高校受験の数学 一次関数の変化—変化の割合と切片を表から読み取って式を作る｜武蔵野個別指導塾

表の2組の増加量から変化の割合を計算し、xが0の列がなくても切片と一次関数の式を求める方法を学べます。

よくあるのは、中2が表の1組の値を見て、yをxで割った値をそのまま変化の割合にする場面です。比例ではその計算が使えましたが、一次関数では、xが0のときにyが0とは限りません。表のどの数とどの数を比べたのかをたどれば、違いが見えてきます。式を急いで書く前に、2組の値の間で何がどれだけ変わったかを調べましょう。

表のどこに注目するか

表に示された2組の変化から傾きを求め、1組の値を使って切片を決めます。交点や移動の区間を調べる問題には進まず、表と式の対応を確かめます。

出方にはいくつかの型があります。1つ目は、表の2組の値からxとyの増加量を求め、変化の割合を出す型です。xが1ずつ増える表なら読みやすいですが、間隔が2や3でも考え方は同じです。2つ目は、変化の割合と1組の値を使って、表に載っていない切片を求める型です。xが0の列がなくても、式に代入して求められます。3つ目は、式と表を行き来し、別の値でも関係が合うかを確かめる型です。

どの型でも、値そのものと値の変化を区別します。表にある1組を使う仕事と、2組を比べる仕事を混ぜないことが、符号や割る順序の間違いを減らします。問題で一次関数と指定されていれば、変化の割合がどの2組についても一定であることを使えます。一方、与えられた数が一次関数に合うかを問われた場合は、別の区間でも割合が一致するかを確かめる必要があります。

増えた量と出発点を分ける

一次関数は、aとbを定数として y=ax+b と表します。aは変化の割合で、グラフでは直線の傾きです。bは切片で、x=0のときのyの値を表します。一次関数ではaは0ではありません。bが0なら y=ax となり、原点を通る比例です。bが0でないときは原点を通りません。

xがある値から別の値へ変わるとき、後の値から前の値を引いたものをxの増加量と呼びます。yも同じ向きに、後の値から前の値を引きます。減る場合も負の増加量として扱います。変化の割合は「yの増加量 ÷ xの増加量」です。xの増加量が0では割れないので、異なる2つのxを選びます。

例えば、xが1から3へ、yが5から9へ変わるとします。図1のように、xの増加量は3-1=2、yの増加量は9-5=4です。したがって変化の割合は4÷2=2です。1組目の5÷1=5とは一致しません。yには、xに応じた部分に加えて切片が含まれているためです。

図1の表では、変化の割合が2なので y=2x+b と置けます。x=1、y=5を代入すると5=2+b、よってb=3です。表の値は y=2x+3 に合います。xが0から1に増える間にもyは2増えるので、x=0でのyが3であることを、表を戻しても確かめられます。

前後を逆に選んでも、両方を同じ順序で引けば答えは変わりません。この例を逆にすると、xの増加量は1-3=-2、yの増加量は5-9=-4で、(-4)÷(-2)=2です。片方だけ順序を逆にすると符号が変わってしまいます。表の2列に印を付け、両方とも右の列から左の列を引くなど、順序をそろえて書きましょう。

式から理由を見ても同じです。xがpからqに変わると、yはap+bからaq+bに変わります。yの増加量は (aq+b)-(ap+b)=a(q-p) です。切片bは差を取ると消えます。異なるp、qについて、これをxの増加量q-pで割るとaが残ります。切片が何であっても傾きが変化の割合になるのは、このためです。

基本例題：表に0がないとき

ある一次関数について、x=2のときy=7、x=5のときy=13です。変化の割合と切片を求め、yをxの式で表してください。値は整数で答えます。

まず、2組の対応を崩さずに並べます。図2のように、xを2から5へ動かすときの増加量は次の通りです。

xの増加量 = 5-2 = 3

yの増加量 = 13-7 = 6

変化の割合 = 6÷3 = 2

したがって、求める式を y=2x+b と置けます。ここで2はyの値ではなく、xが1増えるときのyの増加量です。切片bはまだ決まっていないため、与えられた1組を代入します。x=2、y=7を使うと、次のようになります。

