体積の公式一覧—角柱・円柱・角錐・円錐・球と単位の換算｜武蔵野個別指導塾

錐がなぜ柱の 3 分の 1 なのかは、立方体を同じ形の四角錐 3 個に切れば目で確かめられます。5 つの立体の式と 1 L = 1000 cm³ の換算を手に入れて、ペットボトルの水の量を定規だけで計算してみましょう。

単位は 1 cm³ = 1 mL、1000 cm³ = 1 L です。h は底面に垂直に測った長さで、斜めの長さではありません。

よくあるのは、夏休みの自由研究で、水の入ったペットボトルを机に置き、定規を当てている場面です。ラベルには 500 mL と書いてあるのに、ノートにあるのは底の直径と水面までの高さだけで、cm の数字から mL へどう渡ればいいのかが見えません。太さをそのまま式に入れてよいのかも怪しくなって、検索窓に「体積 公式」と打ちます。その机に要るのは、上の表と、cm³ と mL をつなぐ一行です。

公式の一覧

図1は、上の段に柱、下の段に錐を置き、右に球を添えたものです。同じ列の柱と錐は、底面積と高さが同じなら、矢印を下りると公式に 3 分の 1 が付きます。変わるのはそこだけです。5 本の式に見えても、頭に入れるのは「底面積 × 高さ」「錐は 3 分の 1」「球の式」の 3 つで足ります。

角柱の S は、底面の形によって計算が変わります。体積の前に底面積を出す、という順番を崩さないために、形ごとに並べます。

小5 で習う「たて × よこ × 高さ」は、底面が長方形の四角柱に角柱の公式を当てたものです。立方体はその中でも 3 辺が等しい場合にあたります。小学校で円柱を計算するときは π の代わりに 3.14 を使い、中学からは π の文字のまま残します。

体積の単位は、液体の量を表す単位と次のようにつながっています。料理で見る 1 cc も、1 cm³ と同じ大きさです。

容積は、入れ物の内側いっぱいに入る量のことです。式は体積と同じですが、長さは入れ物の内側で測ります。この内側の長さを内のりと呼び、板の厚さの分だけ外側の寸法より短くなります。ペットボトルに入っている水の体積と、ペットボトルの容積は別の量で、水面より上の空気の分だけ容積のほうが大きくなります。

なぜこの形になるのか

柱の式は、板を積む絵で説明がつきます。底面積が S cm² で厚さ 1 cm の板を作ると、その体積は S cm³ です。これを高さ h cm まで積めば柱になるので、体積は S × h です。底面が三角形でも円でも、板の形が変わるだけで理屈は動きません。

錐の 3 分の 1 は、立方体を切ると目で確かめられます。図2のように立方体の頂点を 1 つ選び（赤い点）、その頂点を含まない 3 つの面をそれぞれ底面にして四角錐を作ります。どの四角錐も、底面は 1 辺 a の正方形、高さ（赤い線）は a です。回して重ねるとぴったり同じ形で、3 つ合わせると隙間なく立方体に戻ります。立方体の体積が a³ ですから、1 つ分は a³ ÷ 3、つまり (1/3) × 底面積 a² × 高さ a です。

これは立方体から切り出した特別な四角錐の話です。底面が別の形でも 3 分の 1 になる理由は、錐を底面に平行な薄い層に切ると見えてきます。高さを n 等分すると、頂点から k 番目の層の切り口は底面と相似で、面積は S × (k/n)² です。層の厚さは h/n なので、全部足すと S × h × (1² + 2² + … + n²) ÷ n³ になります。この最後の部分の値は n = 10 で 0.385、n = 100 で 0.33835、n = 1000 で 0.3338335 と、3 分の 1 へ近づきます。底面の形はこの計算のどこにも出てきません。切り口が相似に縮むことしか使っていないので、四角形でも円でも答えは同じです。この足し算を限りなく細かくしたものが定積分で、立体の体積を定積分で求める方法は数学Ⅲで習います。

自由研究なら手で確かめられます。厚紙で円錐を作り、同じ底面、同じ高さの円柱の入れ物へ中身を移すと、3 杯でほぼいっぱいになります。紙が水を吸うなら乾いた米でかまいません。ぴったり合わないときは、紙の重なりや高さの測り方に原因があります。

