りません。区間の途中で符号が変わるなら、反転後も一方の領域が差し引かれます。まず交点で分けて、それぞれの帯の高さを作ります。

2曲線の場合の別の誤りは、常に問題文に先に書かれた式から後の式を引くことです。記載順は上下を保証しません。交点の間の差が負なら引く順序を逆にし、区間の途中で符号が変わるなら区間も分けます。積分した後で答えに絶対値を付ける前に、各部分がどの領域に対応するかを確認しましょう。

自分で取り組む4問

いずれも面積を整数または分数で答えましょう。図を描き、積分区間と上下関係を記してから計算します。

1. 直線 y = 2x + 2 と横軸、x = -2、x = 1 で囲まれた図形の面積を求めましょう。
2. 放物線 y = 4 − x² と横軸で囲まれた図形の面積を求めましょう。
3. 放物線 y = x² − 2 と直線 y = 2x + 1 で囲まれた図形の面積を求めましょう。
4. 2直線 y = x、y = 4 − x と、x = 0、x = 3 で囲まれた図形の面積を求めましょう。

答えと考え方

1. 交点は 2x + 2 = 0 より x = -1 です。-2 から -1 では直線が下、-1 から1では上にあります。したがって、

面積 = ∫[-2,-1] (-2x − 2) dx + ∫[-1,1] (2x + 2) dx

左は [-x² − 2x] の端点の差で 1、右は [x² + 2x] の端点の差で 4 です。答えは 5 です。元の図では左右の三角形の底辺と高さがそれぞれ 1と2、2と4 なので、面積 1 と 4 に戻ります。

2. 4 − x² = 0 より交点のx座標は -2、2 です。その間で 4 − x² = (2 − x)(2 + x) ≧ 0 なので、放物線が横軸の上にあります。

面積 = ∫[-2,2] (4 − x²) dx

= [4x − x³/3] の x = -2 から x = 2 まで

= (8 − 8/3) − (-8 + 8/3)

= 32/3

端点を元の式に戻すとどちらも y = 0 です。また原点では y = 4 で横軸の上にあり、因数の符号による区間の判断と一致します。

3. x² − 2 = 2x + 1 より、x² − 2x − 3 = 0、(x + 1)(x − 3) = 0 です。交点のx座標は -1、3 です。その間の差は (2x + 1) − (x² − 2) = (x + 1)(3 − x) ≧ 0 なので、直線が上です。

面積 = ∫[-1,3] (-x² + 2x + 3) dx

= [-x³/3 + x² + 3x] の x = -1 から x = 3 まで

= 9 − (-5/3)

= 32/3

交点のy座標はそれぞれ -1、7 です。両方の元の式で同じ値になるため、積分の端点が2曲線の交点であることも確認できます。

4. x = 4 − x より交点のx座標は2です。0 ≦ x ≦ 2 では 4 − x が上、2 ≦ x ≦ 3 では x が上です。したがって、

面積 = ∫[0,2] (4 − 2x) dx + ∫[2,3] (2x − 4) dx

= [4x − x²] の x = 0 から x = 2 まで + [x² − 4x] の x = 2 から x = 3 まで

= 4 + 1 = 5

元の条件に戻すと、x = 0 で2直線の高さの差は4、x = 3 で差は2、x = 2 で差は0です。左右は底辺と高さがそれぞれ 2と4、1と2 の三角形となり、4 + 1 = 5 と確かめられます。

境界を選ぶときの点検

問題文が「2曲線で囲まれた部分」と述べているとき、交点は図形の左右の端を決める手掛かりです。ただし、交点を求めただけでは、どの区間が囲まれているかを判断したことにはなりません。交点が複数ある場合は、隣り合う交点の間ごとに図形を見て、求める範囲に含まれる部分を選びます。指定された縦の直線がある場合は、その2本が左右の境界になり、交点は途中で分ける位置になります。

また、面積が0以上であることは必要な確認ですが、正の答えなら必ず正解というわけではありません。左右を足すべきところで引いても正の数が残る例は、先ほどの誤答が示しています。各積分の中身がその区間で0以上かを確かめてから計算すれば、どの領域を加えたか追いかけられます。途中式には端点の値と引く順序を残しておきましょう。

計算が複雑なときは、交点を元の2つの式に代入して同じy座標になるかを確認します。これは交点の計算を点検する方法です。面積については、求めた式が指定された範囲の高さを表す理由を先に示し、その後に積分値を計算します。図の確認と式による説明を組み合わせると、見た目が粗い手描きのグラフでも判断を補えます。

面積を出す前の手順

• 交点と指定された端点を数直線に並べます。
• 各区間で上の式から下の式を引きます。
• 高さを積分し、区間ごとの面積を足します。
• 答えを図の範囲と照らします。

どこで止まったかを見分ける

交点は求められるのに面積が負になる場合は、計算式を消す前に、各区間でどちらが上かを図に書き込みます。上と下は言えるのに式が逆になる場合は、縦の帯の両端のy座標を読み、上端から下端を引くところまで戻します。積分式が正しくても結果が合わない場合は、原始関数と端点代入を別々に点検します。

個別指導では、解答を見せてもらい、交点の選択、符号の判定、端点の代入のうち、どこまで理由を説明できるかを確かめます。例えば接する交点では左右の符号が変わらないことや、横軸の下でも2曲線の差は正になり得ることを別の図で問い直すと、手順の丸暗記かどうかが見えます。自分で図の帯を指しながら積分式を作れれば、符号の間違いにも戻りやすくなります。