高校数学II 対数の性質と底の変換—真数条件を確かめ指数との対応で式を整理する｜武蔵野個別指導塾

積と和の取り違えを具体例で直し、真数条件と底の変換を指数から読み解く対数の性質です。

よくあるのは、高校生が対数の中にある和を見て、2つの対数の和に分けてしまう場面です。積を和に直す性質を覚えていても、真数の間の記号を見落とすと別の数に変わります。対数は指数を表す数です。どの数を何乗すると真数になるのかに戻り、使える性質と使えない変形を区別しましょう。

答案で求められる3つの動き

1つ目は、対数の定義から値を求める型です。たとえば、底を何乗すると真数になるかを考えます。分数が現れても、負の指数や分数の指数を使えば正確な値にできます。底と真数の位置を入れ替えないことが出発点です。

2つ目は、積、商、累乗を含む式を整理する型です。対数の和や差をまとめるときは、対応する真数が積や商になります。文字がある場合は、変形前に各真数が正である範囲を調べます。変形後の式が定義される範囲と、元の式が定義される範囲が一致するとは限りません。

3つ目は、底の異なる対数を同じ底へ直す型です。底の変換では分母にも対数が現れます。分母が零でないことまで確かめると、式の意味が明確になります。ここでは常用対数の近似計算や桁数ではなく、定義と性質の使い方に絞ります。

指数に戻ると性質が見える

底 a が正で1以外、真数 M が正のとき、logₐ M = p とは aのp乗が M であることです。つまり対数の値 p は、底 a に付ける指数です。底が1ならどの指数でも1になり、指数を一意に決められません。底が正で1以外なら、正の真数に対応する実数の指数が定まります。

図1のように、対数の式と指数の式は同じ関係を違う向きから表します。たとえば log₂ 8 = 3 は、2の3乗が8という関係です。真数は8、底は2、値は3です。3は真数ではなく指数にあたります。

図1の対応をたどれば、log₂ 1 = 0 も説明できます。2の0乗が1だからです。また log₂ (1/4) = -2 です。負の値になっても真数が負という意味ではありません。2の-2乗が正の1/4になる、という意味です。

同じ底 a の対数では、M > 0、N > 0 のとき次が成り立ちます。

logₐ (MN) = logₐ M + logₐ N

logₐ (M/N) = logₐ M − logₐ N

logₐ (Mのr乗) = r logₐ M

最後の r は実数です。正の M の実数乗を考えています。根拠を積の場合で確かめます。logₐ M = p、logₐ N = q とおくと、M は aのp乗、N は aのq乗です。指数法則から MN は aの(p + q)乗なので、その対数は p + q です。商なら指数の差、累乗なら指数の積になります。これらは指数法則に対応する性質です。

一方、真数が M + N という和なら、積の性質の条件にある MN とは形が違います。logₐ (M + N) を logₐ M + logₐ N とする性質はありません。括弧の中の記号を見てから操作を選びます。

底の変換は、別の底 b を使って次のように表します。a > 0、a ≠ 1、b > 0、b ≠ 1、M > 0 が条件です。

logₐ M = (logᵦ M)/(logᵦ a)

分母は logᵦ a です。これが零なら a は bの0乗、つまり1になり、a ≠ 1 に反します。したがって分母は零ではありません。この式も指数に戻して導けます。logₐ M = p とすると M は aのp乗なので、底 b の対数を取れば logᵦ M = p logᵦ a です。零でない logᵦ a で割ると上の式になります。

基本例題：積と商をまとめる

次の値を整数で求めてください。

log₂ 12 + log₂ 8 − log₂ 3

底は2で正かつ1以外です。真数12、8、3も正なので、積と商の性質を使えます。図2のように、足す部分を積にし、引く部分を商にします。数字を計算する前に、式全体が1つの対数になる形を見ておきます。

log₂ 12 + log₂ 8 − log₂ 3

= log₂ (12 × 8) − log₂ 3

= log₂ ((12 × 8)/3)

= log₂ 32

= 5

最後の行は、2の5乗が32であることによります。図2の順に、12と8を掛けてから3で割ると32です。対数の値の足し引きを、真数そのものの足し引きにしていないかも確認できます。

