高校受験の数学 正負の数—数直線と絶対値で大小を比べて符号の意味を確かめる｜武蔵野個別指導塾

負の数の絶対値と数直線上の位置を区別し、反対向きの量を符号で表す練習から、数の大小を判断する根拠を確かめます。

中1で負の数を学び始めた人が、-4の絶対値を-4と書いて手を止める場面があります。数についていた負号をそのまま残したくなりますが、絶対値はその数自身とは別の見方です。0からの距離を数直線に描き、どちらを答える問題なのかを確かめると、符号を選ぶ理由が見えてきます。受験に向けた復習でも、慣れた計算に急ぐ前に、この違いを言葉で言えるか点検してみましょう。

何を比べ、何を表すか

正負の数では、数の大小を比べることと、絶対値や反対向きの量を表すことを区別します。四則の計算手順には広げず、数直線上の位置と距離を確認します。

正負の数の問題には、数直線上の位置から大小を決める型があります。負の数同士では数字の見た目だけで判断すると逆になりやすいため、0に近い方が右にあることまでたどります。0や正の数が混ざるときも、同じ一本の数直線で順序を決められます。

もう一つは、絶対値から元の数を探す型です。距離が指定されても向きが決まらないときは、0の左右を考えます。一方、正か負かの条件が加われば、左右のどちらかに絞れます。0からの距離が0の場合には、左右に別々の点を作れないことにも注意します。

さらに、基準より上と下、東と西のような反対向きの量を符号で表す型があります。どちらを正とするかは問題の約束です。符号と単位をそろえれば、言葉で書かれた量を数直線の位置として比べられます。四則計算の方法は別の学習単位で扱うため、ここでは数の位置と意味に集中します。

0を起点にした位置と距離

0より大きい数を正の数、0より小さい数を負の数といいます。0は正の数でも負の数でもありません。正の数には+を付けられますが、混乱しないときは省けます。負の数の-は、その数が0より左側にあることを示します。正と負は、数の位置を区別するための印です。

数直線では、右にある数ほど大きく、左にある数ほど小さくなります。例えば-3と+2なら、-3は0より左、+2は0より右ですから、-3 < +2です。等号に線を足した不等号を使う場合は、端の数を含むかどうかも問題文の言葉から読み取ります。「以上」はその数を含み、「より大きい」は含みません。

図1のように、-3と+3は0から同じ距離にあります。ある数を表す点と原点0との距離を、その数の絶対値といいます。したがって-3の絶対値は3で、+3の絶対値も3です。距離に向きは付けませんから、絶対値は負になりません。0の絶対値は0です。

符号が反対で絶対値が等しい2つの数を、互いに反対の数といいます。-3の反対の数は+3、+3の反対の数は-3です。0の反対の数は0です。絶対値を求める操作と反対の数を求める操作は違います。前者は距離を答え、後者は0をはさんで反対側にある位置を答えます。

負の数同士では、絶対値の大きい方が0から左へ遠くなり、数としては小さくなります。例えば-8と-5では、-8の方が左ですから-8 < -5です。絶対値8は5より大きいものの、元の数の大小とは逆です。数字だけを見ず、何の大小を問われているかを先に囲むと区別しやすくなります。

小数や分数も同じ数直線上に置けます。目盛りを細かくすれば、整数の間にも数があります。整数のときに覚えた順序をそのまま当て推量するのではなく、0からどちら側へ、どれだけ離れるかを見ます。単位の異なる量を比べる場面では、先に同じ単位に直してから位置を考えます。

