高校数学I 三角比の定義—直角三角形の辺の対応から三つの比を求める｜武蔵野個別指導塾

角を取り替えたときの辺の呼び方、特別角、高さの求め方を図と例題でたどり、直角三角形から鋭角の三角比を学びます。

よくあるのは、定期テストの復習で、直角三角形の基準にする角を変えても、向かい側の辺を同じ辺のまま計算する場面です。同じ三角形でも、どちらの鋭角を見るかによって、向かい側と隣の辺は入れ替わります。辺の長さを式へ入れる前に、角と辺を指でたどると、何を何で割るかを決めやすくなります。ここでは鋭角の三角比と、それを使った辺や高さの計算を扱います。

どのように問われるか

まず、直角三角形の辺の長さが与えられ、指定された角の sin、cos、tan を求める型があります。三辺がそろっていない場合は、三平方の定理で不足する辺を求めてから比を作ります。角の名前を読み違えると、計算自体が正しくても別の角の答えになります。

次に、30度、45度、60度の比を使い、辺の長さを求める型があります。比を暗記したかどうかだけでなく、与えられた辺が斜辺なのか、角に隣接する辺なのかを判断することが必要です。根号が残る答えでも、問題の指定に合わせて正確に表します。

さらに、地面からの高さを求める型では、文章の中から直角三角形を切り出します。見上げる角の頂点は目の位置です。目の高さを含む全体の高さを尋ねられたら、三角比で求めた目の位置から上の長さに、地面から目までの高さを加えます。水平な距離や垂直な線が条件として与えられているかも確認します。

辺の名前は基準の角から決める

直角三角形の直角に向かい合う辺を斜辺と呼びます。斜辺は直角を挟まない辺で、基準にする鋭角を変えても変わりません。一方、基準の角に向かい合う辺と、その角に接する斜辺以外の辺は、どちらの鋭角を基準にするかで変わります。後者をここでは「隣の辺」と呼びます。

図1のように、直角が C にある三角形 ABC を考えます。角 A を基準にすると、BC が向かい側、AC が隣、AB が斜辺です。角 B を基準にすると、AC が向かい側、BC が隣です。AB はどちらから見ても斜辺です。

図1の対応を使うと、角 A の三角比は次のように定義されます。

sin A = BC / AB
cos A = AC / AB
tan A = BC / AC

sin は向かい側を斜辺で割った比、cos は隣を斜辺で割った比、tan は向かい側を隣で割った比です。割る順序も定義の一部です。角 B なら sin B = AC / AB、cos B = BC / AB、tan B = AC / BC です。辺の名前を固定せず、そのたびに角から見直します。

同じ鋭角を持つ直角三角形は相似です。対応する辺が同じ倍率で伸びるため、例えば向かい側と斜辺の比は変わりません。辺の実際の長さが違っても、同じ角なら三角比は同じです。比には長さの単位を付けません。例えば cm 同士の比と m 同士の比は、同じ三角形を表せば一致します。長さを代入するときは、分子と分母の単位をそろえます。

特別な角の値も三角形から作れます。一辺が 2 の正方形を対角線で分けると、直角を挟む辺が 2 と 2、斜辺が 2√2 の直角二等辺三角形です。鋭角は各 45度なので、sin 45度 = √2 / 2、cos 45度 = √2 / 2、tan 45度 = 1 です。

また、一辺が 2 の正三角形を頂点から底辺へ垂線で分けると、底辺の半分が 1、高さが √3 です。30度に対して向かい側が 1、隣が √3、斜辺が 2 なので、sin 30度 = 1 / 2、cos 30度 = √3 / 2、tan 30度 = √3 / 3 です。もう一方の 60度では向かい側と隣が入れ替わり、sin 60度 = √3 / 2、cos 60度 = 1 / 2、tan 60度 = √3 です。tan 30度 は 1 / √3 を有理化した値です。

基本例題：同じ三角形で角を取り替える

直角三角形 ABC は角 C が直角で、AC = 6 cm、BC = 8 cm です。角 A と角 B の sin、cos、tan をそれぞれ正確な分数で求めてください。

