中学受験の算数 相当算—全体の一部を線分に置き換えて量を戻す｜武蔵野個別指導塾

最初の全体と途中の残りを線分で分け、わかっている部分の量から元の量を戻します。

よくあるのは、小6のお子さまが、用意した紙の一部を使った後、残りの何分のいくつかをさらに使う場面です。「残りの半分」を見て、最初の全体の半分を使ったと考えると、線分の長さが合わなくなります。割合の数字だけで計算を始めず、その割合がどの量をもとにしているかを言葉と図で確かめましょう。残った枚数や2つの部分の差から、見えなくなった全体を戻せます。

どの部分の量が手がかりになるか

相当算（そうとうざん）は、全体のある割合にあたる量を手がかりに、全体や別の部分を求める考え方です。出方には、使った分がわかる型、残った分がわかる型、2つの部分の差がわかる型があります。いずれも、量と割合を同じ場所に対応させてから、全体に戻します。

たとえば、全体の5分の2を使ったという条件では、使った分が5等分の2つ分です。残りは同じ大きさの3つ分です。残りの量がわかれば3つ分から1つ分を出し、5つ分に戻せます。使った分がわかる場合は2つ分から始めます。どちらも、わかっている量に合う分だけで割ることが出発点です。

2つの部分の差がわかる場合は、全体からそれぞれが何つ分かをそろえ、その差が何つ分かを見ます。差の量を全体の量と取り違えないよう、図の差に印を付けておくとよいでしょう。分け方をそろえると、量の差と割合の差が対応します。

線分の一目盛りに何を置くか

全体を1本の線分にして、同じ長さに分けます。図1のように全体を5等分し、2つ分を使ったとき、残りは3つ分です。同じ全体を基準にした割合なら、使った分と残りを合わせると全体の5つ分に戻ります。

図1の区切りは、同じ量ずつを表しています。全体の5分の2と残りの5分の2は、基準が違います。前者は5つのうち2つですが、後者は残った3つ分をさらに5等分したうちの2つです。残りの中で新しく分けるので、元の5等分の線だけでは表しきれません。

残りに対する割合を扱うときは、残りの線分を必要な数に等分し直します。その後、元の全体の区切りも同じ大きさになるようにそろえます。元の全体を表す線を消さずに残すと、どこをもとにした割合なのか見失いにくくなります。

「何に相当するか」を言葉で添えることも役立ちます。たとえば「残り3つ分が36枚」と書ければ、36を3で割って1つ分を求める理由が見えます。36を5で割ると、残りを全体だと決めたことになり、条件と合いません。答えを出した後も、求めた全体から元の部分を作り、与えられた量に戻るか確かめます。

基本例題：残りから元の枚数へ

紙を何枚か用意し、全体の5分の2を使うと、残りは36枚でした。最初の紙は何枚ですか。整数で答えましょう。

図2のように、全体を同じ量の5つに分けます。使った部分が2つ分なので、残りの36枚は3つ分にあたります。求める枚数は残りではなく、5つ分の全体です。

まず、残りが全体の何分のいくつかを求めます。

1 − 2/5 = 3/5

次に、残りの3つ分を3で割ります。

36 ÷ 3 = 12（枚）

12枚が全体の5分の1です。これを5つ集めます。

12 × 5 = 60（枚）

答えは60枚です。確かめるには60枚を5等分します。60 ÷ 5 = 12（枚）、使った2つ分は12 × 2 = 24（枚）です。60 − 24 = 36（枚）となり、残りの条件に戻ります。36 ÷ 60 = 3/5 なので、残りの割合も一致します。

式をまとめて36 ÷ 3 × 5と書いてもよいですが、初めは3が残りの区切りの数、5が全体の区切りの数だとそれぞれ説明しましょう。36 ÷ 5とすると1つ分を小さく見積もり、残りの3つ分が36枚になりません。式の順番を覚えるより、36枚を線分のどこに書くかが先です。

残りをもう一度分けるとき

リボンを何cmか用意しました。まず全体の4分の1を使い、次に残りの3分の1を使ったところ、最後に60cm残りました。最初の長さは何cmですか。整数で答えましょう。

