中学受験の算数 つるかめ算—全部を片方にそろえた差から個数を求める｜武蔵野個別指導塾

12匹の足34本を、全部つるにした24本と比べ、増えた10本を1匹あたりの差に分けて内訳を求めます。

よくあるのは、小5のお子さまが、つるとかめの足の合計を見て、その総数で別の数を割ってしまう場面です。計算を始める前に、何を1組分として数えるのかを見てみましょう。全部をつるにそろえると、実際の足はどれだけ増えるでしょうか。その増えた分は、かめを1匹入れるたびに増える足の集まりです。1匹分の増加に目を向けると、割り算の相手が決まります。

どんな場面で使えるか

つるかめ算は、2種類のものについて、個数の合計と、それぞれに決まった1個あたりの量からできる合計が与えられたときに使えます。たとえば、足が2本のつると4本のかめが合わせて何匹かいて、足の合計もわかっている場合です。匹数と足の本数という、単位の違う2つの合計を分けて読みます。

別の型として、1箱に入る品物の個数が違う2種類の箱を考える問題もあります。箱の数は同じように1箱ずつ数えますが、中身の数は箱の種類で変わります。もう1つは、1枚あたりの点数が異なる2種類の札を集め、枚数と点数の合計からそれぞれの枚数を求める型です。動物の足が出てこなくても、2種類を入れ替えたときの差が使えます。

大切なのは、1匹や1箱を入れ替えても全体の個数は変わらず、足や中身の合計は変わることです。問題に書かれた数を、種類ごとの1個分、個数の合計、量の合計に分けてから進めます。個数の合計しかわからない場合は、2種類の内訳を決める手がかりが足りません。

そろえてから差を集める

つるかめ算では、実際の内訳がまだわからなくても、いったん全部を片方の種類だと考えます。この考えは、実際の動物を変えることではなく、計算の出発点を作るためのものです。全部をつるにしたときの足の本数は、匹数に2本をかければ出せます。

図1のように、つる1匹をかめ1匹に替えると、匹数は1匹のまま、足は4本から2本を引いた2本だけ増えます。この2本が1匹あたりの差です。実際の足の合計と、全部つるにした合計との差を2本ずつに分けると、替えたかめの匹数が出ます。

図1の上の2本と下の4本を比べると、かめの足にはつると共通の2本に加えて2本あります。増えた足だけを数えるのがポイントです。足の合計そのものを1匹分の差として扱うと、何匹替えたのかを表せません。

表も役立ちます。全部つるから始め、かめを1匹ずつ増やすたびに、つるを1匹ずつ減らします。足の合計は毎回2本ずつ増えます。表では実際の足の合計になる行を探します。計算で求めた答えが正しいかを少数の行で調べるときにも便利です。

面積図（めんせきず）は、横の長さを匹数、縦の高さを1匹の足の本数として表した図です。長方形の面積を足の合計に対応させます。全部つるの長方形の上に、かめの匹数分だけ高さ2本の帯を足すと、実際の合計になります。面積図は数の関係を表す道具で、動物の大きさを表しているわけではありません。

表と図を行き来する

表の1行は、2種類の内訳を1通り表します。かめを増やすなら、その分だけつるを減らすことを忘れないでください。かめだけを増やしてつるをそのままにすると、足の本数も匹数も変わってしまい、もとの条件と比べられません。表の横に匹数の合計を書くと、入れ替えの前後で同じ数を保っているかを確かめられます。

面積図では、下の長方形が全部をつるにそろえた足の本数です。上に付けた帯の高さは、かめとつるの足の差に対応します。帯の幅がかめの匹数を表すので、増えた足の本数を帯の高さにあたる差で割ると、幅にあたる匹数が求まります。図のどの部分が何の数かを言葉で添えると、式を暗記していなくても順にたどれます。

反対に、全部かめにそろえた場合は、足の合計から実際の合計まで減らします。つる1匹に替えるごとに2本減るため、減った足を2本ずつに分ければつるの匹数です。両方の出発点から同じ内訳に戻るか比べることも、計算の確かめになります。図を描くときは、実際に求めたい量と、仮にそろえた量を混ぜないよう、そばに名前を書きます。

