高校受験の数学 正負の数の計算—加減乗除と累乗の順序を途中式で整理する｜武蔵野個別指導塾

負号と累乗の位置、括弧の外し方を例題と練習でたどり、途中式から見直す符号の計算です。

よくあるのは、中1の生徒が負号と累乗を同じ順で計算し、-3²を9とする場面です。負号まで含めて2回かけたくなりますが、括弧のないこの式では、2回かけるのは3です。(-3)²との違いを目で追えるように書くと、どこで符号が決まるかが見えてきます。急いで答えに飛ばず、計算するまとまりを先に見つけましょう。

式のどこから手を付けるか

正負の数の加減乗除では、符号を決める操作と計算の順番を別々に確認します。累乗や括弧が加わる式も、計算するまとまりを追って整理します。

正負の数の計算では、まず加法と減法を組み合わせた式があります。引く数の符号を変えて加法に直し、正の数と負の数をそれぞれまとめると、途中の向きを見失いにくくなります。次に乗法と除法を含む式では、積や商の符号と大きさを分けて決めます。さらに、累乗や括弧が重なる式では、どの数が累乗されているかと、どの操作が先かを読み取ります。

たとえば、引き算の記号と負の数の符号は、見た目が同じ横線でも役割が違います。前者は2つの数の間の操作で、後者は数に付く符号です。式を一度「負の数を引く」と言葉で読み、反対の数を足す式へ直すと、役割の違いがはっきりします。答えの符号を先に勘で決めず、式の各部分が表す操作を順に追うことが出発点です。

符号と計算順序を分けて読む

加法では、同じ符号の数なら、それぞれの0からの距離を足し、共通の符号を付けます。異なる符号なら、距離の大きい方から小さい方を引き、距離の大きい数の符号を付けます。大きさが等しく符号が反対なら和は0です。減法は、引く数の符号を変えて加えると考えます。たとえば、(+2) − (-5)は(+2) + (+5)となります。

乗法では、同符号の2数の積は正、異符号の2数の積は負です。除法も同じ符号の決め方です。大きさは符号を除いた数どうしの積や商から求めます。0にどの数をかけても0ですが、0で割ることはできません。割り算を逆数のかけ算に直すときも、割る数が0でないことが必要です。

累乗は同じ数を繰り返しかける表し方です。図1のように、(-3)²は括弧の中の-3を2回かけます。一方、-3²は3を2回かけた結果に負号を付けます。括弧があるかどうかで、繰り返す数の範囲が変わります。3乗でも、(-2)³は(-2)を3回かけるので負です。負の数を偶数個かけた積は正、奇数個なら負になります。

式に加減乗除が混ざるときは、括弧の中を先に計算し、累乗、乗除、加減の順に進めます。同じ段階の乗法と除法、または加法と減法は左から順に計算します。括弧の中にも累乗や乗除があれば、その中で同じ順序を守ります。分数の横線も、分子や分母をそれぞれひとまとまりとして扱う目印です。

分配法則は、括弧の中の各数に外の数をかける法則です。たとえば(-2) × {(+7) + (-4)}は、(-2) × (+7) + (-2) × (-4)と書けます。先に括弧の中を3としても、各項に分配しても結果は-6です。外の数が負なら、両方の積の符号をそれぞれ決めます。片方にしかかけないと、元の式とは別の計算になります。

基本例題：順序を1行ずつ残す

次の式を計算し、整数で答えてください。

(-8) + 3 × (-2) − (-5)² ÷ 5

図2のように、まず累乗を計算し、その後で乗法と除法をそれぞれ計算します。最後に加減を左から処理します。括弧の中はすでに1つの数なので、さらに加減する必要はありません。

途中式は次のようになります。

(-8) + 3 × (-2) − (-5)² ÷ 5

= (-8) + 3 × (-2) − 25 ÷ 5

= (-8) + (-6) − 5

= -14 − 5

= -19

最初の行では、(-5)²を(-5) × (-5)として25にしました。次の行の3 × (-2)は異符号の積なので-6、25 ÷ 5は正の数どうしの商なので5です。引き算の記号は、その前の値から5を引く操作として残します。(-8)と(-6)を足して-14にし、さらに5を引いて-19です。

