中学受験の算数 年齢算—変わらない年齢の差を線分で見つけて解く｜武蔵野個別指導塾

年数がたっても差は変わらない理由と、倍の関係を線分で読み直す手順を、親子の年齢算でたどります。

よくあるのは、小5のお子さまが、親子の年齢を比べる問題で、数年後には年齢差もその年数だけ増えると考える場面です。たしかに親も子も年を取ります。でも、同じ年数がたつなら、2人に加わる年数は同じです。年齢そのものと年齢の差を分けて見ると、式の意味がはっきりします。

年齢算は、今と数年後の年齢を行き来する文章題です。線分図に時点を書き、同じ長さの部分を見つけると、まだ知らない年齢を順に求められます。ここでは誕生日を細かく考えず、問題で示された年齢が数年後にはその年数だけ増えるものとして考えます。

年齢の問題で見分けること

出方の1つは、今の2人の年齢がわかり、数年後の差を求める型です。まず今の差を引き算で出します。後の年齢をそれぞれ求めて引き直しても同じ差になるため、2通りの方法を照らし合わせられます。

もう1つは、今の年齢差と、数年後に一方が他方の何倍かを使って、年齢を求める型です。倍の関係が成り立つのは数年後ですから、その時点の線分を先に描きます。求めた数年後の年齢から、たった年数を引くと今に戻れます。

さらに、今の倍の関係と数年後の倍の関係が両方示される型もあります。今と後では線分の1つ分の大きさが変わる点が分かれ目です。どちらも同じ年齢差を表すことに注目し、差の部分から2つの時点をつなぎます。

どの型でも、問題を読んですぐ数字をかけるのではなく、「今」「数年後」「差」「倍」という言葉に印を付けます。差は2人の年齢の開きで、倍は一方をもとにしてもう一方を表したものです。これらを混ぜないことが最初の一歩です。

同じだけ伸びる2本の線

年齢差（ねんれいさ）は、年上の人の年齢から年下の人の年齢を引いた数です。2人がともに同じ期間を過ごせば、年上の人にも年下の人にも同じ年数が加わります。長い線と短い線の右端に同じ長さを足しても、右端どうしの開きは変わりません。

図1のように、今の年齢を上から順に30歳、10歳とすると、差は30 − 10 = 20歳です。5年後は35歳と15歳なので、差は35 − 15 = 20歳です。年齢はそれぞれ5歳増えましたが、差に5歳を足すわけではありません。年上の増えた5歳と年下の増えた5歳が、差を求めるときに打ち消し合うからです。

線分図は左端をそろえて描きます。共通する長さを隠すと、長い線の右側にはみ出した部分が差です。図1では今も5年後も、そのはみ出した長さが20歳を表します。後の線を描く際は、2人に足す部分を同じ長さにすると、差が保たれることを目で追えます。

一方、倍の見方では、年下の年齢を同じ長さの1つ分として年上の線を分けます。たとえば年上が年下の3倍なら、年上は同じ長さ3つ分、年下は1つ分です。差は3 − 1 = 2つ分になります。差が2つ分だからといって、年齢差そのものを3で割らないようにします。

線分の1つ分は、いつでも同じ年数を指すとは限りません。数年後は年下の人の年齢も増えるため、後の時点で描いた1つ分は今の1つ分より長くなります。図のそばに「今の1つ分」「後の1つ分」と書けば、違う時点の長さをうっかり同一視せずに済みます。

基本例題：後の年齢から今へ戻る

親と子の年齢差は24歳です。6年後、親の年齢は子の年齢の3倍になります。今の親と子の年齢をそれぞれ整数の歳で求めましょう。

6年後の子の年齢を同じ長さの1つ分とします。親はその3つ分です。問題の3倍は6年後の条件なので、今の年齢の図に3つ分を描いてはいけません。

図2のように、親の3つ分から子の1つ分を取り除くと、差は2つ分です。年齢差は6年後も24歳のままなので、次の順に計算します。

3 − 1 = 2　差に当たる部分の数

24 ÷ 2 = 12　6年後の子の年齢、歳

12 × 3 = 36　6年後の親の年齢、歳

12 − 6 = 6　今の子の年齢、歳

36 − 6 = 30　今の親の年齢、歳

答えは親が30歳、子が6歳です。12歳を見つけた時点で止めると、6年後の年齢を今の答えにしてしまいます。最後に両方から6を引くのは、同じ時点へ戻すためです。

元の条件に戻して確かめます。今の差は30 − 6 = 24歳です。6年後は親が36歳、子が12歳で、36 ÷ 12 = 3となります。差と倍の両方を満たすので、求めた年齢は問題の条件に合います。