基本例題：距離と位置を分ける

次の数について、(1) 小さい順に不等号で並べ、(2) それぞれの絶対値を整数で答え、(3) -2の反対の数を整数で答えてください。

-2、+4、0、-5

まず0を基準にして、それぞれの点を置きます。-5は0の左に5目盛り、-2は左に2目盛りです。+4は0の右に4目盛りです。0自身は原点に置きます。

図2のように左から順に点を読むと、-5、-2、0、+4です。数直線は右へ行くほど大きくなるので、(1) は次のようになります。

-5 < -2 < 0 < +4

次に(2)は並んだ順ではなく、問題文に示された順に答えます。-2から0までの距離は2、+4から0までの距離は4です。0から0までの距離は0、-5から0までの距離は5です。よって答えは順に2、4、0、5です。負の点からの距離にも負号を付けないことが、元の数と絶対値の違いです。

(3)は絶対値ではなく反対の数です。-2は0から左に2目盛りなので、右に2目盛りの+2が答えです。+2の絶対値も2であり、位置を元へ戻して見れば、-2と+2は0から等距離の反対側にあります。

検算では、(1) の隣り合う数をそれぞれ数直線で見直します。-5は-2より左、-2は0より左、0は+4より左です。(2) は4つの点から0までの目盛りを数え直し、元の順序に対応していることを確かめます。(3) は+2から反対側に移ると-2に戻ります。問題にある条件へ戻すことで、答えの順序や符号の取り違えも見つけられます。

例えば(1)を「絶対値が小さい順」と読み違えたら、0が最初になります。しかし問題が求めるのは元の数の大小です。-5と0を見比べ、負の点が0の左にあることを確認すれば、異なる並べ方だと気づけます。答えを書く前に「数の位置」か「距離」かを分けておきましょう。

条件が増えたときの分かれ目

ある地点を基準の高さ0 mとし、基準より上を正、下を負とします。地点A、B、Cの高さについて、Aは絶対値が3/2 mで基準より下、Bは絶対値が1/2 mで基準より上、Cは絶対値が3/2 mです。各地点の高さを分数で表し、あり得る場合ごとに低い順に並べてください。等しい高さは等号で結びます。

Aは基準より下なので負です。0からの距離が3/2 mですから、Aは-3/2 mです。Bは基準より上なので正で、+1/2 mです。ここまでは距離に加えて向きが指定されているため、それぞれ位置が決まります。

Cは距離だけが指定されています。基準より下にも上にも3/2 m離れた地点があるため、Cは-3/2 mまたは+3/2 mです。ここが考え方の分かれ目です。負号を自動的に付けることも、正の側だけを選ぶこともできません。

Cが-3/2 mなら、AとCは同じ高さです。低い順は A = C < B です。Cが+3/2 mなら、Aは負、BとCは正で、正の側では1/2より3/2の方が大きいので、A < B < C です。

元の条件に戻します。Aは下に3/2 m、Bは上に1/2 mあり、どちらも指定の距離と向きに合います。Cの候補はどちらも0からの距離が3/2 mです。ほかの候補がない理由は、数直線で0から指定の距離にある点が左右に1つずつだからです。Cが0からの距離0 mと指定された場合は、左右が同じ原点になるので候補は0 mです。

問題の「下」を負とした約束を途中で取り替えると、符号と場面が対応しなくなります。高さを数で答えた後に、符号をもう一度「上」または「下」に読み戻します。距離だけの条件と向きまで含む条件を別々に確認すると、場合を落としにくくなります。

誤答を距離に戻して直す

「-6の絶対値は-6」という答えを考えます。原因は、求めるものを元の数と同じものとして扱い、負号をそのまま写したことです。-6という位置は確かに負ですが、そこから0までの距離は負ではありません。

図3のように-6から0までの目盛りを数えると6です。したがって正しい答えは6です。反対の数を問われた場合も+6ですが、意味は異なります。絶対値は距離6、反対の数は0をはさんだ位置+6です。答えの数字が同じでも、質問に合わせた説明を添えると混同を見つけられます。

別の誤りとして、-9 > -4とする場合があります。9が4より大きいこと自体は正しいものの、これは絶対値の比較です。元の数を比べるなら-9の方が左なので、-9 < -4に直します。まず正負を見て、両方が負なら0からの距離と左右を確認します。

