高校数学I 仮説検定の考え方—偶然で説明できるかを実験の分布と照らして判断する｜武蔵野個別指導塾

5回の試行を100組再現し、観測結果の位置と判断の限界をたどる仮説検定。

定期テストの復習で、まれな結果を見た高校生が、初めに置いた仮定は必ず誤りだと断定する。よくあるのは、そのような場面です。めったに起こらないことも、起こる可能性が0でなければ実際に起こりえます。反対に、珍しくない結果が出ても、仮定が正しいと証明されたわけではありません。何を仮定し、何を観測し、どの結果を「少なくとも同じくらい極端」と数えるかを順に分けて考えます。

答案で問われる判断の型

1つ目は、仮定の下での実験結果の分布から、観測結果以上の個数を数える型です。たとえば、ある回数以上という条件なら、境界とそれを超える場合の両方を含めます。表の合計を確認し、該当する組数を全体の組数で割ります。比を出すだけでなく、問題に示された基準と比べて言葉で結論を書くところまでが答案です。

2つ目は、仮定の下で起こりにくい結果が得られたとき、どのような判断ができるかを説明する型です。仮定と結果の食い違いは疑う理由になりますが、必ず仮定が誤りだと断定する根拠にはなりません。反対に、基準に届かないときは、疑うための十分な根拠が得られなかったと述べます。

3つ目は、試行の条件や判断の方向を読み取る型です。「多すぎるか」を調べる問いと「少なすぎるか」を調べる問いでは、表の数え方が逆になります。どの方向を調べるのか、観測前に置いた基準は何かを確認します。ここでは正規分布や検定公式に進まず、実験の分布を使って判断の筋道を追います。

仮定から観測までの距離を測る

確かめたい主張に対して、まず比較の出発点となる仮定を置きます。たとえば、コインの表と裏が同じ程度に出るという仮定です。その仮定が成り立つとして同じ条件の試行を何組も作り、各組の結果を並べると、どの結果が多く、どの結果が少ないかを調べられます。実際に得た結果は観測結果と呼び、再現した組の分布と区別します。

図1のように、仮定から分布を作り、観測結果の位置を調べてから判断します。仮定を置いた時点で、実物がその性質を持つと決めたことにはなりません。比較のためにいったん受け入れ、その下で結果がどの程度珍しいかを見るのです。

図1の分布は、仮定が正しい場合の結果のばらつきを表します。観測は1組の結果なので、分布全体と同一ではありません。分布の端に近いというだけでは判定できず、「何以上」「何以下」と基準を決めて個数を数えます。

シミュレーションは、仮定した条件を乱数などで再現する方法です。1組の試行回数、繰り返す組数、乱数の初期値、何を記録するかを残せば、計算を再現できます。ただし得られた割合は有限回の再現による値であり、試行をやり直すと変わることがあります。割合が小さいことと可能性が0であることを区別しましょう。

判断基準も問題の条件です。たとえば「該当割合が20%以下なら仮定を疑う」と先に決めたなら、20%ちょうども含めます。これはこの問題での決め方であり、どんな問題にも共通する基準ではありません。観測後に都合のよい基準や方向を選ぶと、判断の意味が変わります。

基本例題：5回の表を数える

表と裏が同じ程度に出るコインについて、1回ごとの結果は互いに影響しないと仮定します。5回投げることを1組とし、実際の1組では表が4回出ました。表が多すぎるかを調べるため、同じ仮定で100組をシミュレーションしました。乱数の初期値は30で、各回に0と1を同じ確率で選び、1を表として5個の和を記録します。次の組数を使い、表が4回以上の割合を正確な分数と百分率で求めてください。該当割合が20%以下なら仮定を疑うという、この問題の基準で判断してください。

図2のように、観測した4回以上に当たる列をまとめます。「以上」には4回そのものも入ります。5回の列を忘れたり、4回の列だけを数えたりしないように、条件を表の上に書きます。