図2のように、まず斜辺 AB を求めます。三平方の定理より、AB² = AC² + BC² です。したがって、

AB² = 6² + 8²
AB² = 36 + 64 = 100
AB = 10 cm

長さは正なので、平方して 100 になる数のうち正の 10 を取ります。図2で角 A から見ると、向かい側は 8 cm、隣は 6 cm、斜辺は 10 cm です。定義に順番どおり代入します。

sin A = 8 / 10 = 4 / 5
cos A = 6 / 10 = 3 / 5
tan A = 8 / 6 = 4 / 3

角 B から見ると、斜辺は 10 cm のまま、向かい側が 6 cm、隣が 8 cm になります。よって、

sin B = 6 / 10 = 3 / 5
cos B = 8 / 10 = 4 / 5
tan B = 6 / 8 = 3 / 4

答えは角 A について順に 4 / 5、3 / 5、4 / 3、角 B について順に 3 / 5、4 / 5、3 / 4 です。sin A と cos B が同じになるのは、どちらも辺 BC を斜辺 AB で割っているからです。tan は分母が斜辺ではないため、1 より大きくなることもあります。

元の辺へ戻して確かめます。斜辺 10 cm に sin A の 4 / 5 を掛けると BC は 8 cm、cos A の 3 / 5 を掛けると AC は 6 cm です。また、AC の 6 cm に tan A の 4 / 3 を掛けても BC は 8 cm に戻ります。角 B でも、10 に 3 / 5 と 4 / 5 を掛ければ、それぞれ向かい側の 6 cm と隣の 8 cm になります。角に対する辺の対応まで確かめることができます。

辺の長さが一部しかない場合にも、まず図に既知の長さを記します。例えば斜辺が 5、ある鋭角の向かい側が 3 なら、隣の辺の二乗は 5² − 3² = 16 です。辺の長さは正なので隣は 4 です。この角の sin は 3 / 5、cos は 4 / 5、tan は 3 / 4 と求まります。逆に 3² + 4² = 5² で、求めた辺を元の直角三角形の条件に戻せます。斜辺が直角を挟む辺より短いという条件なら、この方法で正の長さは得られず、与えられた三角形自体が成立しません。

比から長さを求めるときは、分母を掛ける操作にも意味があります。向かい側 / 斜辺 = 3 / 5 で斜辺が 10 cm なら、向かい側は 10 × 3 / 5 = 6 cm です。6 / 10 を約分して元の 3 / 5 に戻せます。分母に当たる辺がわかっているか、求める辺が分母にあるかを確認して式を解けば、掛け算と割り算を逆にする失敗を防げます。

高さを求めるときの分かれ目

水平な地面に垂直に立つ棒があります。棒の根元から水平に 9 m 離れた場所で、地面から 1.5 m の高さにある目から棒の先端を見上げる角が 30度でした。棒の高さを、根号を含む正確な値で m を単位として求めてください。目と棒の間に障害物はなく、目から棒へ引く水平線は棒と交わるものとします。

目の位置から棒へ水平線を引くと、その長さは 9 m です。棒と水平線の交点から先端までを h m とします。水平線と棒は垂直なので、目、交点、先端を頂点とする直角三角形ができます。30度の角から見ると、h は向かい側、9 は隣です。斜辺の長さは与えられていないため、向かい側と隣を結ぶ tan を使います。

h / 9 = tan 30度 = √3 / 3
h = 9 × √3 / 3 = 3√3

この h は目の高さより上の部分です。棒は地面から立ち、交点は目と同じ高さなので、求める棒全体の高さは (1.5 + 3√3) m です。1.5 m を引いたものを答えると、求めた h と全体の高さを取り違えます。

確かめとして、答えから目の高さ 1.5 m を引くと 3√3 m です。これを水平距離 9 m で割ると √3 / 3 になり、30度の tan と一致します。水平距離は斜めの視線の長さではありません。もし視線の長さが与えられ、垂直方向を求める別の設定なら、向かい側と斜辺を結ぶ sin を選びます。与えられた数に名前を付けてから比を選ぶことが分かれ目です。

距離が 0 なら、目と棒の間にこの形の直角三角形は作れません。また、30度の角から計算した h が正でも、棒が地面に垂直という条件がなければ、h を棒の一部分と判断できません。条件が欠けた図に、見た目だけで直角を足さないようにします。

誤答から辺の対応を直す

基本例題と同じ三角形で、角 B の sin を 8 / 10 = 4 / 5 とする誤答を考えます。図3のように 8 cm は角 A の向かい側ですが、角 B にとっては隣の辺です。8 / 10 は cos B にはなりますが、sin B ではありません。

