高校受験の数学 円と円周角—同じ弧に対する角を探して中心角との関係を使う｜武蔵野個別指導塾

弧の選び方から中心の位置による証明、半円の角まで、図を手がかりに円周角を読み解きます。

よくあるのは、中3が円周上の角を見て、別の弧に対する角まで等しいと考える場面です。円の上に頂点が並ぶと、どの角も似た形に見えます。しかし角の大きさを決める手がかりは、頂点の位置だけではありません。角の両辺が円と交わる2点と、その間のどちらの弧を見ているかを確かめる必要があります。線を指でたどり、角が向いている弧を塗るつもりで読むと、見た目に頼らずに考えられます。

円の図で尋ねられること

ここで確かめるのは、円周角の定理と半円の角、そして中心の位置に応じた証明です。円周角の定理の逆は扱いません。学習範囲の照合元である中学校学習指導要領では、第1学年の数と式に正負の数、文字を用いた式、一元一次方程式を置いています。

円周角の問題には、いくつかの読み方があります。1つ目は中心角から同じ弧に対する円周角を求める型です。中心角が与えられたら、対応する円周角はその半分です。ただし、角が見ている弧を確かめてから計算します。2つ目は同じ弧に対する円周角どうしを比べる型です。頂点が異なっても、両辺が弧の両端を通り、同じ弧を見ていれば角は等しくなります。

3つ目は直径を使う型です。直径の両端を結ぶ半円に対する円周角は直角です。図の中に直角の印がなくても、条件から直角といえます。一方、弧が異なる場合や、頂点が弦の反対側に移る場合には、単に同じ角とすることはできません。問題の条件と図の線を照らし合わせて、どの型が使えるか判断します。

角の名前から弧を見つける

円周上の2点をA、Bとし、円周上の別の点をPとします。∠APBは、頂点PからA、Bへ伸びる2本の線が作る角です。この角に対する弧は、AとBを端とする2つの弧のうち、Pを含まない方です。図1のように、角の中央の文字が頂点で、両端の文字が弧の端を示します。弧の名前を記すとき、どちらの弧か迷う場合は、途中にある点も指定します。

図1では、中心Oの角∠AOBと円周角∠APBが、Pを含まない弧ABに対しています。弧ABに対する中心角は円の中心を頂点とし、その両辺が弧の両端を通る角です。円周角の定理は、このように同じ弧に対する中心角が円周角の2倍になるという性質です。図1の中心角は180°より小さい角ですが、長い方の弧に対するときは180°より大きい中心のまわりの角を考えます。

同じ弧ABに対する別の円周角∠AQBも、その中心角の半分です。したがって∠APBと∠AQBは等しくなります。これは「円の中の角は等しい」という意味ではありません。角の頂点が円周上にあり、2つの角が同じ弧に対していることを確かめるのが先です。弧の両端が同じでも、PとQが弦ABをはさんで反対側にあれば、2つの角が見る弧は異なります。

なぜ2倍といえるかを、半径の等しさからたどります。まず中心Oが円周角の一辺PA上にある場合を考えます。OAとOBは半径なので等しく、三角形POBではOPとOBが等しくなります。∠OPBをaとすると、底角の∠PBOもaです。A、O、Pがこの順に一直線上にあるので、三角形POBの外角∠AOBは、離れた2つの内角の和に等しく、a + a = 2aです。よって中心角は円周角の2倍です。

中心が角APBの内部にある場合には、直線POを延ばし、Pの反対側で円と交わる点をDとします。∠APBは∠APDと∠DPBに分かれます。それぞれについて先ほどの関係を使うと、対応する中心の角はそれぞれ2倍です。2つを足せば、弧ABに対する中心角も∠APBの2倍になります。DがAまたはBと一致する境界の場合は、最初の一辺上の場合です。