まず、表の組数が指定の100組に戻るかを確かめます。

5 + 16 + 26 + 34 + 14 + 5 = 100

次に、4回と5回の組数を足します。

14 + 5 = 19

したがって、求める割合は19/100、百分率では19%です。図2の右側に示した2列の合計と一致します。19%は、この問題で先に定めた20%以下ですから、表と裏が同じ程度に出るという仮定を疑います。

ただし、この判断は仮定の誤りを証明しません。実際、仮定の下で再現した100組のうち19組に4回以上の表が出ています。仮定が成り立っていても今回のような結果は起こりえます。また、19%は再現した100組の割合です。すべての可能な結果を数えた厳密な割合と同じとは限りません。

確認のため、仮定の下の5回の表裏の並びを考えます。各並びは同じ確率で、全部で2×2×2×2×2 = 32通りです。表が4回の並びは裏の位置を選ぶ5通り、表が5回の並びは1通りです。よって厳密な割合は6/32 = 3/16です。これはシミュレーションの19/100と別の値ですが、どちらも仮定の下での4回以上を表しています。問題が指定した判定には表の19/100を使います。

境界を含めるかで結論が変わる

別の装置が印を付けるかどうかを1回ずつ調べます。各回で印が付く可能性は同じで、回どうしは独立だという仮定の下、8回を1組として再現しました。実際の1組で印が7回付いたとき、多すぎるかを調べます。100組の再現結果では、印が7回の組が16組、8回の組が4組でした。7回以上の割合を分数と百分率で表し、20%以下なら仮定を疑うと決めた場合の判断を述べてください。

7回以上には7回と8回の両方が入ります。該当する組数は16 + 4 = 20組です。100組のうち20組なので、割合は20/100 = 1/5、つまり20%です。境界を含む「以下」という条件に従い、仮定を疑います。20%未満という別の条件なら、20%は含まれず、この基準では疑う側に入りません。数字だけでなく、不等号を含む言葉を読むことが分かれ目です。

ここで表に挙げたのは7回と8回の組数です。残りの80組は6回以下なので、7回以上の計算には入りません。20組を100組に戻すと全体の1/5に当たり、観測した7回もその数えた範囲に入ります。仮定が正しくてもその範囲が現れる可能性があるため、結論は「疑う」までです。逆に割合が基準を超えた場合も、仮定が正しいと証明されたとは言えません。

誤答をほどいて言い直す

基本例題で「表が4回以上になったので、コインが公平でないことが証明された」と答えたとします。図3のように、観測結果から直接断定へ飛ぶ部分が誤りです。4回以上は仮定の下でも再現されていますから、観測と仮定が論理的に両立しないわけではありません。

原因は、起こりにくいことと起こりえないことを同じとみなした点にあります。図3の修正の道筋では、まず19/100を求め、与えられた20%以下という基準と比べます。そのうえで「仮定を疑うが、誤りと証明されたわけではない」と書きます。判断と証明の違いを言葉にすると、結果の意味を落とさずに済みます。

もう1つの誤りは、観測が4回だから4回の14組だけを数え、14%とすることです。多すぎるかという問いでは5回も少なくとも同じ方向に極端です。14 + 5の19組に直します。一方、少なすぎるかを調べる問題で同じ右側を数えるのも誤りです。方向は問いの条件から決め、観測結果を見てから変えません。

自分で確かめる4問

以下の表と基準は各問題のために作ったものです。割合は正確な分数と百分率で答え、判断の理由も書いてください。各表の組数の合計は100組です。シミュレーションで得た割合として扱い、厳密な確率と同一視しないでください。

