高校数学I 平方完成—係数と定数項を確かめて二次関数の頂点を求める｜武蔵野個別指導塾

二次係数をくくって定数項を調整する計算を追い、完成した式の展開と頂点への代入で平方完成を確かめます。

よくあるのは、定期テストの復習で高校生が二次の係数を括弧の外に出し忘れるという場面です。二乗の形を作ることに気を取られると、加えた数にも外の係数が掛かることを見落としがちです。平方完成は、式の値を変えずに二乗のまとまりを作る操作です。途中で増やした分を戻し、最後に展開して元の式と照合するところまで練習しましょう。

答案で問われる3つの形

まず、二次式を a(x − p)² + q の形に直す問題があります。a が 1 なら x の係数の半分を使い、a が 1 以外なら先に x² と x の項から a をくくります。定数項をどう調整したかも答案に残すと、間違えた行を探しやすくなります。

次に、二次関数の式を平方完成し、軸と頂点を答える問題があります。括弧の中の符号と頂点の横の座標の関係を読む必要があります。例えば x + 3 は x − (-3) と同じなので、軸は x = -3 です。括弧の外の定数は頂点の縦の座標です。

さらに、分数や負の係数が混じる式を扱う問題もあります。分数が現れたからといって途中で小数に直す必要はありません。分数のまま通分し、外の係数を掛けた後に定数項と合わせます。ここでは平方完成と軸・頂点に絞り、グラフの移動は扱いません。

二乗を作るときに増える量

(x + h)² を展開すると x² + 2hx + h² です。したがって x² + 2hx を二乗の形にするには、h² を加える必要があります。ただし、元の式にない h² を加えたままでは等式が崩れます。同じ量を引けば、全体の値は変わりません。

x² + 6x なら、x の係数 6 の半分は 3 です。よって x² + 6x = (x + 3)² − 9 です。展開したときの定数 9 を引いて、元の定数 0 に戻しています。係数を半分にするのは、展開後の x の係数が括弧内の数の2倍になるからです。

図1のように、加えた 9 と引いた 9 は対になっています。ここで二乗の外に係数がある場合は注意が必要です。例えば 2(x² + 6x) は 2{(x + 3)² − 9} なので、括弧を外すと 2(x + 3)² − 18 です。引く量は 9 で終わらず、外の 2 を掛けた 18 になります。

一般に a が 0 でないとき、y = a(x − p)² + q の軸は x = p、頂点は (p, q) です。x を p から同じ距離だけ左右に動かすと、二乗の値が等しくなります。この対称の中心となる直線が軸です。x = p では二乗部分が 0 になるので、対応する y は q です。a が正でも負でも、この読み方は変わりません。

基本例題：係数をくくってから戻す

次の二次関数を平方完成し、軸と頂点を求めてください。頂点の座標は整数で表します。

y = 2x² + 8x + 3

まず x² と x の項から 2 をくくります。定数 3 はそのまま外に残します。

y = 2(x² + 4x) + 3

括弧の中の x の係数は 4 です。その半分は 2 なので、(x + 2)² を作ります。この二乗を展開すると x² + 4x + 4 です。元の括弧には定数項がなかったので、括弧内で 4 を引きます。

y = 2{(x + 2)² − 4} + 3

次に外の 2 を両方の項に掛けます。引いた 4 にも 2 が掛かることを、途中の行ではっきり示します。

y = 2(x + 2)² − 8 + 3
y = 2(x + 2)² − 5

図2のように、括弧内で引く 4 と、括弧の外で引く 8 は異なります。最後に残る定数は -5 です。x + 2 は x − (-2) ですから、軸は x = -2、頂点は (-2, -5) です。

元の式へ x = -2 を代入して、縦の座標も確かめます。2(-2)² + 8(-2) + 3 = 8 − 16 + 3 = -5 です。また完成した式を展開すると 2(x² + 4x + 4) − 5 = 2x² + 8x + 3 となり、最初の3項に戻ります。頂点の代入は座標の確認、展開は式全体の確認です。片方で合っていても、もう片方を省かずに点検すると安心です。

