高校数学I 度数分布と代表値—表やヒストグラムから分布の形と中心を読み取る｜武蔵野個別指導塾

階級の人数を重みにした平均の概算と、元の値から求める中央値を通して読み解きます。着目するのは度数分布です。

よくあるのは、定期テストの復習で、階級ごとの人数を見ずに階級値だけを平均する場面です。例えば、ある階級に多くの値が集まっていても、各階級の真ん中を1回ずつ足して割ると、人数の違いが消えてしまいます。表には値の範囲と人数の両方があるので、計算にもその両方を使います。元の値が残っている場合と、表しか残っていない場合で、答えの精度も変わります。

ここでは、分布を表とヒストグラムで読み、平均値・中央値・最頻値を求めます。数値は説明用に作ったもので、実際の調査結果ではありません。どの値を数え、何を失った表なのかを意識すると、計算後の答えも点検しやすくなります。

表を見たときに選ぶ手順

出方の1つは、度数分布表の空欄を埋める問題です。各階級の度数を合計して全体の個数を出し、その個数で各度数を割ると相対度数になります。相対度数は全体のうちの割合なので、度数の合計と相対度数の合計を別々に点検します。

2つ目は、ヒストグラムから分布の様子を説明する問題です。横軸の区間と縦軸の意味を読み、どこに多く集まるか、片側に長く伸びているかを見ます。階級幅が等しい図なら、最も高い柱が最も度数の多い階級を示します。棒の幅が異なる図を同じ読み方で処理しないことも大切です。

3つ目は、データそのものから代表値を求め、表から得られる値と区別する問題です。平均値は合計を個数で割り、中央値は小さい順に並べた中央から決めます。最頻値は元のデータなら最も多く現れる値です。度数分布表では、度数が最大の階級の階級値を最頻値として使います。両者は必ずしも一致しません。

階級の境目と人数の対応

階級は値をまとめる区間です。「2以上4未満」なら、2は入り、4は入りません。隣が「4以上6未満」なら4は後の階級に入ります。両端をともに含めると境目の値を二重に数えるので、どちらの端を含むかを表で確認します。階級幅は上端と下端の差で、この例では2です。

図1のように、1つの階級には範囲、中央を表す階級値、その範囲に入る個数である度数が対応します。相対度数は、その階級の度数を全体の個数で割った値です。例えば全体が10個で度数が3なら、相対度数は3/10です。割合に単位はありません。

図1では、2以上4未満の階級値は両端の平均の3です。度数3は、範囲に入る値が3個あることを表します。3個がすべて3だと決まったわけではありません。階級値は区間を代表させるための値であり、個々の観測値そのものとは区別します。

ヒストグラムは、横軸に連続した階級、縦軸に度数を置き、階級ごとに柱を描いた図です。階級幅が同じときは柱の高さで度数を比較できます。幅が異なる階級では、柱の面積を度数に対応させるため、縦軸を度数ではなく度数密度として扱う描き方があります。軸と幅を見ずに高さだけを比べないようにします。

度数が0の階級も、範囲の途中にあれば省かずに表します。値が存在しない区間を示せるため、2つの山の間に空きがある分布も読み取れます。相対度数も0であり、全体の個数が0の場合は割り算ができないので相対度数を定められません。

表にまとめると各階級の中の細かな位置は失われます。したがって、表からの平均は各値が階級値にあると仮定した概算です。元データがあれば本来の合計から正確な平均を求められますが、表の概算がそれと一致する保証はありません。

基本例題：度数を重みにして計算する

ある作業にかかる時間として、次の8個のデータを用意しました。単位は分です。

1、2、2、3、4、5、6、7

階級を0以上2未満、2以上4未満、4以上6未満、6以上8未満とします。度数と相対度数の表を作り、元データの平均値、中央値、最頻値を求めてください。また階級値を使った平均の概算と、表から決める最頻値を求めてください。時間は分を単位とし、割合を含め答えは整数または既約分数で表します。