基本例題：足の増えた分を見る

つるとかめが合わせて12匹います。つるの足は1匹に2本、かめの足は1匹に4本で、足の合計は34本です。つるとかめはそれぞれ何匹ですか。答えは整数の匹数で求めましょう。

まず、12匹を全部つると考えたときの足の本数を出します。12匹それぞれに2本ずつあるので、次のようになります。

12 × 2 = 24（本）

実際は34本ですから、全部つるにした場合より何本多いかを求めます。

34 − 24 = 10（本）

つる1匹をかめ1匹に替えると、足は次の本数だけ増えます。

4 − 2 = 2（本）

増えた10本を、1匹を替えたときの2本ずつに分けます。

10 ÷ 2 = 5（匹）

替えたかめは5匹です。残りはつるなので、12匹から5匹を引きます。

12 − 5 = 7（匹）

答えは、つる7匹、かめ5匹です。図2のように、下の長方形は12匹分の2本、上の帯はかめ5匹分の2本を表します。下の24本に上の10本を足して34本です。

答えをもとの条件に戻します。匹数は7 + 5 = 12（匹）です。足は7 × 2 = 14（本）、5 × 4 = 20（本）なので、14 + 20 = 34（本）です。匹数と足の両方が合いました。片方しか確かめないと、種類を逆に書いた間違いを見逃すことがあります。

表でも、全部つるの24本から、かめを1匹増やすごとに足が2本増えます。かめが0、1、2、3、4、5匹のとき、足の合計は順に24、26、28、30、32、34本です。かめが5匹の行で条件に合います。図2の帯の幅は5匹分で、残りの幅はつる7匹分です。

少し難しい例題：多い方にそろえる

赤い札は1枚8点、青い札は1枚3点です。札は合わせて15枚あり、点数の合計は80点です。赤い札と青い札はそれぞれ何枚ですか。答えは整数の枚数で求めましょう。

今度は全部を点数の高い赤い札にそろえます。15枚全部が赤い札なら、点数は次のようになります。

15 × 8 = 120（点）

実際の80点は、仮にそろえた120点より少なくなっています。その差は次のとおりです。

120 − 80 = 40（点）

赤い札1枚を青い札1枚に替えると、点数は次の点数だけ減ります。

8 − 3 = 5（点）

40点減らすには、5点ずつ何回減らせばよいかを考えます。

40 ÷ 5 = 8（枚）

青い札が8枚です。残りの赤い札は15 − 8 = 7（枚）です。枚数は7 + 8 = 15（枚）、点数は7 × 8 + 8 × 3 = 56 + 24 = 80（点）となり、両方の条件に合います。

分かれ目は、そろえた方が小さい量か大きい量かです。小さい方にそろえると、実際との差は増えた分になります。大きい方にそろえると、実際との差は減った分になります。どちらを選んでも、求まるのは仮にそろえた種類から替えた方の個数です。割り算をしたあと、何の枚数が出たかを式の横に書くと取り違えにくくなります。

間違いを直す：何本ずつの集まりか

基本例題で、増えた10本を見つけたあと、10 ÷ 34とする誤りを考えます。34本は実際の足の総数で、かめ1匹に替えたときの増え方ではありません。この式では10本をどんな同じ大きさに分けたいのかが説明できません。

図3のように、10本は2本ずつのまとまりが5つ集まったものです。つるをかめに替える1回につき、足が2本増えます。したがって、10 ÷ 2 = 5（匹）と直します。34本は差を出す前に使い、割る数には1匹あたりの差を使います。

もう一つの間違いは、10 ÷ 2 = 5をつるの匹数とすることです。全部つるから出発したので、増えた分を作ったのはかめです。5匹をかめとして残りを求め、足の合計まで戻せば区別できます。

計算が割り切れないときは、あわてて小数の匹数を答えにしません。たとえば12匹で足が35本という条件なら、全部つるの24本との差は11本です。1匹の入れ替えで増えるのは2本なので、11本にはできません。足が2本と4本で匹数が整数という条件では、条件に合う組はありません。問題の数字の写し間違いがないか確かめたうえで、合う組がないことを説明します。

