高校受験の数学 二次方程式の利用—長さや個数の条件から式を作って解を選び直す｜武蔵野個別指導塾

面積や連続する整数の条件を式に表し、負の解も場面に合うかを吟味する二次方程式です。

よくあるのは、中3が長方形の辺の長さを求める途中で、二次方程式の正の解と負の解の両方を答えに書く場面です。式の計算が合っていても、辺の長さとして負の数は使えません。反対に、文字が整数を表す問題では、負の解を最初から捨てると答えを落とすことがあります。

何を文字で表したのかを最後まで覚えておくと、方程式の解と文章題の答えを区別できます。答えを出したら、求められた形と単位もそろえ、元の文章に戻して確かめましょう。

要点（結論から）

• 文字が表す量と単位を決め、他の量を式で表します。
• 等しい関係から方程式を作り、解を求めます。
• 長さ、整数、幅の範囲など、元の条件で解を選びます。

条件を式に変える場面

ここで扱う範囲は、面積、連続する整数や個数などの条件を二次方程式に表し、解を吟味する文章題です。図形の定理を組み合わせた問題は扱いません。学習指導要領の確定値表では、第1学年の数と式に正負の数、文字を用いた式、一元一次方程式が置かれています。

出方には、辺の長さを文字で表し、縦と横を掛けて面積を作る型があります。差が決まった長方形なら、一方の辺を x と置き、もう一方を x に差を足した式にします。式に単位を書き込む代わりに、文字を置く文で「x cm」と明記しておくと、最後の答えに戻りやすくなります。

次に、連続する整数や連続する偶数の積を条件にする型があります。連続する整数なら x と x + 1、連続する偶数なら x と x + 2 と表せます。どちらも積を作ると x が2回掛け合わされ、二次方程式が現れます。正の整数と指定された場合と、単に整数と指定された場合では、残せる解の範囲が違います。

もう1つは、周囲から同じ幅を取り除いた後の面積を使う型です。左右からそれぞれ同じ長さを取り除くので、横の長さからはその幅の2倍を引きます。式を立てる前に図に残った部分を描き、どの辺から何回分を引くかを数えましょう。

文字の意味と解の通り道

文章題では、まず求める量か、それにつながる量を x と置きます。次に、他の量を x で表し、問題に書かれた等しい関係を探します。図1のように、場面から式へ進んだ後、解を場面へ戻すところまでが一続きです。

図1の「条件へ戻す」では、まず文字に許される値の範囲を考えます。長さは正、個数は条件に合う整数です。整数は負や0も含むので、「整数」と「正の整数」を読み分けます。幅を内側へ取る場合は、残る辺も正でなければなりません。

二次方程式の解は、作った等式を成り立たせる数です。しかし文章題では、等式以外にも長さや個数の条件が付いています。方程式の解を求める段階では負の数も計算に残し、その後に条件に照らして採否を決めます。最初から負の解を消してしまうと、負の整数を求める問題に対応できません。

面積の式なら、2つの辺を掛ける前にそれぞれの長さを確認します。縦に 3 cm 足したときと、縦を3倍にしたときは異なります。等号の左右はどちらも同じ種類の量にそろえ、面積なら両側を平方センチメートルの数として表します。文字の定義と等式の意味を口で言えると、計算を始める前に立式の違いに気づけます。

基本例題：辺の差と面積

縦の長さが横より 3 cm 長い長方形があります。面積が 40 cm² のとき、縦と横の長さをそれぞれ整数で求めてください。

横の長さを x cm と置きます。縦はそれより 3 cm 長いので、(x + 3) cm です。図2のように、面積は横と縦を掛けた値です。辺の長さですから、置いた文字には x > 0 という条件があります。

図2の2辺を掛け、面積が 40 cm² であることから、次の等式を作ります。

x(x + 3) = 40

左辺を展開し、右辺の 40 を左辺へ移します。左辺を因数分解しやすくするため、右辺を0にそろえます。

x² + 3x = 40

x² + 3x − 40 = 0

積が -40、和が 3 になる2数は 8 と -5 です。したがって左辺を次のように因数分解できます。

(x + 8)(x − 5) = 0

2つの数の積が0になるのは、少なくとも一方が0のときです。それぞれを0と置いて解きます。

x + 8 = 0 または x − 5 = 0

x = -8 または x = 5

ここでの x は横の長さです。x = -8 は正の長さという条件に合いません。x = 5 のとき縦は 5 + 3 = 8 なので、横 5 cm、縦 8 cm です。