中心が角APBの外部にある場合も同じ直径PDを引きます。適切な順に2つの円周角を引くと∠APBが残り、対応する中心の角についても同じ順に引くと、Pを含まない弧ABに対する中心角が残ります。それぞれ2倍である2つの角の差は、元の角の差の2倍です。図を自分でかくときはDとA、Bの円周上の順を確認し、どちらからどちらを引くかを図に書き込んでください。足す場合と引く場合を混同しないことが要点です。

AとBが直径の両端なら、Pを含まない弧ABは半円で、その中心角は180°です。したがって∠APB = 180° ÷ 2 = 90°です。Pが直径の端点に重なると角が作れないため、PはA、Bと異なる円周上の点とします。

基本例題：中心角から円周角へ

円Oの周上にA、B、P、Qがあり、PとQは弦ABについて同じ側にあります。P、Qを含まない弧ABに対する中心角∠AOBが104°です。∠APBと∠AQBをそれぞれ度を単位とする整数で求めてください。図2のように、中心角と2つの円周角が同じ弧ABに向いています。

まず∠APBについて、両辺PA、PBが円周と交わる点はA、Bです。Pを含まない弧ABに対する中心角が104°なので、円周角の定理から、

∠APB = 104° ÷ 2

= 52°

となります。2倍するのは中心角を円周角から求めるときです。ここでは中心角から円周角へ進むので2で割ります。

次にQもPと同じ側にあり、∠AQBは同じ弧ABに対します。したがって、

∠AQB = ∠APB

= 52°

です。別の方法として、∠AQB = 104° ÷ 2 = 52°としても同じ結果になります。答えは両方とも52°です。元の条件に戻すと、52°の2倍は104°で、与えられた中心角に一致します。PとQが同じ側にあることも、同じ弧を使った根拠として確認します。

計算だけを先にすると、別の角に104°を対応させる誤りを見逃します。答案では「同じ弧ABに対する円周角」と一言添えると、何を比較したかが残ります。図に補助線を引く前に、与えられた角の両端と、求める角の両端をそれぞれなぞってみてください。

少し難しい例題：頂点が弦の反対側にあるとき

円周上にA、B、P、Qがあり、PとQは弦ABをはさんで反対側にあります。∠APB = 37°のとき、∠AQBを度を単位とする整数で求めてください。4点は互いに異なります。

ここでは両方の角の両端がA、Bでも、PとQは別の弧を見ています。弧ABのうちPを含まない方を弧1、Qを含まない方を弧2とします。弧1と弧2を合わせると円周全体なので、対応する中心のまわりの角の和は360°です。

弧1に対する中心角は、円周角の定理により、

37° × 2 = 74°

です。弧2に対する中心のまわりの角は、

360° − 74° = 286°

です。この286°は180°より大きい角ですが、弧2に対応する中心のまわりの角です。求める∠AQBはその半分なので、

∠AQB = 286° ÷ 2 = 143°

となります。答えは143°です。確かめとして、143°を2倍すると286°、37°を2倍すると74°で、中心のまわりの角の和は360°です。2つの円周角の和も37° + 143° = 180°となり、弦の両側の弧を合わせた条件に戻ります。

分かれ目は、頂点が弦ABの同じ側か反対側かです。同じ側なら同じ弧を見て角は等しくなります。反対側なら別の弧を見ており、上のように2つの角の和が180°です。図を回転しても、この関係は上下や左右の見た目ではなく、弦を境に判定します。中心角として小さい方をいつも選ぶと、長い弧を見落とすので注意します。

誤答から弧の取り違えを直す

図3のように、円周上のPとQが弦ABの反対側にあり、∠APBが60°だとします。「どちらもAとBを結ぶ円周角なので∠AQBも60°」という答えは誤りです。2つの角が見る弧は別だからです。

図3では、Pから見た弧に対する中心角が120°です。残る弧に対する中心のまわりの角は360° − 120° = 240°です。よって∠AQBは240° ÷ 2 = 120°となります。60°と120°の和は180°で、2つの弧に対応する中心の角の和も360°に戻ります。