また、12匹で足が50本なら、全部かめでも48本です。実際の合計が取りうる範囲を超えています。差を割る前に、全部つるの24本から全部かめの48本までの範囲に入るかを調べると、条件の食い違いに気づけます。範囲内でも、先ほどの35本のように2本刻みに合わなければ成立しないため、両方の確認が必要です。

答えの形も確かめる

差を割って出た数が整数でも、そこで終わりではありません。替えた数が全体の個数を超えていれば、残りを実際の個数として表せないからです。まず0個から全体の個数までに入るかを見て、次に残りを求めます。0個や全体と同じ個数も、問題が両方の種類を必ず含むと定めていなければ候補です。

たとえば全部を小さい方にそろえた合計と実際の合計が同じなら、増えた分は0です。1個あたりの差が0でなければ、替えた個数は0個になります。表では最初の行に当たり、図では上に加える帯がありません。条件の文に種類ごとの個数について別の制約がないかも確かめます。

練習問題

どの問題も、まず何にそろえるかを決めてから、1個を替えたときの差を考えましょう。答えはそれぞれ整数で、求められた単位を付けます。

1. 1台に車輪が2個ある自転車と、1台に車輪が3個ある三輪車が合わせて18台あります。車輪は全部で43個です。それぞれ何台ですか。
2. 1箱に6個入る箱と1箱に9個入る箱が合わせて14箱あり、中身は全部で108個です。それぞれ何箱ですか。
3. 1枚に4点書かれた券と1枚に10点書かれた券が合わせて11枚あり、点数の合計は74点です。それぞれ何枚ですか。
4. 1袋に5個入る袋と1袋に8個入る袋が合わせて10袋あり、中身の合計は64個と書かれています。この条件に合う整数の袋数があるか答え、理由を説明しましょう。

練習の答えと道筋

1. 全部を自転車にすると18 × 2 = 36（個）です。実際との差は43 − 36 = 7（個）です。三輪車に1台替えると3 − 2 = 1（個）増えますから、7 ÷ 1 = 7（台）が三輪車です。自転車は18 − 7 = 11（台）です。11 + 7 = 18（台）、11 × 2 + 7 × 3 = 22 + 21 = 43（個）で確かめます。

2. 全部を6個入りにすると14 × 6 = 84（個）です。108 − 84 = 24（個）増えています。1箱を9個入りに替えると9 − 6 = 3（個）増えるので、24 ÷ 3 = 8（箱）が9個入りです。6個入りは14 − 8 = 6（箱）です。6 + 8 = 14（箱）、6 × 6 + 8 × 9 = 36 + 72 = 108（個）で条件に戻ります。

3. 全部を10点の券にすると11 × 10 = 110（点）です。実際との差は110 − 74 = 36（点）です。4点の券に1枚替えると10 − 4 = 6（点）減るため、36 ÷ 6 = 6（枚）が4点の券です。10点の券は11 − 6 = 5（枚）です。6 + 5 = 11（枚）、6 × 4 + 5 × 10 = 24 + 50 = 74（点）です。

4. 全部を5個入りにすると10 × 5 = 50（個）です。64 − 50 = 14（個）増やす必要があります。8個入りに1袋替えると8 − 5 = 3（個）増えますが、14は3で割り切れません。4袋替えると62個、5袋替えると65個ですから、その間の64個にはなりません。条件に合う整数の袋数はありません。数字を読み直しても条件が変わらなければ、無理に袋数を作らず、3個ずつ増えることを理由に答えます。

覚えておくこと

全部を片方にそろえ、仮の合計を出します。 実際の合計との差を、1個を替えたときの差で割ります。 出た個数がどちらの種類かを確かめ、残りを求めます。 最後に個数の合計と量の合計へ戻します。

ご家庭で見守るとき

お子さまが割る数で止まったら、まず図のどこまで説明できるかを聞いてみてください。全部をつるにした足、実際との差、1匹を替えたときの増加を指させると、どの段階で数の意味があいまいになったか見えます。すぐ式を教える代わりに、「1匹替えると何本増えるかな」と一手だけ促します。

答えが出た後は、匹数と足の両方を確かめる時間を取ります。条件が合わない問題では、計算の途中で割り切れなかった理由を図や表で言葉にしてみましょう。どの数を何個分として数えたかが言えれば、つるかめ算の式は次の問題でも自分で作れます。