高校数学II 二項定理—一般項の指数をそろえて必要な項の係数を求める｜武蔵野個別指導塾

一般項の指数から選ぶ回数を決め、符号や複数の項の寄与を追って二項定理を使いこなします。

よくあるのは、高校生が展開式の係数の並びを覚えていて、求めたい次数を見ずにその中から数を選ぶ場面です。係数の並びが正しくても、どの項に付く数なのかを取り違えると答えは変わります。さらに括弧の中に負の数や文字の累乗があると、その部分の累乗も計算しなければなりません。まず何を何回選ぶかを置き、その結果できる文字の指数を調べましょう。

テストで問われる形を見分ける

二項定理の問題には、展開式を求める形と、指定された項の係数だけを求める形があります。前者では端の項から順に指数がどう変わるかを見ます。後者では全体を展開しなくても、目標の指数に合う選び方を探せば計算を絞れます。ただし、途中の数だけを見て選ぶのではなく、その数がどの文字の項に掛かるのかを示します。

もう1つの型は、展開した式にさらに別の式を掛けたときの係数です。この場合、求める次数は掛け算の両側から作られます。片方から定数を選ぶ場合と文字を含む項を選ぶ場合などに分け、それぞれの寄与を足します。負の寄与がある場合も、符号を付けたまま足し合わせます。

二項定理を使う前に、問題が「項」そのものを求めているのか、「係数」を求めているのかを区別します。例えば 7x³ の項なら項は 7x³、x³ の係数は 7 です。定数項も x の指数が 0 の項として探せます。指数を求める式が条件を満たさないときは、該当する項がなく、その次数の係数は 0 です。

選ぶ回数が指数と係数を決める

n を 0 以上の整数とし、(a + b) を n 個掛け合わせたものを考えます。各括弧から a か b を1つずつ選び、選んだものを掛けた結果を足し合わせると展開式になります。b を r 個の括弧から選べば、残りの n − r 個からは a を選ぶので、積は a の n − r 乗と b の r 乗の積です。ここで r は 0 以上 n 以下の整数です。

同じ積を作る選び方は、n 個の位置から b を選ぶ r 個の位置を決める組合せの数 nCᵣ 通りあります。したがって、その寄与は nCᵣ × a の n − r 乗 × b の r 乗です。これを r = 0 から n まで足したものが二項定理です。nC₀ と nCₙ はどちらも 1 です。r が端でない場合は、nCᵣ = n × (n − 1) × … × (n − r + 1) ÷ (r × (r − 1) × … × 1) で計算できます。

図1のように、選ぶ回数 r から2つの指数を同時に決めます。係数の組合せだけでなく、a と b の中身を累乗したときの数や符号も掛けます。一般項とは、この r を使って各項をまとめた式です。r = 0 が最初の項なので、書いた順では r = 2 は第3項に当たります。第何項かという番号と r を混同しないようにします。

図1では b を r 回選び、a を残りの n − r 回選んでいます。例えば a が x² なら a の n − r 乗に含まれる x の指数は 2(n − r) です。b が -3x なら b の r 乗は (-3) の r 乗と x の r 乗の積です。括弧ごと累乗することが符号と係数を守る鍵になります。

基本例題：目標の次数から逆算する

例題1　(2x − 3)⁵ を展開したときの x³ の係数を整数で求めてください。

まず、5個の括弧から -3 を r 回選ぶとします。残る 5 − r 個から 2x を選ぶので、一般項は次の形です。

5Cᵣ × (2x) の 5 − r 乗 × (-3) の r 乗

= 5Cᵣ × 2 の 5 − r 乗 × (-3) の r 乗 × x の 5 − r 乗

x の指数が 3 であるための条件は 5 − r = 3 です。これを解くと r = 2 となり、0 以上 5 以下の整数という選択回数の条件も満たします。図2のように、-3 を2回選ぶ場合に目標の x³ ができます。

このとき係数を順に計算します。

5C₂ = 5 × 4 ÷ (2 × 1) = 10

2³ = 8、(-3)² = 9

10 × 8 × 9 = 720

したがって x³ の係数は 720 です。求められた項を元の選び方に戻すと、5個のうち2個から -3、3個から 2x を選んだ積は 72x³ で、その位置の選び方が10通りあります。よって合計は 720x³ となり、次数と係数が一致します。