分数と負の係数が重なるとき

次の二次関数を平方完成し、軸と頂点を求めてください。係数と座標は既約分数または整数で表します。

y = -3x² + 3x + 2

二次係数が負でも、初めの操作は同じです。x を含む2項から -3 をくくると、括弧の中の x の係数の符号が変わります。

y = -3(x² − x) + 2

括弧の中の x の係数は -1 で、その半分は -1/2 です。したがって (x − 1/2)² を作ります。その展開は x² − x + 1/4 なので、括弧内で 1/4 を引きます。

y = -3{(x − 1/2)² − 1/4} + 2

外の -3 を掛けると、引いていた 1/4 は正の 3/4 に変わります。最後に 2 を 8/4 に直して足します。

y = -3(x − 1/2)² + 3/4 + 2
y = -3(x − 1/2)² + 11/4

軸は x = 1/2、頂点は (1/2, 11/4) です。括弧に書かれた -1/2 をそのまま横の座標にするのではなく、x − p の p を探します。元の式に x = 1/2 を戻すと、-3/4 + 3/2 + 2 = 11/4 です。展開しても -3x² + 3x − 3/4 + 11/4 = -3x² + 3x + 2 に戻ります。

分かれ目は、括弧内の調整と括弧外の調整を区別できるかです。負の係数を掛けると加減の向きが変わるため、括弧を残した行を一度書くと符号を追えます。二次係数が 0 の式は二次関数ではなく、この形の a を 0 で割って作ることもできません。まず x² の係数が 0 でないことを確かめます。

誤答から戻る場所を探す

2x² + 8x + 3 を 2(x + 2)² − 1 とした答案を考えます。これは括弧の中で引く 4 を、外の 2 を掛けずに定数 3 から引いた誤りです。実際に展開すると 2x² + 8x + 7 となり、元の定数 3 より 4 大きくなります。

図3のように、括弧内の -4 に外の 2 を掛ければ -8 です。定数は -8 + 3 = -5 と直せます。答えを見て符号だけ変えるのではなく、どの行で値が変わったかを展開で確かめましょう。

別の誤りとして、-3(x − 1/2)² + 11/4 の頂点を (-1/2, 11/4) と読む場合があります。x − p の形と比べると p は 1/2 です。x = -1/2 では二乗部分が 0 にならないので、頂点としての条件も満たしません。符号に迷ったら、括弧を 0 にする x を求める方法が使えます。

また、x² − 5x の係数の半分を -5 とする失敗もあります。半分は -5/2 です。(x − 5/2)² の交差項は -5x になり、元の一次の項に一致します。二乗後の定数 25/4 を引くところまで書けば、途中の誤りを検出できます。

項が欠けた式でも手順を選ぶ

一次の項がないときは、係数を 0 と見ます。例えば 5x² − 6 は 5(x − 0)² − 6 と書けます。二乗の中に無理に数を足す必要はなく、二次関数 y = 5x² − 6 の軸は x = 0、頂点は (0, -6) です。x に 0 を代入すると y = -6 になり、読み取った座標と一致します。一次の項が見えないことと、二次の係数が 0 であることは別です。

定数項がない式も扱いは同じです。例えば 3x² − 6x なら、3(x² − 2x) = 3{(x − 1)² − 1} = 3(x − 1)² − 3 です。元の定数が 0 だからといって、完成後の定数も 0 になるとは限りません。完成後の式を展開すると 3x² − 6x + 3 − 3 となり、定数が打ち消されます。この打ち消しまで見れば、元の式に定数項がないことを確かめられます。

最初のくくり方には、定数項も含める方法があります。例えば 2x² + 4x + 6 は 2(x² + 2x + 3) とできます。括弧内を (x + 1)² − 1 + 3 と直し、2(x + 1)² + 4 を得ます。定数を外に残す方法なら 2(x² + 2x) + 6 = 2{(x + 1)² − 1} + 6 と進み、同じ結果です。どちらでも等しい式を保てますが、外の係数がどの項に掛かるかを見失わないようにしましょう。

途中の確認では、まずくくった直後の式を展開します。二次と一次の係数が元に戻らなければ、半分を求める前にくくり方を直します。例えば -2 でくくった括弧に +3x があるなら、元の一次の項は -6x です。符号を目で追うだけで迷う場合は、外の数と各項の積を余白に書いてください。ここで正しい係数に戻ることが、その後に進む条件です。