7 = 2×2+b

7 = 4+b

b = 7-4 = 3

よって、切片は3、式は y=2x+3 です。x=0の列がなくても、切片を0と決める必要はありません。式を一度 y=2x+b の形にしてから、既知の1組を代入する手順が使えます。

図2では、直線がy軸と交わる高さが3です。横に3進む間に縦に6上がることも、表で求めた割合2と対応します。点を結ぶ直線の傾きは、目盛りの幅が見た目に同じであることを前提に読みます。計算では目盛りの数値を使うので、図の見た目に頼らず確認できます。

答えを元の2組に戻します。x=2なら y=2×2+3=7、x=5なら y=2×5+3=13 です。どちらも条件に合います。さらに、xが3増える間にyが6増えることも、式の傾き2と一致します。1組だけへの代入が合っても、もう1組に合わなければ、増加量の取り方か代入計算を見直します。

切片を求める代入には、もう一方の組を使ってもかまいません。13=2×5+b から b=3 となり、同じ式に戻ります。2通りで出した切片が食い違ったときは、両方の計算を比較すると、どこで条件の対応を崩したかを探しやすくなります。

減少する表と分数の傾き

次の一次関数を考えます。x=-2のときy=8、x=4のときy=-1です。変化の割合と切片を整数または約分した分数で求め、yをxの式で表してください。

xを-2から4へ変えると、xの増加量は4-(-2)=6です。負の数を引くので6になります。同じ順序で、yの増加量は -1-8=-9 です。yは9減っていますから、増加量は負になります。

変化の割合 = (-9)÷6 = -3/2

よって y=(-3/2)x+b と置きます。x=-2、y=8を代入すると、次のようになります。

8 = (-3/2)×(-2)+b

8 = 3+b

b = 5

切片は5、求める式は y=(-3/2)x+5 です。xが2増えるごとにyが3減るという意味でもあります。xが1増えるときのyの増加量を、正確に -3/2 と表しています。

検算では、x=4を代入して y=(-3/2)×4+5=-6+5=-1 と戻ります。x=-2でも y=3+5=8 です。また、xが6増えるとyは (-3/2)×6=-9 変わり、8から-1になるという表の条件に合います。小数に丸めず分数のまま計算すると、元の値との一致を正確に確かめられます。

ここでの分かれ目は、xが増えるときにyが増えるか減るかです。xの増加量を正にそろえたなら、yが減る表では傾きが負になります。ただし、表の列が左から右へ小さくなることもあります。そのときは「右から左を引く」という順序を両方で守れば、xの増加量が負になっても正しい割合を求められます。見た目の上下だけで符号を決めず、引き算の結果を確かめましょう。

割る数を取り違えたら

x=1のときy=5、x=3のときy=9という先ほどの表で、「5÷1=5だから変化の割合は5」とする誤答を考えます。図3のように、この計算は1組のyとxを比べています。2組の間の増加量を比べていないため、切片3を含む5がそのまま割り算に入っています。

図3の正しい計算は (9-5)÷(3-1)=4÷2=2 です。x=3の組から9÷3=3を計算しても、先ほどの5とは異なります。1組ごとのy÷xが一定でないことからも、その値を変化の割合として使えないと気づけます。比例ではb=0なので、xが0でないとき y÷x=a ですが、一般の一次関数ではその方法をそのまま使えません。

もう1つの誤りは、xの増加量をyの増加量で割ることです。この表なら2÷4=1/2となりますが、これはyが1増える間にxがどれだけ増えるかという比であり、求める変化の割合とは逆です。「yの増加量 ÷ xの増加量」と文字で書き、分子と分母に実際の差を入れてから計算しましょう。逆の比が偶然同じ数になる場合もあるため、答えの数字だけでなく式の意味を確かめます。