原因は、角の両端の文字が同じであることだけを見て、頂点がどちらの弧にあるかを確かめなかったことです。修正するときは、まず角の頂点を丸で囲み、その頂点を含まない弧をたどります。次の角でも同じ作業をして、たどった部分が一致するか比べます。一致しなければ、同じ弧に対する円周角が等しいという性質は、その2つに直接は使えません。

もう1つの誤りは、中心角と円周角のどちらが大きいかを取り違えることです。同じ弧なら中心角が円周角の2倍です。例えば中心角が80°のとき、円周角を160°とするのではなく40°とします。40°を2倍して80°に戻せば、計算の向きを確かめられます。数を操作する前に、弧と角の対応を言葉にする習慣を付けます。

自分で試す4問

それぞれの角は度を単位とする整数で答えてください。円周上の点は、各問題で別々の点とします。図は条件に合うように自分でかき、答えを見る前に角の対応を記してください。

1. 円Oの周上にA、B、Cがあり、Cを含まない弧ABに対する中心角∠AOBは132°です。∠ACBを求めてください。
2. 円周上のD、E、F、Gについて、FとGは弦DEの同じ側にあり、∠DFE = 43°です。∠DGEを求めてください。
3. 円の直径をH Iとし、JをH、Iと異なる円周上の点とします。∠JHI = 28°のとき、∠HIJを求めてください。
4. 円周上のK、L、M、Nについて、MとNは弦KLの反対側にあり、∠KML = 68°です。∠KNLを求めてください。

解答と考え方

1. ∠ACBと132°の中心角は、Cを含まない同じ弧ABに対します。円周角は中心角の半分なので、132° ÷ 2 = 66°です。答えは66°です。66° × 2 = 132°と中心角に戻り、条件に合います。132°を2倍する方向に進んでいないかも確認します。

2. FとGは弦DEの同じ側にあるため、∠DFEと∠DGEは同じ弧DEに対する円周角です。したがって∠DGE = 43°です。答えを条件に戻すと、両方の角に対応する中心角は43° × 2 = 86°となり、同じ弧に対する角として一致します。FとGの位置の条件が理由になることを答案に残します。

3. 直径HIに対する円周角∠HJIは90°です。三角形HJIの内角の和は180°なので、∠HIJ = 180° − 90° − 28° = 62°です。答えは62°です。90° + 28° + 62° = 180°となり、三角形の条件に戻ります。直径の端にある角を90°にするのではなく、直径の両端を見る円周上の角を探します。

4. Mを含まない弧KLに対する中心角は68° × 2 = 136°です。残る弧に対する中心のまわりの角は360° − 136° = 224°です。Nから見る円周角は224° ÷ 2 = 112°なので、答えは112°です。112° × 2 = 224°、136° + 224° = 360°となり、2つの弧が円周全体になる条件に戻ります。68° + 112° = 180°でも確認できます。

手元に残す要点

• 円周角の両端と、頂点を含まない弧を対応させます。
• 同じ弧では中心角が円周角の2倍です。
• 同じ弧に対する円周角は等しく、直径に対する円周角は90°です。
• 弦の反対側の頂点から見る2つの円周角の和は180°です。

どこで止まったかを見つける

答えが違ったとき、まず角の記号の真ん中を頂点として読めているかを見ます。次に、本人が選んだ弧を指してもらい、頂点を含まない方を選べたか確かめます。弧は正しいのに数が違うなら、中心角と円周角のどちらを2倍するのかを図に戻して問い直します。数値が合っていても、別の弧をたまたま同じとした説明なら、頂点を弦の反対側に動かして考え直します。

個別指導では、お子さまの途中式の横に、各角が見る弧を書いてもらうと、図の読み違いと計算の取り違いを区別できます。説明が止まった場合は、両端の2文字と頂点の1文字を別々に指し、どの線が角を作るかから確認します。角を求めた後は、2倍して中心の角に戻るか、直径なら90°になるかを本人の言葉で確かめます。弧を選ぶ根拠が見えれば、円周角の計算も筋道を持ちます。