ここでは r を2と決めるまで組合せの数を計算する必要はありません。先に 5C₂ = 10 だけを答えると、2x の数の部分と -3 の累乗が抜けます。また、負の数を2回掛けるため符号は正です。奇数回選ぶ項では負になるので、計算を始める前に符号を見積もることもできます。

もう一段階：2つの寄与を合計する

例題2　(1 + x)⁴(1 − 2x) を展開したときの x² の係数を整数で求めてください。

右の括弧から 1 を選ぶとき、左からは x² の項が必要です。右から -2x を選ぶときは、左から x の項が必要です。右の括弧にそれ以外の項はないので、この2通りで目標の次数を作る場合を尽くしています。

左の (1 + x)⁴ で x を r 回選ぶ項は 4Cᵣ × x の r 乗です。x² の係数は 4C₂ = 4 × 3 ÷ (2 × 1) = 6、x の係数は 4C₁ = 4 です。したがって、各場合の寄与は次のようになります。

6 × 1 = 6

4 × (-2) = -8

6 + (-8) = -2

求める係数は -2 です。元の積へ戻しても、x² を作る組は 6x² と 1、または 4x と -2x です。これらは 6x² と -8x² を与え、和は -2x² です。片方の寄与だけを答えると、同じ次数に集まる別の項が残ります。

係数が 0 になる場合もあります。そのときは項が初めから作れない場合と、作られた複数の項が打ち消し合う場合を区別できます。どちらも答えは 0 ですが、後者では足し合わせる前の各項を省くと理由が示せません。掛け算の相手からどの次数を選べば合計が目標になるか、指数の和で調べます。

誤答をほどいて直す

例題1で「5C₃ = 10 だから係数は 10」と答える誤りを考えます。5C₃ は 2x を選ぶ位置を3個決める数としては正しいものの、選んだ数の積を含んでいません。残りの2個からは -3 を選ぶため、1通りの積は (2x)³ × (-3)² = 72x³ です。10通り分を足し、係数は 720 と修正します。

図3のように、選び方の数と1通りの積は別の役割です。組合せの数が正しくても、片方が抜ければ係数は完成しません。逆に1通りの積だけを書き、同じ積を作る位置の選び方を数え忘れても不足します。どちらを数えている数かを式の下に短く書くと、2種類の誤りを区別できます。

別の誤りとして、(-3)² を -9 とする場合があります。括弧の中の負号も2回掛けるので正の 9 です。累乗の前に負号が括弧の外にある -3² とは区別し、一般項では (-3) のように選ぶ項全体を括弧に入れます。指数が奇数のときと偶数のときを比べれば、符号の変化も確認できます。

目標の指数から r を解いた結果が範囲外だったり整数でなかったりするときは、無理に近い整数を選んではいけません。選択回数は実際の括弧の個数です。条件に合う回数が存在しないことを書き、該当する係数を 0 とします。

指数の条件に戻るもう一つの見方

文字が両方の項に含まれる場合は、片方の指数だけを目標に合わせることはできません。例えば (x² + 2x)⁴ で 2x を r 回選ぶと、x² は 4 − r 回選びます。1通りの積に含まれる x の指数は 2(4 − r) + r = 8 − r です。x⁵ の項なら 8 − r = 5 から r = 3 です。係数は 4C₃ × 2³ = 32 で、項は 32x⁵ となります。元の4個の括弧に戻すと、x² を1回、2x を3回選ぶ積は 8x⁵ で、x² を選ぶ位置が4通りあります。

この考え方では、まず各部分の指数を別々に書き、掛け算によって足します。x² の指数を 4 − r としたまま忘れると、2倍する操作が抜けてしまいます。数の部分にも同様に、2x を選んだ回数だけ 2 を掛けます。指数の式と係数の式を別々に作り、r が決まってから合わせると、どの数字が何を表すか追いやすくなります。

展開式の最初と最後も、一般項が合っているかを見る手掛かりです。r = 0 なら後ろの項を選ばないため、前の項を4回掛けた x⁸ になります。r = 4 なら後ろの項を4回選び、(2x)⁴ = 16x⁴ です。途中の指数は 8、7、6、5、4 と変わるので、x⁵ は範囲内にあります。端の確認は式の写し間違いを見つける助けになりますが、それだけで途中の係数の正しさまでは証明できません。