元の式に戻って確かめます。3 × (-2)は-6で、(-5)を2回かけて5で割った量は5です。したがって、-8から6だけ下がり、さらに5だけ下がって-19になります。乗除を処理する前に-8と3を足してしまうと、3が-2にかかるという元の関係が変わります。計算した部分以外をそのまま次の行へ写すと、操作の抜けにも気づけます。

途中式の符号が不安なら、-14 − 5を(-14) + (-5)と書き直してもかまいません。負の数をさらに足しているので結果は-14より小さくなります。この見通しに合わない正の答えが出た場合は、積の符号や引く操作を戻って確認します。

括弧を先に計算するか、分配するか

次の式を計算し、整数で答えてください。

(-6) × {(-3) + 5} − 2 × [(-4) − 1]

この式は括弧の中を先にまとめる方法と、それぞれに分配する方法の両方で計算できます。括弧の中がすぐに整数になるので、まずは中をまとめます。

(-6) × {(-3) + 5} − 2 × [(-4) − 1]

= (-6) × 2 − 2 × (-5)

= -12 − (-10)

= -12 + 10

= -2

1つ目の括弧は異符号の和で2、2つ目は-4から1を引くので-5です。2 × (-5)は-10ですが、元の式ではその積を引いています。そこで-12 − (-10)となり、負の数を引く操作を正の数を足す操作に直します。

別の道でも確かめます。最初の積を分配すると18 − 30です。後ろは2 × [(-4) − 1]が-8 − 2で-10なので、その全体を引きます。よって18 − 30 − (-10) = -2となり、元の2つの積を使った結果と一致します。後ろの括弧の前にある引き算は、分配した2項の全体にかかる点が分かれ目です。

括弧の中が簡単にまとまるなら先に中を計算する方法が短くなります。分配を選ぶ場合は、外の数と括弧内の各数の組を一つずつ作ります。どちらの方法でも、途中で元の式にないかけ算や引き算を増やさないことが条件です。

間違いの場所を式に戻す

誤答の例は、-4² = (-4) × (-4) = 16です。原因は、括弧がないのに負号を累乗の対象に入れたことです。修正すると、-4² = -(4 × 4) = -16です。図3のように、負号が括弧の外にある式と中にある式を並べると、繰り返す部分の違いを確かめられます。

別の誤りとして、6 − (-3)を6 − 3 = 3とすることがあります。引く数の負号を消した一方で、引き算を足し算に変えていないのが原因です。6 − (-3) = 6 + 3 = 9と、操作と数の符号を一緒に直します。元の操作は負の数を引くことなので、6より大きくなることも確かめられます。

乗除では、(-12) ÷ (-3)を-4とする誤りがあります。同符号の商は正なので4です。符号を決めてから12 ÷ 3を計算し、4 × (-3) = -12と元の割り算に戻せます。割る数が0のときは同じ手順に進めません。たとえば5 ÷ 0では、0に何をかけても5にならないため、商を作れません。

分配の誤りも、元の括弧との対応で見直します。(-3) × (4 − 2)を-12 − 2とするのは、後ろの2に-3をかけ忘れた式です。正しくは(-3) × 4 − (-3) × 2 = -12 − (-6) = -6です。括弧を先に計算した(-3) × 2 = -6とも一致します。誤答の数値を消す前に、どの操作が抜けたかを指で示すと、次の式でも同じ点を点検できます。

自分で試す4問

次の各式を計算してください。1、2、4は整数、3は約分した分数で答えてください。

1. (-13) − (-7) + 4
2. -2³ + (-3) × 4
3. (-3/4) ÷ (1/2) + 1/6
4. (-5) × {2 − (-4)} + 18 ÷ (-3)

