共通テスト数学の定積分で文字が消えない—上端の文字と積分する文字を分ける｜武蔵野個別指導塾

積分中のtと動く上端xを分け、原始関数に両端を代入する順番を、上端が負になる場合まで追えます。

定積分の中で動く文字と、積分区間の端を指定する文字は役割が違います。たとえば ∫₀ˣ 2t dt では、t について積分した後、上端に x を代入するので結果に x が残ります。x をひとまず決めて計算し、その値を変えたときの結果を式にしたものと考えると、手順を追いやすくなります。

よくあるのは、高3の秋、上端の文字まで定数にしてよいか迷い、定積分の式の前で手が止まる夜という場面です。答案には積分の公式らしい式が書けても、どの文字に上端を入れればよいかがはっきりしません。上端を決めて一回の積分を計算する見方と、上端を変えた結果をまとめる見方を順に並べてみます。

消える文字と残る文字の取り違え

たとえば F(x) = ∫₀ˣ 2t dt を考えます。t は積分区間の中を表す文字で、積分の操作を終えると結果の式から消えます。一方、x は区間の上端です。x の値を決めれば積分する範囲が決まり、別の値を選べば範囲も変わります。積分を終えた式に x が残るのは、範囲の決め方がまだ文字で表されているからです。

図1のように、t と x を同じ「計算で消す文字」と扱うと、上端の指定まで失います。原始関数は t² です。上端に x、下端に 0 を入れ、上端の値から下端の値を引くと F(x) = x² です。途中で t を x に変えるのではなく、t² という式の t に端点をそれぞれ代入します。

「上端を固定する」という言葉には注意が要ります。ある1回の計算で x = 3 と決めるなら、その計算の範囲は 0 から 3 までです。そのときの結果は 9 です。しかし、x を 3 に決めた結果を、どの x に対しても成り立つ答えとすることはできません。固定は一回の値を調べるための操作であり、最後の式から上端の情報を消す指示ではありません。

また、t の代わりに別の文字を積分中に使っても、同じ役割を保てば値は変わりません。たとえば ∫₀ˣ 2u du と書いても結果は x² です。ここで変わったのは区間内の文字の名前で、上端 x の値ではありません。記号の見た目をそろえることより、どの文字がどの操作に属するかを追うことが先です。

答案のどこから見直すか

自分の途中式を見直すときは、まず積分記号の右側にある dt を探し、その文字を含む式を囲みます。次に、積分記号の上下にある端点を別に書きます。上端の x が被積分式の t と混ざっていないか、原始関数の欄と端点の欄を分けて確認します。原始関数を作る段階では t について考え、端点を入れる段階で初めて t に x や 0 を代入します。

答えに t が残った場合は、端点を代入し終えているかを調べます。たとえば t² − 0 で止まっていれば、上端の代入がまだです。逆に答えが一定の数になった場合は、問題が上端を数で指定したのか、自分で試した数をそのまま一般の答えにしたのかを区別します。両者は異なる誤りなので、同じ消し方をしても直りません。

原始関数の計算に不安があるときは、得られた式を t で微分して元の被積分式に戻るか確かめます。端点を入れた後に値が違う場合は、上端と下端をそれぞれ独立に代入した行を書き直します。原始関数が正しくても、下端の値を引き忘れれば定積分の値は変わります。誤りの場所を特定してから戻れば、最初から計算を全部消す必要はありません。

面積として図を読む話では、グラフと軸の位置によって符号を考える必要があります。ここではその判断を広げず、与えられた定積分に端点を代入する順番に焦点を置きます。負の値が出ても、それだけで計算の失敗とは決められません。

端点を入れる順番を紙に残す

もう少し項がある式で、たとえば G(x) = ∫₁ˣ (3t² + 2) dt を計算します。区間の下端は 1、上端は x です。G は上端を指定すると定積分の値が決まる関係を表します。積分の対象は括弧の中の t であり、上端 x は原始関数を作る間、代入を待っています。