切片の誤りもあります。表の最初のyを切片とするのではなく、その列のxが0かを見ます。xが0でなければ、そのyにはaxの分が含まれます。傾きを求めてから代入し、axを除いてbを求めると、切片の意味に戻れます。

手を動かして確かめる

次の4問はそれぞれ独立した一次関数です。答えは整数または約分した分数で書き、式を求める問題は y を x の式で表してください。

1. x=1のときy=4、x=4のときy=10です。変化の割合、切片、式を求めてください。
2. x=-3のときy=7、x=1のときy=-1です。変化の割合、切片、式を求めてください。
3. 変化の割合が3/2で、x=2のときy=-1です。切片と式を求め、x=6のときのyも求めてください。
4. x=2、6、8に対応するyが順に-3、-1、0です。この3組が1つの一次関数に合うか調べ、合う場合は式を求めてください。

解答と確かめ

1. xの増加量は4-1=3、yの増加量は10-4=6です。変化の割合は6÷3=2です。y=2x+bにx=1、y=4を代入すると4=2+bなので、切片は2、式は y=2x+2 です。元の表に戻すと、x=1で4、x=4で10です。xが3増えたときyが6増える条件にも合います。

2. xの増加量は1-(-3)=4、yの増加量は-1-7=-8です。変化の割合は (-8)÷4=-2 です。y=-2x+bにx=-3、y=7を代入すると、7=6+b、b=1となります。切片は1、式は y=-2x+1 です。x=-3で7、x=1で-1と両方の値が戻り、xが4増える間にyが8減ることも合います。

3. y=(3/2)x+bにx=2、y=-1を入れると、-1=3+bです。したがって切片は-4、式は y=(3/2)x-4 です。x=6なら y=(3/2)×6-4=5 です。x=2を戻すと3-4=-1です。またxが2から6へ4増えると、yは (3/2)×4=6 増え、-1から5になるので、与えられた割合にも合います。

4. 最初の2組では、xの増加量が6-2=4、yの増加量が-1-(-3)=2なので、割合は2÷4=1/2です。後の2組では、xの増加量が8-6=2、yの増加量が0-(-1)=1なので、割合は1÷2=1/2です。一致するので、3組は同じ一次関数に合います。y=(1/2)x+bにx=2、y=-3を入れると -3=1+b、b=-4です。式は y=(1/2)x-4 です。x=2、6、8を順に代入すると、yは-3、-1、0となり、元の3組に戻ります。

表の値が3組ある問題では、2組から式を作った後、残りの組を代入する方法でも確かめられます。最初の2組に合う直線を作れても、残りの組まで合うとは限りません。条件として渡された値を最後まで使うことが、判定の根拠になります。

手元に残す要点

• 変化の割合は、同じ順序で引いたyの増加量をxの増加量で割ります。
• 傾きをaとして y=ax+b に1組を代入し、切片bを求めます。
• 求めた式に与えられた各組を戻し、変化量も確かめます。

つまずいた場所を見つける

お子さまが式を作れないときは、答えを先に教える前に、表のどの2列を選び、それぞれの差をどう書いたかを見ます。y÷xと書いていれば値と増加量の区別を、差の符号が片方だけ逆なら引く順序を確かめます。割合が合っていて切片が違う場合は、代入したxとyが同じ列の組か、負の数に括弧を付けたかを確認します。

個別指導では、本人に「xが1増えるとyはどう変わるか」「xが0ならyはいくつか」を、自分の式と表を指しながら説明してもらえます。保護者が家庭で見る場合も、正誤だけで終えず、最後に別の列へ代入した結果を尋ねると、どの段階で食い違ったかが見えます。2組の変化と1組の値をそれぞれの役割で使えば、表から一次関数の式へ道筋がつながります。