まず境目を確かめながら個数を数えます。0以上2未満には1の1個、2以上4未満には2、2、3の3個が入ります。4以上6未満には4、5の2個、6以上8未満には6、7の2個が入ります。度数の合計は1 + 3 + 2 + 2 = 8で、元の個数に戻ります。

それぞれの度数を8で割りました。相対度数の合計は1/8 + 3/8 + 1/4 + 1/4 = 1です。図2のように階級幅はすべて2分なので、柱の高さを度数としてそのまま比較できます。

図2で最も高い柱は2以上4未満です。階級値は3分なので、表から決める最頻値は3分です。一方、元データで最も多い値は2分で、こちらが元データの最頻値です。表にした段階で、同じ階級の中の2と3を区別しなくなるため、2つの答えは違っても矛盾しません。

元データの合計を順に作ると、

1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 30

です。8個あるので平均値は30/8 = 15/4分です。小さい順に並んだ8個の中央は、4番目の3と5番目の4の間にあります。よって中央値は(3 + 4)/2 = 7/2分です。偶数個のときは中央の2個の平均を取ります。

階級値による平均は、階級値にその度数を掛けてから合計します。

1 × 1 + 3 × 3 + 5 × 2 + 7 × 2 = 34

34/8 = 17/4分です。3分の階級値は度数3に対応するため、3を3回分足しています。実際の合計30分の代わりに34分を使っているので、この結果は元の平均15/4分とは別の概算です。検算では、表の度数をもう一度足して8個になることと、各元データをその階級に戻したとき表の個数になることを確認します。

もう一歩：同じ表でも中心は決まるか

2組のデータA、Bはそれぞれ6個で、いずれも0以上2未満に2個、2以上4未満に3個、4以上6未満に1個入ります。Aは0、1、2、2、2、4、Bは1、1、3、3、3、5です。元のデータの平均値、中央値、最頻値と、共通の度数分布表からの平均の概算を求め、時間のデータとして分単位の整数または既約分数で答えてください。

Aの合計は0 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4 = 11なので、平均値は11/6分です。中央の3番目と4番目はともに2ですから、中央値は2分です。2が3回現れるため、最頻値も2分です。

Bの合計は1 + 1 + 3 + 3 + 3 + 5 = 16なので、平均値は16/6 = 8/3分です。中央の2個はともに3で、中央値は3分です。3が3回現れるので最頻値も3分です。

共通の表では階級値が順に1、3、5、度数が2、3、1です。したがって概算は(1 × 2 + 3 × 3 + 5 × 1)/6 = 16/6 = 8/3分です。AもBも元の値を階級に戻すと2個、3個、1個に分かれますが、元の平均や中央値は違います。Bでは概算と元の平均が一致しますが、表だけで一致を判定することはできません。

中央の位置がどの階級にあるかは、度数を小さい階級から累積して調べられます。この例では3番目と4番目がともに2以上4未満にあるとわかります。それでも、その階級内のどの値かは表だけでは決まりません。中央の2個が異なる階級に入る場合も、その2個の正確な値が不明なら中央値を正確には決められません。

誤答を元の表に戻して直す

基本例題で「階級値は1、3、5、7だから平均は(1 + 3 + 5 + 7)/4 = 4分」とするのは、元データの平均としても階級値による概算としても誤りです。各階級に同じ1個ずつ入っているかのように扱い、1、3、2、2という度数の違いを捨てています。

図3のように、階級値3は3個分、階級値5と7はそれぞれ2個分として数えます。修正後は合計34を全体の8で割り、17/4分という概算です。図3の各まとまりの個数を合計すると8になるので、割る数も4ではなく8だと確認できます。

図3の点は実際の測定値ではなく、階級値に置き換えた個数を示しています。元データを正確に足した合計は30であることも、概算との違いを見直す手がかりです。例えば階級の数がデータ数と偶然同じでも、各階級に1個ずつ入るとは限りません。何を何回足したかまで確かめます。