まず t について積分すると、原始関数の一つは t³ + 2t です。微分すると 3t² + 2 に戻るので、この段階を確かめられます。次に上端を入れる欄へ x³ + 2x、下端を入れる欄へ 1³ + 2 × 1 と書きます。両方を求めてから、上端の値から下端の値を引きます。下端の値は 3 なので、G(x) = x³ + 2x − 3 です。

図2のように、原始関数、上端への代入、下端への代入を別々に置くと、どこで何を入れたかが見えます。特に下端が 0 以外のときは、その値を省かずに書きます。下端の行を飛ばすと、たまたま 0 になる別の例で身についた手順をそのまま持ち込んでしまうからです。

結果を使って確かめます。x = 1 のとき、積分の上下の端は同じです。式に入れても 1 + 2 − 3 = 0 となり、区間の両端が一致する場合と合います。x = 2 のときは 8 + 4 − 3 = 9 です。直接、原始関数へ 2 と 1 を入れても 12 − 3 = 9 になります。数を入れる確認は一般式を置き換えるためではなく、作った一般式が各端点で同じ値を返すかを見るために行います。

途中で符号を間違えやすい場合は、下端全体に括弧を付けます。G(x) = (x³ + 2x) − (1³ + 2 × 1) と書けば、引く対象が下端の原始関数全体だとわかります。下端で得た値が負の場合も、この括弧を残せば引き算の符号を追えます。式を短くするのは、代入の対応が確認できてからで十分です。

文字を動かす前に1回の計算を見る

G(x) の上端を 2 に決めた計算では、t は 1 から 2 までの積分の対象です。ここで x は値を選ぶための記号であり、選んだ後の一回の計算では 2 として扱えます。そのことと、最終的な G(x) を求めるときに x を残すことは矛盾しません。1回ずつ異なる上端を選べるよう、結果を x の式として記録しているからです。

たとえば上端を 1 から少し動かした場合、式 x³ + 2x − 3 の値も変わります。x = 1 では 0、x = 2 では 9 です。この2つの値を並べて、上端の選択と積分値を矢印で結ぶと、x と G(x) の担当が見えます。x は入力する端点、G(x) はその端点に対応する計算結果です。両者を同じものとみなして x をそのまま答えにする必要はありません。

積分中の文字にも同じ数を一時的に代入して、被積分式の値を調べることはできます。ただし、その値は区間全体の定積分を計算したことにはなりません。3t² + 2 の t に 2 を入れて得る 14 は、その位置での式の値です。上端を 2 にした定積分の値 9 とは、計算する対象が違います。端点での被積分式の値と、両端の原始関数の差を、途中式の別の行に書くと混同を防げます。

間違えた行を小さく切り出す

計算が合わないときは、最初に正解の式を見て写すより、どの行で役割が入れ替わったかを調べます。原始関数まで正しいなら、そこは残し、端点を入れた行からやり直します。微分して元に戻らないなら、端点より前の積分の段階を直します。直した後は、同じ端点の場合と、具体的な上端の場合を別々に試します。

たとえば G(x) を x³ + 2x とした答案は、原始関数への上端代入まではできています。しかし下端 1 に代入した 3 が引かれていません。x = 1 を入れると 3 になり、上下の端が一致する定積分が 0 になることと合いません。したがって、最初に見るべきなのは上端の文字が残ったことではなく、下端の代入欄です。式全体を消して積分公式からやり直す前に、差の後半があるか確かめます。

一方、G(x) を t³ + 2t − 3 とした答案では、下端の処理が書かれていても上端の処理が終わっていません。t を積分の外へ持ち出したままなので、上端の欄へ x を入れます。結果だけを見て「文字が残っているから誤り」と判断すると、必要な x まで消してしまいます。残った文字の種類を、元の式の役割と照らすことが必要です。

紙の上で色を使えないときは、原始関数に四角、上端に丸、下端に三角を付けても区別できます。印の種類は好きに決めて構いませんが、同じ答案の中では対応を変えないようにします。原始関数の四角の中に丸の値を入れた行と、三角の値を入れた行を並べ、最後に前者から後者を引きます。計算後に印を見返すと、下端を足したのか引いたのかも追跡できます。