原因は、図の中で「向かい側」と書く場所を固定したことです。修正するときは、角 B の両辺をたどり、角 B に接しない辺を探します。それは長さ 6 cm の AC です。斜辺は直角 C の向かい側の AB なので、sin B = 6 / 10 = 3 / 5 です。値を覚え直す前に、角の指定へ戻ります。

もう一つの誤りは、tan A を斜辺 10 で割って 8 / 10 とすることです。これは sin A の定義です。tan A は向かい側 8 を隣 6 で割るため 4 / 3 です。分母がどの辺か声に出してから数字を書くと、3つの式の違いを点検できます。約分の前に辺の名前を書けば、約分が正しいのに比が違う失敗も見つけやすくなります。

自分で解く問題

いずれも長さは正とします。根号を含む場合は小数にせず、分母に根号が残らない正確な値で答えてください。

1. 直角三角形 PQR で角 R は直角、PR = 5 cm、QR = 12 cm です。角 P の sin、cos、tan を正確な分数で求めてください。
2. 直角三角形 DEF で角 F は直角、角 D は 60度、斜辺 DE は 14 cm です。DF と EF の長さをそれぞれ cm で求めてください。
3. 水平な地面に垂直に立つ柱の先端を、根元から水平に 4 m 離れた地面上の点から見上げる角は 45度です。柱の高さを m で求めてください。
4. 直角三角形 XYZ で角 Z は直角です。角 X の tan が 2 / 3、XZ が 6 cm のとき、YZ と XY の長さをそれぞれ cm で求めてください。

解答と道筋

1. 斜辺 PQ は PQ² = 5² + 12² = 169 より 13 cm です。角 P の向かい側は QR、隣は PR ですから、sin P = 12 / 13、cos P = 5 / 13、tan P = 12 / 5 です。13 に 12 / 13 と 5 / 13 を掛けると、それぞれ与えられた 12 cm と 5 cm に戻ります。5 に 12 / 5 を掛けても 12 cm です。角 Q を基準にしないことが条件の読み取りです。

2. 角 D の隣は DF、向かい側は EF、斜辺は DE です。したがって DF / 14 = cos 60度 = 1 / 2 より DF = 7 cm、EF / 14 = sin 60度 = √3 / 2 より EF = 7√3 cm です。逆に各辺を 14 で割ると 1 / 2 と √3 / 2 に戻り、指定された角の比と一致します。さらに 7² + (7√3)² = 49 + 147 = 196 = 14² なので直角三角形の辺としても合います。

3. 柱の高さを x m とすると、見上げる角に対して向かい側が x、隣が 4 です。x / 4 = tan 45度 = 1 より x = 4 m です。高さ 4 m を水平距離 4 m で割ると 1 となり、45度の比に戻ります。観測点が地面上なので、目の高さを追加する設定ではありません。

4. 角 X の向かい側は YZ、隣は XZ です。YZ / 6 = 2 / 3 より YZ = 4 cm です。XY² = 6² + 4² = 52 より、長さが正であることから XY = 2√13 cm です。4 / 6 = 2 / 3 で指定された tan に戻り、(2√13)² = 52 も直角を挟む 2 辺の二乗の和に一致します。tan の分母に斜辺を置いていないかも見直します。

手元に残す要点

斜辺は直角の向かい側、向かい側と隣は基準の角から決めます。
sin は向かい側 / 斜辺、cos は隣 / 斜辺、tan は向かい側 / 隣です。
特別角の値は直角三角形の辺の比から確かめられます。
高さは三角比で出した部分と、問題が求める全体を区別します。

どこで止まったかを見つける

式を書く前に、指定された角を指し、斜辺、向かい側、隣の順に辺を示せるかを確かめます。角を変えたときに斜辺まで変えてしまうなら直角の位置に戻り、向かい側が変わらないなら新しい角に接しない辺を探します。辺は示せるのに式が違う場合は、比の分母と分子を言葉で読み直します。

個別指導では、途中の図に生徒自身が辺の役割を書き、なぜその比を選んだかを説明できるかを確かめます。高さの問題なら、計算で出した線分の両端を指し、求める高さとの差を図に書き足します。答えを元の長さや角の比へ戻すところまでたどると、計算と条件の読み違いを別々に見直せます。角を基準に辺を選び直す習慣が、三角比の式を支えます。