別の誤りとして、2以上4未満に4を入れることがあります。この場合、4は次の階級へ移し、両方の度数と相対度数を計算し直します。度数の総和が合っていても、隣の階級への入れ違いは残るため、合計の点検に加えて端の値を一つずつ照合します。

練習：表と元データを往復する

次の4問はそれぞれ独立しています。答えは整数または既約分数で表し、時間には分を付けてください。元のデータは小さい順に並べてあります。

1. ある読書の時間は1、1、3、5、5、5、8分です。平均値、中央値、最頻値を求めてください。
2. ある作業時間の度数分布は、0以上4未満が2個、4以上8未満が5個、8以上12未満が3個です。各階級の相対度数、階級値による平均の概算、表から決める最頻値を求めてください。
3. 別の時間データは0、2、4、4、6、9分です。3分幅の階級を0以上3未満から12未満まで作り、度数と元データの中央値を求めてください。
4. ある時間データは4個で、1、2、2、x分です。xは2以上の整数で、平均値が4分です。xと中央値を求めてください。

答えと確かめ方

1. 合計は1 + 1 + 3 + 5 + 5 + 5 + 8 = 28分、個数は7なので平均値は28/7 = 4分です。中央の4番目は5分、最も多く現れる値も5分です。合計へ戻すと4 × 7 = 28分となり、元の時間の合計と一致します。5が3回あることも数え直します。

2. 全体は2 + 5 + 3 = 10個です。相対度数は順に2/10 = 1/5、5/10 = 1/2、3/10です。階級値は2、6、10分なので、概算は(2 × 2 + 6 × 5 + 10 × 3)/10 = 64/10 = 32/5分です。度数最大の階級は4以上8未満で、表から決める最頻値は6分です。相対度数の和は1/5 + 1/2 + 3/10 = 1で、度数も10個に戻ります。概算に10を掛けた64分は階級値による合計であり、実際の合計とは限りません。

3. 0以上3未満は0、2で2個、3以上6未満は4、4で2個、6以上9未満は6で1個、9以上12未満は9で1個です。9は前の階級の上端なので次の階級に入ります。度数の和は2 + 2 + 1 + 1 = 6です。中央値は3番目と4番目の平均で、(4 + 4)/2 = 4分です。元の6個を各階級に戻すと、求めた度数と一致します。

4. 平均の条件から(1 + 2 + 2 + x)/4 = 4です。両辺に4を掛けて5 + x = 16、したがってx = 11です。これは2以上の整数という条件を満たします。並びは1、2、2、11で、中央値は(2 + 2)/2 = 2分です。元の場面へ戻すと合計は16分で、4個の平均は4分となります。xが2未満なら指定された並び順のまま中央を読むことはできませんが、今回の解はその条件に反しません。

覚えておきたい4点

階級の端を含むか確認し、度数の合計を元の個数と照合します。
相対度数は階級の度数を全体の個数で割ります。
階級値による平均は度数を掛けて合計し、全体の個数で割る概算です。
中央値と最頻値は、元データと表のどちらから求めたかを区別します。

つまずきが見える場所

相対度数の分母が階級の数になっているなら、表の中で「何個中の何個」を示すのかを言葉にしてみます。平均の式で掛け算が抜けるなら、階級値を度数の回数だけ書き出し、その和を掛け算に直します。中央を選べないときは、データ数が偶数か奇数かを確認し、中央の位置に印を付けます。

個別指導で確かめるなら、最初に答えだけでなく、ある境界値をどの階級へ入れたかを説明してもらいます。次に階級値の積が何を数えているか、概算と元の平均のどちらを求めたかを問い直します。表の数字を元の値に戻して考えれば、どの情報が残り、どの情報が失われたかを区別できます。

度数を伴う表では、代表値の根拠も人数とともに読み取れます。