この手順は、解き直すときの記録にも使えます。最初の答案に「上端代入前」「下端の引き忘れ」など、実際に起きたことを短く添えます。次に同じ答案を見たとき、単に「積分ミス」と書くより、どの行を確認すべきかわかります。うまく計算できた場合にも上下の端を入れた行を残せば、後から答えを確かめる材料になります。

上端に文字があると、積分中もその文字を動かしながら同時に計算するように感じるかもしれません。実際には、ある端点を選んだ計算を文字のまま表し、代入によってまとめています。上端に数を入れる確認と、一般の式の導出を分けることで、どちらの段階で何を固定したかを説明できます。

上端が下端を下回るとき

上端 x は下端 1 より大きい場合に限りません。問題に別の条件がなければ、多項式のこの例では x = 0 も考えられます。G(0) = -3 で、積分の向きは 1 から 0 です。順序を逆にした ∫₀¹ (3t² + 2) dt は 3 なので、端点を入れ替えた値はその反対の -3 になります。

図3のように、同じ2点を結んでも積分の順序が逆なら符号が変わります。下端と上端は「小さい数」「大きい数」という名前ではなく、積分記号に書かれた始点と終点です。上端が負のときも、原始関数の t にその負の値を括弧付きで入れ、最後に下端の値を引きます。負の数を入れたことと、下端の値を引くことを別の操作として扱います。

端点が同じなら、その点の原始関数から同じ値を引くため 0 です。上端が下端より小さくても代入の順番は変えません。この2つの境界を確かめると、数直線の向きに引きずられて勝手に端点を並べ替える誤りに気づけます。

確かめの問題

たとえば H(a) = ∫₂ᵃ (4s + 1) ds とします。積分する文字と上端を区別し、H(a) を求めてください。また a = -1 のときの値を求め、その符号を端点の向きからも点検してください。

解答は H(a) = 2a² + a − 10、H(-1) = -9 です。s についての原始関数の一つは 2s² + s です。上端では 2a² + a、下端では 2 × 2² + 2 = 10 となるので、後者を前者から引きます。a = -1 を入れると 2 − 1 − 10 = -9 です。端点を逆にした -1 から 2 への積分は 9 なので、元の向きの値は -9 と一致します。なお、この被積分式は区間内で符号が変わる部分もあるため、向きだけで値が必ず負になると判断するのではなく、逆向きの値を計算して照合します。

答えに s が残った人は、原始関数の s に両端を入れるところへ戻ります。定数項が合わない人は、下端 2 を入れた値全体を引いたかを見ます。負の値の代入で間違えた人は、a の位置に (-1) を書いてから累乗と加減を行います。値が正になった場合も、端点を勝手に並べ替えていないか、計算の行で確認できます。

式を持って尋ねる

教科書で調べるなら、定積分を原始関数の両端の値の差で表す箇所を開きます。自分の答案の積分記号、原始関数、両端を入れた行を並べ、「この文字に上端を入れるのはどの段階か」と尋ねると、疑問の位置が伝わります。上端を一回固定する説明と、文字を残した関係式が矛盾して見える場合も、具体的な値を1つ入れた計算と一般式を持って比べてください。

お子さまが途中で手を止めたときは、答えの数値だけでなく、どの記号を積分の対象と読んだかを聞くと手がかりになります。端点を示す文字と区間内の文字に別々の印を付け、どちらに値を入れるのか本人の言葉で説明できるかを見ます。

個別指導で確認する場面では、解いた紙と教科書の端点代入の例を並べます。原始関数を微分して戻るか、下端の欄を引けているか、上端を変えたときの値が式と合うかを順に見れば、計算の誤りと役割の混同を分けられます。

積分する文字は端点の代入で役目を終え、可変の上端は結果を指定する文字として残ります。両端の値を別々に出してから差を取れば、同じ端点や逆向きの区間にも同じ手順で対応できます。