高校受験の数学 確率と数え上げ—樹形図と表で同様に確からしい場合を数える｜武蔵野個別指導塾

2個のさいころの和が同じでも出方の数は異なります。表と樹形図で分母と分子をそろえ、確率と数え上げを身につけます。

よくあるのは、中2が2個のさいころの目の和を並べ、どの和も同じ確率で出ると考える場面です。和が2になる出方と7になる出方をそれぞれ書いてみると、同じ数にはなりません。和という結果の名前を数える前に、どの目とどの目が出たかを分ける必要があります。

さいころの目や硬貨の表裏は、結果をどう区別するかによって数え方が変わります。ここではさいころや硬貨を使い、2段階の試行で起こる場合と確率を考えます。戻さずに札を取り出す問題や、反対の場合から考える方法はここでは扱いません。

何を一つの場合にするか

確率の問題には、まず2個のさいころの目の和や差に条件を付けて、当てはまる出方を数える型があります。和の種類を並べただけでは、それぞれを作る目の組の数が見えません。2個に区別を付けて表にすると、どの組を数えたかを後で調べられます。

次に、硬貨を続けて投げ、表と裏の並び方に条件を付ける型があります。表が出た回数だけを並べると、同じ回数になる並びが複数あることを見落としがちです。1回目と2回目を順に記録すると、表裏と裏表を別々に調べられます。

さらに、さいころを振った後に硬貨を投げるように、異なる種類の操作を組み合わせる型もあります。各操作で起こることを書き、前の結果ごとに次の結果を枝分かれさせます。問題が何を一つの結果とみなしているかを定め、条件に合うものを同じ単位で数えることが出発点です。

同じ確からしさをそろえて数える

同じ条件で起こるそれぞれの場合が、どれも同じ程度に起こりやすいと考えられるとき、それらは「同様に確からしい」といいます。どの面も同様に確からしく出るさいころなら、1から6までの各目を一つずつの場合にできます。表と裏が同様に確からしい硬貨なら、その2通りを同じ重さで扱えます。

図1のように、1回目と2回目に同じ硬貨を投げた結果を枝で表します。左から右へ進み、最後までたどった1本の道を1通りと数えます。各回の表と裏が同様に確からしく、各回の結果が互いに影響しないなら、4本の道も同様に確からしい場合です。

図1では、表裏と裏表は表が1回という点では共通ですが、表が出る回が違います。条件が「表がちょうど1回」なら、この2本を数えます。一方、「2回とも表」なら表表の1本です。結果の名前を先にまとめてしまうと、元の道が何本あるかが隠れます。

同様に確からしい場合が全部で何通りあり、そのうち条件に合う場合が何通りあるかを数えます。確率は「条件に合う場合の数 / 全部の場合の数」です。分母と分子はどちらも最後まで進んだ道の本数でそろえます。途中の枝と最後の道を混ぜると、比べる単位が違ってしまいます。

表は2つの結果を組にして並べるときに便利です。縦を1回目、横を2回目と決めれば、一つのますが一つの組を表します。樹形図でも表でも、抜けや重なりがなく、各ますや道が同様に確からしければ、同じ答えにたどり着きます。形を選ぶ前に、何を区別するのかを言葉で決めましょう。

樹形図をかくときは、最初の分かれ道から先を同じ順序で埋めます。表から伸びる枝を最後まで書いてから裏の枝へ進めば、途中で数え忘れた場所を見つけやすくなります。最後の結果に印を付け、条件に合う印だけを数え直す方法も使えます。途中の枝に印を付ける場合は、その先に複数の結果が続くことに注意します。

例えば1回目が表という条件では、そこで終わりではありません。2回目が表の道と裏の道が残っています。片方しか数えなければ、条件に合う道を落とします。逆に「2回とも表」を数えるときに、1回目の表から続く2本を両方選ぶと、2回目が裏の道を余計に含めます。言葉の「と」「とも」がそれぞれどの操作にかかるかを、結果の並びと照合してください。