式ごとに、最初に計算する部分へ印を付けてから進めてください。答えの符号を予想する場合も、最後は元の操作へ戻して確かめます。

答えとたどり方

1. 答えは-2です。負の数を引く操作を正の数を足す操作に直します。

   (-13) − (-7) + 4 = -13 + 7 + 4 = -6 + 4 = -2

   元の式では-13から、-7を引くことで7増え、さらに4増えます。合計11増えるので-2です。引く数の符号だけ変えて減法を残すと、元の操作と一致しません。

2. 答えは-20です。-2³の累乗の対象は2です。

   -2³ + (-3) × 4 = -8 + (-12) = -20

   元の式に戻ると、2を3回かけた8に負号を付け、そこへ負の3の4倍である-12を足します。2つとも負なので答えも負です。もし(-2)³と読んでも今回は同じ-8ですが、偶数乗では結果が変わるため、括弧の有無を必ず読みます。

3. 答えは-4/3です。0でない1/2で割るので、逆数の2をかけます。

   (-3/4) ÷ (1/2) + 1/6 = (-3/4) × 2 + 1/6

   = -3/2 + 1/6 = -9/6 + 1/6 = -8/6 = -4/3

   元の割り算では、商-3/2に割る数1/2をかけると-3/4に戻ります。そこへ1/6を加えれば-8/6であり、約分して-4/3です。小数に直して丸めず、分母をそろえて確認します。

4. 答えは-36です。先に括弧の中、次に乗除、最後に加法を計算します。

   (-5) × {2 − (-4)} + 18 ÷ (-3)

   = (-5) × 6 + 18 ÷ (-3)

   = -30 + (-6) = -36

   元の括弧は2から-4を引くので6、その-5倍は-30です。18を-3で割った-6は、-6に-3をかけると18に戻ります。2つを合わせて-36となり、元の各操作と一致します。

計算を止める場所を決める

長い式を見たとき、すべての符号を一度に処理しようとすると、元の数と操作の境目が曖昧になります。まず括弧の対応を見つけ、内側に計算が残っていればそこから片付けます。括弧の中が1つの数になったら、累乗の対象を囲みます。その後、乗除が終わるまで加減の部分は書き写しておきます。1行で進める量を小さくすると、間違いが見つかった場所からやり直せます。

たとえば、途中に負の数どうしの積が2つ現れたとします。それぞれが正になることを先に記し、積の大きさを計算してから足し引きします。負号の数だけを式全体で数える方法では、加減の記号と数の符号が混ざり、別々の積を一つにまとめてしまうおそれがあります。積や商を作る数のまとまりごとに符号を決めるのが安全です。

分数があるときは、符号の扱いと約分を別の段階にします。負の分数を正の分数で割れば商は負です。その大きさは割る数の逆数をかけて求めます。通分が必要な加減では、分母をそろえても数の符号は変わりません。約分は分子と分母を同じ0でない数で割る操作なので、分子の一部分だけを消してはいけません。

計算の途中で0が出た場合も、次の操作を見て判断します。0を足しても元の数は変わらず、0をかければ積は0です。一方、0で割る式は答えを数として求められません。0が出たことを見落として逆数を作ろうとせず、その場所で計算ができるかを確認します。割られる数が0で割る数が0でない場合は、商は0です。割る数に商をかけると、元の0へ戻るからです。

手元に残す要点

• 減法は、引く数の符号を変えて加法に直します。
• 乗除は符号と大きさを分けて決め、0では割りません。
• 累乗の対象を括弧で見極め、括弧、累乗、乗除、加減の順に進めます。
• 分配するときは括弧の中の各数にかけ、別の方法でも確かめます。

途中式からつまずきを見つける

お子さまの答えが違ったときは、最初に元の式と一致しなくなった行を探します。累乗のところで違えば、繰り返しかけた数を括弧付きで書いてもらいます。減法のところで違えば、引く数と引き算の記号を別々に指し、反対の数を足す形に直せるかを見ます。

個別指導で確かめるときも、正解を書き直すだけで終えず、本人に次の1行を選んだ理由を説明してもらいます。分配なら外の数が括弧内の各数に届いているか、除法なら商を割る数にかけて元の数に戻るかを確認します。時間が足りず最後まで進めなかった場合は、計算順序の印を付けた段階まで戻り、最初の1行を正確に書く練習から再開できます。符号を決めた根拠が残る途中式は、次の計算を自分で直す手がかりになります。