ここでは2回目の3分の1が、最初の全体ではなく、1回目の後の残りをもとにしています。1回目の後に残るのは全体の4分の3です。これを3等分すると、それぞれが元の全体の4分の1にあたります。2回目に使うのはその1つ分で、最後に残るのは元の全体の4分の2です。

最後の60cmが2つ分なので、1つ分は次の通りです。

60 ÷ 2 = 30（cm）

元の全体は4つ分です。

30 × 4 = 120（cm）

答えは120cmです。元の条件に戻して確かめます。1回目に120 ÷ 4 = 30（cm）を使い、120 − 30 = 90（cm）が残ります。2回目は90 ÷ 3 = 30（cm）を使い、90 − 30 = 60（cm）です。最後の長さが問題の条件と合います。

分かれ目は「残りの」という言葉です。もし2回目も最初の全体の3分の1なら、全体を12等分して1回目の3つ分と2回目の4つ分を引きます。この問題では、2回目の基準が90cmになるため、同じ引き算は使えません。まず残りを3等分し、全体と同じ目盛りで表せるかを見ます。

差を全体として扱わない

別の場面で、同じ長さのテープを2本用意します。1本目は全体の5分の3、2本目は全体の5分の1を使い、使った長さの差が24cmでした。この差から、1本の元の長さを整数で求めます。

誤答は、24 ÷ 5 × 5 = 24cmとするものです。24cmを全体の5つ分と見てしまうと、使った長さの差をそのまま元の長さに置き換えることになります。図3のように、差は5つ分ではなく2つ分です。

図3では左端をそろえ、使った部分の右端の間を見ます。3つ分から1つ分を引くと2つ分です。したがって24 ÷ 2 = 12（cm）が1つ分、12 × 5 = 60（cm）が元の長さです。60cmなら1本目は36cm、2本目は12cmを使い、36 − 12 = 24（cm）に戻ります。

また、3 + 1 = 4として24を4で割る誤りもあります。4つ分は2本の使用分を合わせた量で、問題の24cmは差です。何を合わせ、何を比べているのかを図の上に書き、差の部分だけを数え直しましょう。2本の元の長さが同じという条件があるから、同じ大きさの目盛りを並べて差を読めます。

条件を読み違えたときの戻り方

問題文を読んで図を描いても、どの長さを分ければよいか迷うことがあります。そのときは、一度にすべての割合を書こうとせず、出来事の順に線を分けましょう。最初の全体の線の下に、1回目の後に残った線を描きます。次の割合に「残りの」と付いていれば、下の線を分けます。全体を基準にする場合には、上の線の目盛りを使います。

たとえば、全体を6等分して最初に1つ分を使い、残りを5等分してその2つ分を使うとします。残りの5等分は、元の全体の1目盛りずつと同じ大きさです。2回目に使ったのは元の全体の2目盛りで、最後は3目盛りです。実際の量が最後の3目盛りに与えられれば、3で割って1目盛りを求め、6つ分へ戻せます。残りに対する割合をそのまま最初の全体から引く必要はありません。

一方、残りを等分した目盛りが、最初の目盛りとすぐにそろわないこともあります。全体を3等分して1つ分を使い、残りを4等分すると、残りの2目盛りを4つに分け直すことになります。元の1目盛りをさらに2つに分ければ、全体は6つ、残りは4つの同じ小さな目盛りで表せます。図を細かくしても全体の長さは変わりません。何回目に使った部分かを線の脇に書き、同じ部分を二重に引かないようにします。

途中で割り算の答えが整数にならないときは、まず問題の量がどの目盛りに対応するかを確認します。長さや水の量などでは1目盛りが分数や小数になる場合もあるため、割り切れないこと自体が間違いとは限りません。個数を答える問題では、最後に求めた個数が整数かどうかも条件に照らします。計算が進まなければ、わかっている部分から1目盛りを作り、そこから必要な部分へ進む順に戻ります。