表を使う場合も同様です。1つの行に条件に合うますが複数あれば、その個数を行ごとに数えます。行の数だけを答えにしたり、同じますを2つの条件で選んで2回足したりすると、条件に合う組の数が変わります。印を付けたますの位置と、書き出した組を行き来して確かめると、数え直しの根拠が残ります。

基本例題：和が5になる組

赤と青の区別がある2個のさいころを同時に振ります。それぞれのさいころは1から6までの目が同様に確からしく出て、互いの結果は影響しません。出た目の和が5になる確率を、約分した分数で求めてください。

赤の目を先に書き、青の目を後に書くことにします。赤が1なら青は1から6までの6通りです。赤が2の場合も青は6通りで、赤が3、4、5、6の場合にもそれぞれ6通りあります。赤の目で分けた6つのまとまりに重なりはないので、全部の場合の数は次のようになります。

6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 × 6 = 36通り

図2のように、縦を赤、横を青とする表にすると、36ますのそれぞれが一つの組です。縦と横のどちらがどちらのさいころかを決めているので、赤が1、青が4の場合と、赤が4、青が1の場合は別のますに入ります。

図2の色の付いたますを、赤の目の小さい順に読みます。和が5になる組は次の4通りです。

(赤, 青) = (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)

赤が5または6の場合、青の目は1以上なので和は5を超えます。したがって、ほかに条件に合う組はありません。4通りを36通りで割って約分すると、求める確率は次のとおりです。

4 / 36 = 1 / 9

確かめると、列挙した4組はいずれも和が5です。赤の各目について青の目を1つずつ調べ、赤が5、6のときは作れないことも確認しました。分母36は表の6行と6列から作られ、分子4はその表の中のますです。和の種類の数を分母にしていないか、最後に比べてみましょう。

条件の分かれ目：積が偶数

区別できる2個のさいころを振ります。各さいころの1から6までの目は同様に確からしく、互いの結果は影響しません。出た目の積が偶数になる確率を、約分した分数で求めてください。

積が偶数になるのは、少なくとも一方の目が偶数のときです。ただし「赤が偶数」と「青が偶数」をそれぞれ数えて足すと、両方が偶数の組を2回数えます。そこで、最初のさいころの目が偶数か奇数かで分けます。この2つは重ならず、どの目もどちらかに入ります。

最初の目が偶数の場合は、2、4、6の3通りです。もう一方の目は1から6までのどれでもよいので、3 × 6 = 18通りです。最初の目が奇数の場合は、1、3、5の3通りです。このとき積を偶数にするにはもう一方が2、4、6のいずれかなので、3 × 3 = 9通りです。

条件に合うのは18 + 9 = 27通り、全部は6 × 6 = 36通りです。確率は27 / 36 = 3 / 4です。最初が偶数の行では全列を取り、奇数の行では偶数の列を取ります。2つの部分に同じ行はないので、重複はありません。

場面に戻して調べると、最初が偶数の18組は相手の目にかかわらず積が偶数です。最初が奇数の18組のうち、相手が偶数の9組は条件に合い、相手が奇数の9組は積が奇数です。27組と9組で36組に戻り、条件の判定にも漏れがないことを確かめられます。

和を等確率とする誤りを直す

2個のさいころの和は2から12までの11種類だから、和が7になる確率は1 / 11、と考える誤答があります。原因は、和の種類を同様に確からしい場合として扱ったことです。和が2になる組は(1, 1)の1通りですが、和が7になる組は図3のように6通りあります。和という名前の数が同じ重さで並んでいるわけではありません。

図3の各組は、左を1個目、右を2個目の目として読みます。和が7の組は(1, 6)、(2, 5)、(3, 4)、(4, 3)、(5, 2)、(6, 1)です。各さいころの目が同様に確からしく互いに影響しないなら、組は全部で36通りあり、そのうち6通りが和7です。正しくは6 / 36 = 1 / 6となります。

別の誤りとして、(1, 6)と(6, 1)を同じ組として1回しか数えないことがあります。和は同じでも、1個目に出た目は異なります。分母を36通りとするなら、分子も順序を区別した組で数えてください。反対に、分子で区別を外したのに分母は36のままでは、同じ単位を比べられません。