途中で迷ったら、図の24歳がどの部分かを指で示してください。親の線全体ではなく、親の線から子と同じ1つ分を除いた部分です。その部分を2等分すると子の6年後の年齢が出る、と言葉にしてから割り算に進みます。

今と後の倍が両方あるとき

姉と弟がいます。今、姉の年齢は弟の年齢の3倍です。4年後には姉の年齢が弟の年齢の2倍になります。今の2人の年齢をそれぞれ整数の歳で求めましょう。

今の弟の年齢を1つ分とすると、姉は3つ分です。したがって今の年齢差は3 − 1 = 2つ分です。4年後の弟の年齢を別の1つ分とすると、姉はその2つ分です。このときの差は2 − 1 = 1つ分です。

年齢差は変わらないので、4年後の弟の年齢は、今の弟の年齢の2つ分に当たります。ただし、4年後の1つ分と今の1つ分は同じ大きさではありません。前者は今の2つ分に当たると、差を通してつないでいます。

弟自身は4年の間に4歳増えます。今の1つ分から今の2つ分になる増加が4歳ですから、今の1つ分は4歳です。順に計算します。

2 − 1 = 1　弟の年齢が増えた分に当たる、今の部分の数

4 ÷ 1 = 4　今の弟の年齢、歳

4 × 3 = 12　今の姉の年齢、歳

4年後は弟が4 + 4 = 8歳、姉が12 + 4 = 16歳です。今は12 ÷ 4 = 3、4年後は16 ÷ 8 = 2です。差も12 − 4 = 8歳、16 − 8 = 8歳と一致します。答えは姉12歳、弟4歳です。

基本例題との違いは、差が数字で与えられていないことです。ここでは差をいきなり歳で求めず、今の弟の年齢をもとにした2つ分として表しました。その差が後の弟の年齢に等しいとわかると、弟が4年で増えた分を使えます。図で差の部分に同じ印を付けると、2つの時点を対応させやすくなります。

差に年数を足してしまったら

今、祖父が60歳、孫が12歳です。7年後の年齢差を求める場面で、「今の差48歳に7歳を足して55歳」と答えたとします。これは誤答です。年齢が増えるという事実を、差も増えるという意味に取り違えています。

図3のように、7年後は祖父が67歳、孫が19歳です。67 − 19 = 48歳となり、今の60 − 12 = 48歳と同じです。祖父に足した7歳だけを考え、孫に足した7歳を忘れたことが誤りの原因です。

直すときは、まず2人それぞれの後の年齢を書きます。そのうえで後の差を引き算で出し、今の差と比べます。慣れてきたら、同じ年数が加わるので差は変わらないと考え、今の差をそのまま答えられます。どちらの方法でも、何の数を足し、何の数を引いたかを説明できることが目標です。

別の誤りは、後の時点の倍を今に当てはめることです。図を描いた後で、各線の横に時点を添えます。条件の数字の近くにも同じ時点を記すと、式へ移すときに取り違えを見つけられます。答えが出たら、求められた時点まで戻したかも確かめましょう。

自分で線を描く練習

次の4問は、すべて年齢を整数の歳で答えてください。時点と差を図に書き、解答を見る前に条件へ戻してみましょう。

1. 今、母は42歳、子は14歳です。8年後の2人の年齢差は何歳ですか。
2. 兄と妹の年齢差は15歳です。3年後、兄の年齢は妹の年齢の2倍になります。今の2人はそれぞれ何歳ですか。
3. 今、父の年齢は子の年齢の4倍です。5年後、父の年齢は子の年齢の3倍になります。今の2人はそれぞれ何歳ですか。
4. 今、母は32歳、娘は8歳です。母の年齢が娘の年齢の2倍になるのは何年後ですか。整数の年数で答えてください。

練習の答えと道筋

1. 答えは28歳です。今の差は42 − 14 = 28歳です。8年後は50歳と22歳で、50 − 22 = 28歳となります。差は変わらないので、後の年齢をそれぞれ計算しなくても今の差で答えられます。後の2人がともに8歳増えることを説明できれば、差をそのまま使う理由も示せます。