元の式に戻すと、12 = 4 × 3、8は2の3乗です。したがって log₂ 12 = 2 + log₂ 3、log₂ 8 = 3 です。元の式は 2 + log₂ 3 + 3 − log₂ 3 = 5 となり、求めた値と一致します。この代入による確認とは別に、途中式では性質の条件を示して変形の根拠を説明しています。

計算を急ぐと、最後の引き算を真数の引き算にする間違いが起こります。対数を引く操作は、対応する正の真数で割る操作です。また、性質を使う前に真数が正かを調べると、文字を含む問題にも同じ順序を使えます。

底を変えてから条件を残す

x > 0 のとき、次の式を log₂ x を用いて表してください。

log₄ (8x) − log₄ x

底4は正で1以外です。x > 0 なので、元の2つの真数 8x と x はともに正です。まず商にまとめる方法では、

log₄ (8x) − log₄ x

= log₄ ((8x)/x)

= log₄ 8

= 3/2

となります。x で割るところは、x > 0 から x ≠ 0 と言えるため安全です。4の3/2乗は8なので最後の値を得ます。

底の変換を先に使う方法でも同じ値を得ます。log₂ 4 = 2 より、

log₄ (8x) − log₄ x

= (log₂ (8x))/2 − (log₂ x)/2

= (3 + log₂ x − log₂ x)/2

= 3/2

です。この方法では log₂ x が消えますが、元の式が意味を持つ条件 x > 0 は消えません。たとえば x = 2 を元の式に戻すと log₄ 16 − log₄ 2 = 2 − 1/2 = 3/2 です。x = 0 や負の数は、右辺が定数だからといって採用できません。

2つの方法の分かれ目は、同じ底の差を先に1つにするか、底をそろえてから整理するかです。どちらでも、最初の式の条件から始めます。底の変換では分母と分子の順序を逆にしないよう、指数から導いた式に戻って確かめましょう。

和を分けた誤答を直す

log₂ (4 + 4) を考えます。誤って log₂ 4 + log₂ 4 = 4 とすると、元の値と一致しません。図3のように、括弧の中は積ではなく和です。正しくは、先に真数を計算して log₂ 8 = 3 とします。

誤答の右辺は、積の性質で戻すと log₂ (4 × 4) = log₂ 16 です。元の真数8とは別の16を扱っていたことが、図3の比較から見えます。間違いを見つけたら、対数の和を積に戻して、変形前の真数と一致するかを調べます。

もう1つ注意したいのは、文字の2乗です。log₂ (x²) は x ≠ 0 で定義されますが、2 log₂ x は x > 0 でしか定義されません。負の x まで含めるなら log₂ (x²) = 2 log₂ |x| と書きます。x = -2 なら左辺は log₂ 4 = 2、右辺も 2 log₂ 2 = 2 です。x = 0 では真数が零なので元の式自体が定義されません。累乗の性質に入れる真数が正かを確かめてから使います。

条件が抜ける別の例として、log₅ (x²) を考えます。元の真数は x² なので、x が正でも負でも、零でなければ式が定義されます。ここで無条件に 2 log₅ x とすると、負の x で右辺が定義されず、元の式の範囲を狭めてしまいます。正しい形は 2 log₅ |x| で、その条件は x ≠ 0 です。絶対値が必要になるのは、累乗の性質を使うときの真数を正にするためです。

逆に、別々の対数をまとめた後に範囲が広がる場合もあります。2つの負の数の積は正ですが、それぞれの負の数を真数とする対数は定義されません。まとめた式の真数が正であることを確認するだけでは、元の式が意味を持つ保証にならないのです。元の各真数を書き出し、共通する範囲を取ってから式を整理しましょう。

底の変換にも同じ注意があります。たとえば logₐ M を底 b に直す際、b が正で1以外という新しい底の条件を追加します。a = 1 なら分母 logᵦ a は零となり、比を作れません。M = 0 なら分子の対数が定義されません。式の見た目が整っていても、各部分に意味があることを先に確認する必要があります。