元の場面に戻して確認すると、縦と横の差は 8 − 5 = 3 cm、面積は 5 × 8 = 40 cm² です。両方の条件に合い、求められた長さも整数です。x = -8 を式に代入すると確かに等式は成り立ちますが、それは負の辺を認めた計算上の結果です。文章で与えられた長方形の辺には使えません。

発展例題：残る部分の条件まで見る

縦 14 cm、横 20 cm の長方形の紙があります。4辺の内側に同じ幅の帯を作り、中央に長方形を残したところ、中央の面積は 40 cm² になりました。帯の幅を整数の cm で求めてください。

帯の幅を x cm とします。横は左と右からそれぞれ x cm ずつ減るので、中央の横は (20 − 2x) cm です。縦も上下から x cm ずつ減るため、中央の縦は (14 − 2x) cm です。4辺から取る場合でも、1つの辺の向きに注目すると引くのは2か所分です。

帯の幅が正で、中央の縦も正であることから、0 < x < 7 です。横が正になる条件 x < 10 も必要ですが、x < 7 ならこちらも満たします。幅の上限を先に書いておくと、解を選ぶときの根拠が明確になります。

中央の面積を式にすると、次のようになります。

(20 − 2x)(14 − 2x) = 40

左辺の各項を掛け合わせて整理します。

280 − 40x − 28x + 4x² = 40

4x² − 68x + 240 = 0

すべての項を4で割り、因数分解します。

x² − 17x + 60 = 0

(x − 5)(x − 12) = 0

x = 5 または x = 12

x = 12 は 0 < x < 7 に合いません。これを使うと中央の縦が 14 − 24 = -10 cm となり、長方形の辺として成立しません。x = 5 は範囲に入り、整数という条件にも合います。帯の幅は 5 cm です。

元の紙へ戻すと、中央の横は 20 − 2 × 5 = 10 cm、縦は 14 − 2 × 5 = 4 cm です。その積は 10 × 4 = 40 cm² で、求める面積に一致します。x = 12 でも2つの負の数を掛けると面積の式は成り立ちますが、両方の辺が負なので実際の中央部分を表しません。面積の積が正ということだけでは、辺が正であるとは決められない点が分かれ目です。

整数を扱う問題では事情が変わります。例えば、連続する2つの整数の積が 56 なら、小さい方を x として x(x + 1) = 56 と置きます。x² + x − 56 = 0、(x + 8)(x − 7) = 0 より x = -8 または x = 7 です。組は -8 と -7、または 7 と 8 で、どちらも積は 56 です。正の整数という指定がなければ、負の組も残します。

誤答をほどく：式が合うことと条件が合うこと

基本例題で「横は -8 cm または 5 cm」と答えたとします。x² + 3x − 40 = 0 の解としては両方正しくても、x の意味は横の長さでした。図3のように、方程式を満たす候補をいったん並べ、長さの条件を通してから答えを記します。

図3では -8 が条件に合わず、5 が残ります。誤りの原因は、解を求める操作と、答えとして採用できるかを調べる操作を同じものと考えたことです。修正するときは、x の定義に戻り「横の長さなので x > 0」と書き加えます。その後、残った x から縦の長さも求めます。

別の間違いとして、紙の帯の幅を x と置き、中央の横を 20 − x とすることもあります。左側の帯だけを引いて右側を忘れた式です。紙の左右にそれぞれ x と書き、20 − x − x = 20 − 2x と作り直します。上下についても同じように2か所を数えれば、中央の辺を元の長さから説明できます。

逆に、整数の積の問題で「負の数だから不要」と決めるのも危険です。数そのものを求めるのか、長さや個数を求めるのかを区別しましょう。設問に正の整数と書いてあれば負の解は外れますが、整数としか書いていなければ負の組も元の積に戻して確かめます。