また、絶対値が2の数を+2としか書かない場合は、距離から位置を探すときの向きを片方見落としています。数直線の0から右へ2、左へ2とたどれば、+2と-2の両方が条件に合います。ただし「正の数」と指定されていれば+2に限られます。条件の有無を読み落とさないことが修正の手がかりです。

手を動かして確かめる

次の4問は、答えを見ずに数直線や基準を書き入れて考えてください。数として答える箇所は、指定された整数または分数で表します。

1. -7、+3、-1、0を小さい順に不等号で並べ、それぞれの絶対値を問題に書かれた順に整数で答えてください。
2. 絶対値が5/4である数をすべて分数で答えてください。また、そのうち負の数の反対の数を分数で答えてください。
3. ある場所を基準に東を正、西を負とします。基準から西へ2 kmの地点P、東へ1/2 kmの地点Q、基準から西へ1/2 kmの地点Rの位置を、それぞれ整数または分数と単位で表し、数の小さい順に地点名を並べてください。
4. 整数のうち、-4より大きく+2以下の数を小さい順にすべて書いてください。その中で絶対値が最も大きい数も整数で答えてください。

解答とたどり方

1. 左から順に -7 < -1 < 0 < +3 です。絶対値は問題の順に7、3、1、0です。-7と-1は負なので、0から遠い-7が左です。+3は0の右です。各点から0までの距離を数え直すと、それぞれの絶対値が元の数に対応します。

2. +5/4、-5/4です。負の数-5/4の反対の数は+5/4です。0から5/4離れる方向は左右にあり、両方の候補を0からの距離に戻すと5/4になります。反対の数も、0をはさんで等距離の位置かどうかで確かめられます。

3. Pは-2 km、Qは+1/2 km、Rは-1/2 kmです。小さい順はP、R、Qです。PとRは西側で、基準から遠いPが左にあります。Qは東側です。答えの符号を方角に戻すと、PとRは西、Qは東になり、距離も各条件と一致します。

4. -3、-2、-1、0、+1、+2です。-4より大きいので-4は含まず、+2以下なので+2は含みます。絶対値は順に3、2、1、0、1、2なので、最も大きいのは-3です。挙げた数がいずれも-4の右にあり、+2より右にはないことを確かめます。端の外側の整数は条件を満たさず、間の整数も飛ばしていません。

最初の問題で並べる順と絶対値を答える順は違います。答えを移すときは、どの元の数に対応する値か指で追いましょう。2問目では、正の側と負の側の両方を元の距離に戻します。3問目は基準と正の向きを図に書き、数と方角を往復させると符号の確認ができます。

4問目のように端を含むかが異なるときは、数直線の端に印を付けてから整数を拾います。端の一方を含み他方を含まない理由を言葉で説明できれば、不等号を見たときも位置と対応させやすくなります。

覚えておくこと

数直線では右にある数が大きいです。
絶対値は0からの距離で、負にはなりません。
距離が正なら、向きの条件がないと元の数は左右にあります。
反対の数は0をはさんで同じ距離にあります。
反対向きの量は、基準と正の向きを決めて表します。

答えの手前を見直す

お子さまが負の数の絶対値に負号を付けたときは、答えを書き直す前に、その数の点と0の間を指で示してもらいます。点の位置は正しく置けるのに距離に負号を付けるなら、位置と距離の言葉の区別を確認します。点そのものを右に置いてしまうなら、まず負号が表す向きに戻ります。

個別指導で確かめる際も、正答かどうかに加えて、基準をどこに置き、どちらを正にしたかを本人の図や説明で見ます。絶対値から元の数を探す問題では、左右の候補を出した後、向きの条件で絞った理由をたずねます。大小の記号を間違えた場合は、左右の順と記号の開く向きを別々に確認します。数の位置と0からの距離を言い分けられると、符号の判断に根拠が残ります。