練習問題

次の問題は、特に断りがなければ正確な値で答えてください。問題を一通り考えた後、まとめて解答を確認しましょう。

1. log₃ (1/27) の値を整数で求めてください。
2. log₅ 20 + log₅ 25 − log₅ 4 の値を整数で求めてください。
3. log₉ 27 を分数で求めてください。底の変換を使ってください。
4. log₃ (x − 1) + log₃ (x + 1) が定義される実数 x の範囲を示し、その範囲で1つの対数にまとめてください。

解答と確かめ

1. 3の-3乗は 1/27 です。定義より答えは -3 です。底3は正で1以外、真数 1/27 は正です。得られた指数 -3 を底3に戻すと、元の真数 1/27 が得られます。符号は指数に付くので、真数を負にする必要はありません。

2. 真数20、25、4はすべて正です。積と商の性質から、

log₅ 20 + log₅ 25 − log₅ 4

= log₅ ((20 × 25)/4)

= log₅ 125

= 3

です。元の式でも 20 = 4 × 5、25 は5の2乗なので、log₅ 20 = log₅ 4 + 1、log₅ 25 = 2 です。差し引くと3になり、元の条件と対応します。

3. 底3に変換すると、

log₉ 27 = (log₃ 27)/(log₃ 9) = 3/2

です。底9と3はともに正で1以外、真数27は正です。分母 log₃ 9 = 2 は零ではありません。9の3/2乗は27なので、答えを元の底と真数の関係に戻しても一致します。分母と分子を逆にすると、指数に戻したとき27になりません。

4. 元の式の真数はそれぞれ正でなければなりません。x − 1 > 0 と x + 1 > 0 を同時に満たす範囲は x > 1 です。この範囲で積の性質を使うと、

log₃ (x − 1) + log₃ (x + 1)

= log₃ ((x − 1)(x + 1))

= log₃ (x² − 1)

です。まとめた式の真数が正になる範囲は x > 1 または x < -1 ですが、後者では元の真数がともに負です。元の式の条件は x > 1 のまま残します。たとえば x = 2 を戻すと元の真数は1と3で、元の式は0 + 1 = 1、まとめた式も log₃ 3 = 1 です。x = -2 は積が正でも元の式に代入できず、x = 1 は真数が零になるので除きます。

練習4で x = 1 を調べると、最初の真数は0です。境界で等号を含められない理由は、真数が正という条件にあります。x が1に近い正の範囲でも、1より小さければ x − 1 が負になるので、元の式は定義されません。境界の前後と境界そのものを区別して読むと、不等号の向きを取り違えにくくなります。

練習3では、底9を3の2乗、真数27を3の3乗と見ることもできます。9の何乗が27になるかを p とすると、3の2p乗が3の3乗に等しいので 2p = 3、p = 3/2 です。底の変換で得た分数と同じです。この確かめでは、求めた指数を元の底に付けて真数へ戻しています。数値をおおよその小数に直す必要はありません。

符号を含む式では、対数の値と真数の符号も区別します。底が1より大きい場合でも、正の真数が1より小さければ対数の値は負になります。たとえば練習1の真数は正ですが、その指数は負です。真数が正という条件は、対数の答えを正に限定する条件ではありません。

手元に残す要点

底は正で1以外、真数は正です。 対数の和と差は、それぞれ真数の積と商に対応します。 真数の和を対数の和に分けることはできません。 底を変えるときは新しい底の対数の比を使います。 式をまとめても元の真数条件を残します。

どこで止まったかを見つける

値が合わないときは、まず対数を指数の式に戻して、底と真数を正しく置けるか見てください。次に、括弧内の記号を指しながら、積と和のどちらかを説明できるかを確かめます。式をまとめた後に条件が広がる場合は、変形前の各真数に戻って範囲を言えるかが目印です。

個別指導で確認するなら、答えを見せる前に、底の変換の分母が零でない理由と、負の文字を含む累乗の扱いを順に説明してもらいます。途中の1行で条件を失ったのか、性質の対応を取り違えたのかが見えてきます。指数と真数の対応を言葉にできれば、対数の式変形は根拠を持って進められます。