自分で試す4問

次の問題は、答えに単位が必要なものには単位も付けてください。先に4問を解き、後の解答で文字の意味と条件を見直しましょう。

1. 横より縦が 5 cm 長い長方形の面積は 84 cm² です。縦と横の長さをそれぞれ整数の cm で求めてください。
2. 小さい方から並ぶ連続した2つの偶数の積が 120 です。条件に合う整数の組をすべて求めてください。
3. 正方形の板の1辺を 3 cm 延ばして新しい正方形を作ると、その面積は 169 cm² です。元の板の1辺の長さを整数の cm で求めてください。
4. 縦 12 cm、横 18 cm の長方形の紙の4辺の内側に同じ幅の帯を作ると、中央の長方形の面積が 32 cm² になりました。帯の幅を根号を使った正確な cm で求めてください。

1の解答

横を x cm とすると、縦は (x + 5) cm、x > 0 です。面積から x(x + 5) = 84 となります。

x² + 5x − 84 = 0

(x + 12)(x − 7) = 0

x = -12 または x = 7

長さが正になる x = 7 を選びます。横は 7 cm、縦は 12 cm です。差は 12 − 7 = 5 cm、面積は 7 × 12 = 84 cm² となり、どちらも元の条件に合います。負の解を外す理由を「横が正だから」と書くと、判断が伝わります。

2の解答

小さい方の偶数を x とすると、大きい方は x + 2 です。積の条件から x(x + 2) = 120 です。

x² + 2x − 120 = 0

(x + 12)(x − 10) = 0

x = -12 または x = 10

組は -12 と -10、または 10 と 12 です。いずれも偶数で、各組は差が2、積がそれぞれ 120 です。x は小さい方と置いたため、求める組を順に書くと、文字と答えの対応も確認できます。

3の解答

元の1辺を x cm とすると、新しい1辺は (x + 3) cm です。正方形の面積は同じ長さの積なので、(x + 3)(x + 3) = 169 です。

x² + 6x + 9 = 169

x² + 6x − 160 = 0

(x + 16)(x − 10) = 0

x = -16 または x = 10

元の辺の長さが正なので x = 10 を選びます。元の板の1辺は 10 cm です。3 cm 延ばすと 13 cm となり、13 × 13 = 169 cm² です。元の正方形から新しい正方形への変化をたどると、足す長さを取り違えていないかも確認できます。

4の解答

帯の幅を x cm とすると、中央の横は (18 − 2x) cm、縦は (12 − 2x) cm です。中央の辺が正になるため、幅の条件は 0 < x < 6 です。面積より、次の等式が得られます。

(18 − 2x)(12 − 2x) = 32

216 − 60x + 4x² = 32

4x² − 60x + 184 = 0

x² − 15x + 46 = 0

平方の形にするため、両辺に (15/2)² を加えます。

x² − 15x = -46

(x − 15/2)² = 225/4 − 184/4 = 41/4

x − 15/2 = √41/2 または -√41/2

x = (15 + √41)/2 または (15 − √41)/2

6² < 41 < 7² なので、6 < √41 < 7 です。(15 + √41)/2 は 6 より大きく、幅の条件から外れます。(15 − √41)/2 は正で 6 未満です。したがって、帯の幅は (15 − √41)/2 cm です。

元の紙へ戻して確かめます。この幅の2倍は 15 − √41 cm です。中央の横は 18 − (15 − √41) = 3 + √41 cm、縦は 12 − (15 − √41) = √41 − 3 cm です。どちらも正で、その積は (3 + √41)(√41 − 3) = 41 − 9 = 32 cm² となります。近似値を使わず、根号のまま面積を確認できます。

要点を手元に残す

• 文字が表す量と単位を決め、他の量を式で表します。
• 等しい関係から方程式を作り、解を求めます。
• 長さ、整数、幅の範囲など、元の条件で解を選びます。
• 答えを場面に戻し、与えられた量と答えの形を確かめます。

どこで止まったかを見分ける

式が書けないときは、問題文の数を順に並べる前に「x は何か」「もう一方の長さは何か」を説明してみます。図に2か所の帯を書けるのに 2x が出ないなら、引いた場所と式の項を対応させます。立式後の計算で止まる場合は、等号の両側から同じ数を引いた行や、因数の積を展開して元に戻るかを確かめます。

お子さまの答えが2つ出た場合、個別指導ではまず両方を残した理由を聞き、文字が長さなのか整数なのかを本人の言葉で確認します。解を1つ捨てた場合も、値だけで判断せず、その値を元の辺や個数に戻して条件と照らします。方程式の解を、文章の条件を満たす答えへつなげることが、利用問題の最後の一歩です。