答えが出た後は、確率が0以上1以下かも調べます。ただし、この範囲に入っているだけで正解とは限りません。たとえば1 / 11も範囲内ですが、和ごとの出方の違いを無視しているため誤りです。分数の形の確認と、数えた中身の確認を両方行います。

手を動かす問題

いずれも、さいころは各目が同様に確からしく、硬貨は表と裏が同様に確からしく出ます。各操作の結果は互いに影響しません。確率は約分した分数で答えてください。

1. 1枚の硬貨を2回続けて投げます。2回とも裏になる確率を求めてください。
2. 赤と白の区別がある2個のさいころを同時に振ります。出た目の和が9になる確率を求めてください。
3. さいころを1回振り、続けて硬貨を1回投げます。さいころの目が4以上で、硬貨が表になる確率を求めてください。
4. 区別できる2個のさいころを振ります。2つの目の差が2になる確率を求めてください。差は大きい目から小さい目を引いた数とします。

問題の答えと道筋

1. 1回目と2回目の順に書くと、全部の場合は表表、表裏、裏表、裏裏の4通りです。条件に合うのは裏裏の1通りなので、確率は1 / 4です。裏裏を場面に戻すと両方の回で裏が出ています。残る3通りは少なくとも一方が表なので、条件に合うものはほかにありません。

2. 赤の目を先にし、和が9になるように白の目を決めます。組は(3, 6)、(4, 5)、(5, 4)、(6, 3)の4通りです。赤が1、2では白の目が6を超え、実際の目になりません。全部の組は6 × 6 = 36通りですから、確率は4 / 36 = 1 / 9です。4組のそれぞれを足すと9になり、赤の1から6までの各行も調べ終えています。

3. さいころの各目に対して、硬貨は表と裏の2通りです。全部で6 × 2 = 12通りあります。4以上の目は4、5、6の3通りで、それぞれ硬貨が表の場合が当てはまります。条件に合うのは(4, 表)、(5, 表)、(6, 表)の3通りです。確率は3 / 12 = 1 / 4です。3組はいずれも目が4以上で表になり、1から3の目や裏の場合は条件に合わないことを元の場面で確認できます。

4. 1個目の目を先に書くと、条件に合う組は(1, 3)、(2, 4)、(3, 1)、(3, 5)、(4, 2)、(4, 6)、(5, 3)、(6, 4)の8通りです。例えば1個目が3なら、2個目は1または5です。小さい方が先になる場合と大きい方が先になる場合の両方を数えます。全部は36通りなので、確率は8 / 36 = 2 / 9です。列挙した組の差はどれも2で、1個目の各目について可能な相手を調べると、ほかに該当する目はありません。

覚えておく道順

同様に確からしい場合を一つの単位として決めます。
表や樹形図で全部の場合を、重なりなく並べます。
条件に合う場合を同じ単位で数え、全部の数で割ります。
元の条件に戻して、漏れと重なりを確かめます。

どこで止まったかを見つける

表のますを作れるのに条件に合うますを選べない場合は、まず一つのますを指し、そこに対応する目と条件を声に出して確認します。たとえば和なら2つの目を足して判定し、積なら掛けて判定します。条件の読み違いと、表を作る段階の間違いを分けて見られます。

一方、正しい組をいくつか挙げても全部の場合の数が定まらない場合は、1回目の結果を一つ固定し、2回目に何通りあるかをたどります。お子さまの書いた分母と分子を比べ、それぞれが何を1通りとしているかを説明してもらうと、途中の枝と最後の道の混同に気づけます。個別指導では、正答を伝える前に、その子が表の1ますにどんな結果を対応させたかを確かめます。

和が同じという理由で複数の組をまとめたときは、順番を入れ替えた2つの組を実際に書き、同じ和でも別の結果として起こることを見直します。確率の分数は、数えた場合の対応を説明できて初めて意味を持ちます。