1. 6回の試行を1組として再現したところ、成功が5回の組は12組、6回の組は3組でした。実際に5回成功し、多すぎるかを調べます。5回以上の割合を求め、15%以下なら仮定を疑う基準で判断してください。
2. 4回の試行を1組として再現したところ、成功が0回の組は4組、1回の組は9組でした。実際に1回成功し、少なすぎるかを調べます。1回以下の割合を求め、10%以下なら仮定を疑う基準で判断してください。
3. 10回の試行を1組として再現したところ、成功が8回の組は11組、9回の組は6組、10回の組は2組でした。実際に8回成功し、多すぎるかを調べます。8回以上の割合を求め、19%未満なら仮定を疑う基準で判断してください。
4. 3回の試行を1組として再現したところ、成功が0回の組は8組、1回の組は24組、2回の組は44組、3回の組は24組でした。実際に0回成功し、少なすぎるかを調べます。0回以下の割合を求め、10%以下なら仮定を疑う基準で判断してください。仮定の正誤を必ず決められるかも答えてください。

練習の答えと戻し方

1. 5回以上は5回と6回なので、12 + 3 = 15組です。割合は15/100 = 3/20、15%です。15%以下には境界の15%を含むため、仮定を疑います。3/20を100組に掛けると15組となり、元の2列の和に戻ります。仮定の誤りが証明されたわけではありません。

2. 1回以下は0回と1回なので、4 + 9 = 13組です。割合は13/100、13%です。13%は10%以下ではないため、この基準では仮定を疑うための十分な根拠が得られません。13/100を100組に掛けると13組で、観測の1回を含む両列に戻ります。仮定が正しいと証明されたという意味ではありません。

3. 8回以上の組数は11 + 6 + 2 = 19組です。割合は19/100、19%です。基準は19%未満なので、ちょうど19%は含まれません。この基準では仮定を疑うための十分な根拠が得られません。19/100を100組に掛けると19組で、3列の和に戻ります。「未満」を「以下」に変えれば判断は変わりますが、問題の条件を変えてはいけません。

4. 0回以下は0回の8組です。割合は8/100 = 2/25、8%です。8%は10%以下なので仮定を疑います。2/25を100組に掛ければ8組に戻ります。実際に0回という結果は仮定の下の再現にもあるため、仮定が必ず誤りだとは決められません。表の残りは24 + 44 + 24 = 92組で、合わせて100組です。

分布の読み違いを防ぐ確認

割合の分母は、1組の中の試行回数ではなく、再現した組の総数です。基本例題では5回投げた結果を100組作ったので、4回以上の19組を100組で割ります。19を5で割ると、異なる単位の数を比べることになり、求めたい割合にはなりません。表の各列が「回数」、表の中の数が「組数」だと書き添えると、分母の取り違えを防げます。

また、観測とまったく同じ結果の組数と、観測以上の組数は別です。問いが「以上」なら観測より大きい値も足し、「以下」なら小さい値も足します。表が途中までしか示されていない場合は、必要な列が欠けていないかを確かめます。欠けた列の組数を勝手に0とは置けません。判断基準が示されていない場合も、割合を求めたうえで、どの基準を採用するかが判断に必要だと区別します。

手元に残す要点

仮定の下で結果を再現し、観測結果と比較します。
問いの方向に沿って境界を含む組を数えます。
割合を、問題で先に定めた基準と比べます。
疑う判断は、仮定の誤りの証明ではありません。

どこで止まったかを確かめる

表から列を選べないときは、観測結果を指して「これより多い結果はどちらか」と説明してみます。境界を落とす場合は、「以上」と「未満」を数字の横に書き換え、等しい場合を声に出して確かめます。割合は合っているのに結論が反対なら、求めた数と基準を並べ、基準に等しい場合も含めて比較します。

個別指導では、再現の1組と観測の1組を区別して説明できるか、選んだ列が問いの方向と一致するかを確かめます。さらに、仮定を疑う判断の後に、仮定が正しくても同じ結果が起こりうると説明できるかを見ます。仮定と観測の間にある分布を言葉でつなげれば、結論の強さも自分で調整できます。