定数項を探すときも、目標の指数を 0 にするという同じ手順を使えます。定数が括弧内に含まれない場合でも、文字の指数の和が 0 になる組があるかを調べます。一方、すべての選び方で指数が正なら、定数項はありません。一般項を立てる前に答えを推測したとしても、その推測がすべての選択回数に当てはまる理由を示しましょう。

計算の途中で別の選び方を採用しても構いません。例えば後ろの項を r 回選ぶ代わりに、前の項を s 回選んでも、残りは n − s 回です。得られる指数と組合せの数は同じ選択を別の側から数えたものになります。ただし1つの式の途中で r の意味を変えると指数が対応しなくなるため、最初に決めた意味を最後まで保ちます。選ぶ側を変えた場合も、元の括弧に戻して各項の個数を数え直しましょう。

練習：問題を先に解く

次の係数はそれぞれ整数で答えてください。一般項、指数の条件、係数の計算を紙に残し、答えた後に選び方へ戻して確認します。

1. (x + 2)⁶ を展開したときの x⁴ の係数を求めてください。
2. (3x − 1)⁴ を展開したときの x の係数を求めてください。
3. (1 + x²)⁵ を展開したときの x³ の係数を求めてください。
4. (1 − x)⁵(1 + 3x) を展開したときの x² の係数を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 2 を r 回選ぶと、一般項は 6Cᵣ × x の 6 − r 乗 × 2 の r 乗です。6 − r = 4 より r = 2 で、選択回数の範囲内です。係数は 6C₂ × 2² = 15 × 4 = 60 です。元の6個の括弧のうち2個から 2 を選ぶと、1通りの積は 4x⁴、位置は15通りなので 60x⁴ と確かめられます。

2. -1 を r 回選ぶ一般項は 4Cᵣ × (3x) の 4 − r 乗 × (-1) の r 乗です。4 − r = 1 より r = 3 です。係数は 4C₃ × 3 × (-1)³ = 4 × 3 × (-1) = -12 です。元の4個から 3x を1回、-1 を3回選ぶと1通りの積は -3x です。3x を選ぶ位置は4通りなので -12x に戻ります。

3. x² を r 回選ぶ一般項は 5Cᵣ × x の 2r 乗です。x³ ができるには 2r = 3 が必要ですが、r = 3/2 は整数ではありません。したがって係数は 0 です。元の5個の括弧から x² を何個選んでも指数はその個数の2倍になり、3にはならないことでも確かめられます。

4. 右から 1 を選ぶ場合には左の x² が、右から 3x を選ぶ場合には左の x が必要です。左の一般項は 5Cᵣ × (-x) の r 乗です。x² の係数は 5C₂ × (-1)² = 10、x の係数は 5C₁ × (-1) = -5 です。よって求める係数は 10 × 1 + (-5) × 3 = -5 です。元の積に戻すと、対象となる組は 10x² と 1、-5x と 3x で、それぞれ 10x²、-15x² を生みます。和は -5x² です。

練習3では選べない回数を四捨五入せず、練習4では符号の異なる寄与を合わせています。計算結果が整数になったことだけでは十分ではありません。各括弧から選んだ項の個数と指数の合計が、最初の条件に戻るかを確かめましょう。

手元に残す要点

• 選ぶ回数 r は 0 以上 n 以下の整数です。
• 一般項で文字の指数を目標の次数に合わせます。
• 組合せの数に、選んだ項の数と符号の積を掛けます。
• 同じ次数を作る寄与が複数あれば符号付きで足します。

どこで止まったかを見つける

係数の数値が合わないときは、完成した答えからさかのぼり、まず r が何を選ぶ回数かを説明してみます。次に残りの括弧の個数、文字の指数、1通りの積、選び方の数という順で確かめると、指数の取り違えと掛け忘れを分けられます。例題2のように式が掛け合わされる問題では、目標次数を作る組を先に列挙できるかも見ます。

個別指導で確かめるなら、答えの正誤だけでなく、指定次数に合う r が存在しない理由や、符号の異なる項を足す理由を自分の言葉で説明できるかを扱います。途中で止まった場合は、括弧を小さい個数にして実際に選ぶ操作に戻り、一般項の各部分との対応を再びたどります。選択回数と指数の対応が、係数を見つける道しるべです。