2つの部分を比べる問題では、差の向きも確かめます。大きい部分から小さい部分を引いた長さが差です。逆に引いて計算を進める前に、どちらの線が長いかを図で確かめましょう。与えられた差を使って全体を求めたら、それぞれの部分を作り直して引き算します。元の差に戻らなければ、目盛りの数や基準を点検します。

自分で線分を描く練習

次の問題をまとめて考え、線分と式を書いてから下の解答と比べてください。答えはそれぞれ整数で、指定された単位を付けましょう。

1. 箱の中のビー玉の全体の7分の3を取り出すと、残りは32個でした。最初は何個ですか。
2. 水そうの水の全体の5分の2を使い、さらに残りの3分の1を使うと、最後に24L残りました。最初は何Lですか。
3. 同じ重さの粘土が2つあります。1つ目は全体の8分の5、2つ目は全体の8分の1を使いました。使った重さの差が28gのとき、元の粘土1つは何gですか。
4. 読書の予定のページ数のうち、初日に全体の6分の1、次の日に全体の6分の2を読みました。残りが45ページのとき、予定は全部で何ページですか。

解答と考え方

1. 残りは全体の7分の4です。32個が4つ分なので、32 ÷ 4 = 8（個）が1つ分です。8 × 7 = 56（個）です。取り出した数は8 × 3 = 24（個）、56 − 24 = 32（個）となり、残りが合います。

2. 1回目の後は全体の5分の3が残ります。残りを3等分すると、それぞれは最初の全体の5分の1です。最後の24Lはその2つ分なので、24 ÷ 2 = 12（L）、12 × 5 = 60（L）です。確かめると、最初に60 ÷ 5 × 2 = 24（L）を使って36L残り、次に36 ÷ 3 = 12（L）を使うと24Lです。

3. 差は8分の5から8分の1を引いた8分の4です。28 ÷ 4 = 7（g）が8分の1で、7 × 8 = 56（g）です。1つ目は35g、2つ目は7gを使うので、35 − 7 = 28（g）と条件に合います。2つの元の重さが同じため、8分の1ずつの重さも同じです。

4. 読んだ分は全体の6分の1と6分の2を合わせた6分の3です。残りも6分の3なので、45 ÷ 3 = 15（ページ）、15 × 6 = 90（ページ）です。初日は15ページ、次の日は30ページを読み、90 − 15 − 30 = 45（ページ）と確かめられます。両日の割合はどちらも予定の全体が基準なので、そのまま足せます。

計算が合わなかったときは、答えだけを直す前に、線分のどの部分に問題の量を書いたかを見直します。特に2番では24Lを1回目の後の残りとすると、2回目に水を使ったことが抜けます。3番では28gを2つの使用分の合計とすると、差を表す部分がなくなります。答えを条件に戻すと、そのずれを見つけられます。

解いた後は、式の数字に単位を添えて声に出してみましょう。目盛りの数は個やcmではなく、同じ大きさの部分がいくつあるかを示します。量を目盛りの数で割ると1目盛りの量になり、それに必要な目盛りの数をかけると求める量になります。単位が途中で変わらないことも見ます。計算の結果が元の条件と合うかは、取り出す前の量から順に戻して確かめます。

覚えておくこと

全体と各部分の基準を線分に書く。
わかっている量が何目盛り分かを数える。
残りを基準にするときは残りを分け直す。
部分の差は目盛りの差に対応させる。
出した答えを元の条件へ戻す。

保護者の方へ

お子さまの式が違っていても、まず「この数は線分のどこを表すの」と聞いてみてください。残りの割合を全体に当てているのか、差を合計として読んでいるのかが見えます。図の一部を指して説明できたら、その部分が何等分のいくつ分かを尋ねる一手だけを添えます。

説明が途中で止まる場合は、最初の全体と途中の残りを別の線で描き、同じ量を同じ長さにそろえてみましょう。答えを先に教えるより、与えられた量と目盛りの対応を本人の言葉で結べるかを見ます。条件に戻す確かめまでできれば、割合の基準を選んだ理由も自分で点検できます。線分に残した目盛りが、全体へ戻る道しるべです。