2. 答えは兄が27歳、妹が12歳です。3年後の妹を1つ分とすると、兄は2つ分なので、差は2 − 1 = 1つ分です。その差が15歳ですから、妹は3年後に15歳、兄は15 × 2 = 30歳です。今に戻して15 − 3 = 12歳、30 − 3 = 27歳です。差は27 − 12 = 15歳で、3年後も30 − 15 = 15歳です。30 ÷ 15 = 2も成り立ちます。

3. 答えは父が40歳、子が10歳です。今の子を1つ分とすると、差は4 − 1 = 3つ分です。5年後は子を別の1つ分として、差は3 − 1 = 2つ分です。同じ差を2等分した後の子の年齢は、今の子の年齢の3つ分を2等分した大きさです。そこで今の子をさらに2等分して考えると、今の子は小さい2つ分、5年後の子は小さい3つ分です。増えた小さい1つ分が5歳なので、今の子は5 × 2 = 10歳、父は10 × 4 = 40歳です。5年後は15歳と45歳で、45 ÷ 15 = 3です。今の差30歳と後の差30歳も一致します。

4. 答えは16年後です。今の差は32 − 8 = 24歳です。母が娘の2倍になるとき、差は娘の年齢の2 − 1 = 1つ分なので、その時の娘は24歳です。娘が8歳から24歳になるまで24 − 8 = 16年です。16年後は母が48歳、娘が24歳で、48 ÷ 24 = 2です。母にも同じ16年を足して条件を確かめることができます。

練習3のように、同じ差が別の個数の部分になる場合は、どちらかの1つ分を勝手に同じ長さにしないでください。同じ長さに分け直してから増加分を読むと、どの部分がたった年数に当たるかが見えます。練習4では年齢を先に求めてから年数に戻すので、答えの単位を歳と年で取り違えないようにします。

解く途中で立ち止まる場所

線分を描いてから式へ進めないときは、まず差が何を表すかを確かめます。年上の線全体と、年下の線全体の間にある開きです。差を同じ長さの何個分に分けられるかが見えれば、差をその個数で割って1つ分を求められます。反対に、差の歳数がまだわからなければ、線分の個数の関係を使って別の時点へつなぎます。

たとえば、ある時点で年上が年下の5倍なら、差は年下の年齢の4つ分です。ここで差を5等分すると、年上の年齢全体の部分数で割ったことになり、図の差と計算が対応しません。差に印を付け、そこに入る部分を一つずつ数えてから割りましょう。年下の線と重なる1つ分は、差の中には含まれません。

また、求めた数に「今の年齢」「後の年齢」「差」「年数」のどれかを添えておくと、次の操作を選びやすくなります。後の年齢から今へ戻るなら経過した年数を引き、今から後へ進むなら足します。差が求まったときに年数を引く必要はありません。答えの単位を見るだけでなく、その数が何を表すのかも確かめます。

もし計算した今の年齢が問題の条件と合わなければ、最初から全部を書き直す前に、倍が成り立つ時点と差の部分数を確認します。たとえば後の年齢を求めた後に戻し忘れた場合、後の倍は合っていても、求める今の年齢としては正しくありません。どの時点の数を答えたかを見直すことで、直すべき一手が見つかります。

覚えておくこと

• 同じ年数がたっても2人の年齢差は変わりません。
• 倍の条件は、それが成り立つ時点の線分に描きます。
• 差が同じ長さ何個分かを数え、年齢や年数を求めます。
• 答えを元の時点と条件に戻して確かめます。

お子さまと確かめるとき

お子さまが差に年数を足した場合は、すぐに式を直す前に、2人の線のどこまで説明できるか聞いてみてください。今の差を指せたら、次は「2人に同じ長さを足すと右端の開きはどうなるかな」と一手だけ促します。図に足した部分を同じ印で囲むと、片方の増加を忘れた箇所を自分で見つけやすくなります。

倍の問題では「この1つ分はいつの誰の年齢かな」と尋ねると、時点の混同を確かめられます。答えが合ったときも、後の年齢と今の年齢を言い分け、差と倍の両方に戻してみてください。2人の年齢を同じ時計で進めると、変わらない差が道しるべになります。