次に二乗を作る行では、括弧の中だけを展開します。一次の係数が合っていても、二乗で生じる定数を引き忘れることがあります。最後に外の係数を配った行では、定数を元の式と照合します。検査を小さく分ければ、答えが合わないときも最初から計算し直す必要はありません。途中式を残す目的は、採点のためだけでなく、自分が修正する位置を見つけることにもあります。

軸と頂点の確認にも順序があります。完成した式で括弧を 0 にする x を先に決め、その値を式へ入れて縦の座標を求めます。その後、同じ x を元の式へ代入します。2つの y が違えば、座標の読みか、平方完成の途中に誤りがあります。展開して係数を比べると、どちらに原因があるかを切り分けられます。

例えば括弧を 0 にする値を正しく読めても、外の定数を計算し間違えていれば、元の式への代入で一致しません。反対に、式の展開が元に戻るのに座標が合わないなら、完成形の読み方を見直します。両方を使うと、計算と読み取りを別々に確かめられます。

自分で試す4問

いずれも平方完成し、二次関数は軸と頂点も求めてください。係数と座標は整数または既約分数で表します。

1. x² − 10x + 7 を平方完成してください。
2. y = 4x² − 12x + 1 の軸と頂点を求めてください。
3. y = -2x² − 4x + 5 の軸と頂点を求めてください。
4. y = (1/2)x² + 3x − 1 の軸と頂点を求めてください。

解答と確かめ方

1. x の係数 -10 の半分は -5 です。(x − 5)² の展開で増える 25 を引きます。

   x² − 10x + 7 = (x − 5)² − 25 + 7 = (x − 5)² − 18

   展開すると x² − 10x + 25 − 18 となり、元の定数 7 に戻ります。外の係数が 1 の場合は、加えた二乗と引く量がそのまま同じです。

2. x の項まで 4 をくくってから、括弧の中の -3 の半分を使います。

   y = 4(x² − 3x) + 1
   = 4{(x − 3/2)² − 9/4} + 1
   = 4(x − 3/2)² − 9 + 1
   = 4(x − 3/2)² − 8

   軸は x = 3/2、頂点は (3/2, -8) です。元の式に 3/2 を入れると 9 − 18 + 1 = -8 です。完成した式を展開すると 4x² − 12x + 9 − 8 で、与えられた式に一致します。

3. 負の数でくくると、括弧内の一次の項は正になります。

   y = -2(x² + 2x) + 5
   = -2{(x + 1)² − 1} + 5
   = -2(x + 1)² + 2 + 5
   = -2(x + 1)² + 7

   軸は x = -1、頂点は (-1, 7) です。元の式で x = -1 とすると -2 + 4 + 5 = 7 です。展開すると -2x² − 4x − 2 + 7 となり、定数も元に戻ります。

4. 分数の係数でくくると、括弧内の一次の係数は 6 になります。3 を 1/2 で割った結果です。

   y = (1/2)(x² + 6x) − 1
   = (1/2){(x + 3)² − 9} − 1
   = (1/2)(x + 3)² − 9/2 − 1
   = (1/2)(x + 3)² − 11/2

   軸は x = -3、頂点は (-3, -11/2) です。元の式に -3 を代入すると 9/2 − 9 − 1 = -11/2 です。展開した定数も 9/2 − 11/2 = -1 となり、最初の式に戻ります。

手元に残す要点

二次係数が 1 以外なら、x² と x の項から先にくくります。
括弧内の x の係数を半分にし、その二乗を加減します。
外の係数を調整した数にも掛け、定数をまとめます。
軸と頂点は x − p の p と外の定数から読みます。
展開と頂点の代入で元の条件へ戻します。

途中式からつまずきを見分ける

括弧を作る行で止まるなら、まず展開して一次の係数が2倍になることを確認します。括弧は作れるのに定数が合わないなら、加えた二乗と引いた数を同じ色の印で対応させ、外の係数を掛ける行を別に書きます。負の係数で符号が変わる理由も、その行に戻れば追えます。

個別指導で確かめるときは、完成した式を隠し、どの数を半分にしたか、引いた数に外の係数を掛けるといくつかを口頭で説明してもらう方法があります。頂点の読み違いには、括弧を 0 にする x を実際に代入してもらいます。答えの一致だけでなく、元の式を保った理由を言葉にできれば、次の式でも同じ手順を選べます。平方完成は、増やした分を正しく戻すことで成り立ちます。