球の式は、円柱と円錐から作れます。三平方の定理を習った後なら追える説明です。半径 r の半球を、中心から高さ t のところで水平に切ると、切り口は半径の 2 乗が r² − t² の円なので、面積は π(r² − t²) です。一方、半径 r、高さ r の円柱を用意して、同じ底面と高さの円錐を、頂点を下に向けてくり抜きます。この立体を同じ高さで切ると、切り口の面積は πr² − πt² で、半球と等しくなります。どの高さでも切り口の面積が等しい 2 つの立体は体積も等しいので（カヴァリエリの原理）、半球の体積は πr³ − (1/3)πr³ = (2/3)πr³ です。2 倍すれば (4/3)πr³ になります。

半径 r の球がすっぽり入る円柱（半径 r、高さ 2r）の体積は 2πr³ です。同じ底面と高さの円錐は (2/3)πr³ なので、円錐 : 球 : 円柱 = 1 : 2 : 3 という比になります。このうち球と円柱の 2 : 3 は、アルキメデスが自分の墓に刻むよう望んだと伝えられる関係です。

最後に単位です。図3のように、1 辺 10 cm の立方体の 1 段には 1 辺 1 cm の立方体が 10 × 10 = 100 個並び、それが 10 段で 1000 個入ります。L はこの 1 辺 10 cm の立方体の体積に付いた名前で、その 1000 分の 1 が mL です。だから 1 mL はちょうど 1 cm³ で、cm³ の数字はそのまま mL の数字として読めます。

例題で使い方を確かめる

4 問とも、底面を決める、高さを決める、単位をそろえる、の順で進めます。式に数字を入れるのはその後です。

例題1 三角柱

底面が底辺 6 cm、高さ 4 cm の三角形で、柱の高さが 10 cm の三角柱の体積を求めてください。

1. 底面積を出します。6 × 4 ÷ 2 = 12 なので 12 cm² です。公式の S に入るのは面積で、長さのままでは入りません。
2. 柱の高さをかけます。12 × 10 = 120 です。この問題には「高さ」が 2 つあるので、三角形の高さ 4 cm を先に使い切り、柱の高さ 10 cm を後で使うと混ざりません。

答え: 120 cm³

例題2 円錐と球

半径 3 cm、高さ 8 cm の円錐と、半径 3 cm の球の体積を、それぞれ π を使って求めてください。

1. 円錐の底面積を出します。π × 3² = 9π なので 9π cm² です。柱と同じ入り口から始めると、錐の公式を別物として覚えずに済みます。
2. 高さをかけて 3 で割ります。9π × 8 ÷ 3 = 24π です。9 と 3 を先に約分すると、大きな数の割り算をしなくて済みます。
3. 球の式に半径を入れます。(4/3) × π × 3³ = (4/3) × 27π = 36π です。球では r を 3 回かけるので、3² ではなく 3³ = 27 を使います。

答え: 円錐は 24π cm³、球は 36π cm³

例題3 箱の容積

厚さ 1 cm の板で作った、ふたのない直方体の箱があります。外側の寸法は、たて 12 cm、よこ 22 cm、高さ 11 cm です。この箱の容積は何 L ですか。

1. たてとよこの内のりを出します。12 − 2 = 10 cm、22 − 2 = 20 cm です。板は両側にあるので 2 枚分を引きます。
2. 深さを出します。11 − 1 = 10 cm です。ふたが無いので、高さから引く板は底の 1 枚だけです。
3. 容積を計算します。10 × 20 × 10 = 2000 cm³ です。水が入るのは内側だけなので、外側の寸法はもう使いません。
4. 単位を直します。1000 cm³ = 1 L なので、2000 ÷ 1000 = 2 L です。問いが L を求めているので、cm³ で止めないようにします。

答え: 2 L

例題4 ペットボトルの形をした模型

図4は、ペットボトルを単純にした模型です。下は半径 3 cm、高さ 15 cm の円柱です。その上の肩の部分は、半径 3 cm、高さ 6 cm の円錐から、先端の高さ 2 cm の小さな円錐（切り口の半径 1 cm）を切り落とした形です。模型全体の体積は約何 mL ですか。小数第 1 位を四捨五入して答えてください。

1. 立体を分けます。円柱、大きな円錐、小さな円錐の 3 つです。肩の形の公式を覚えていなくても、知っている立体の足し引きに直せば計算できます。
2. 円柱を計算します。π × 3² × 15 = 135π です。全体の大部分を占めるここを先に出しておくと、答えの見当がつきます。
3. 大きな円錐を計算します。(1/3) × π × 3² × 6 = 18π です。切り落とす前の形で考えると、底面も高さも読み取りやすくなります。
4. 小さな円錐を計算します。(1/3) × π × 1² × 2 = (2/3)π です。模型に無い部分なので、次の手順で引きます。
5. まとめます。135π + 18π − (2/3)π = (457/3)π で、ここで初めて電卓を使うと 478.56… です。π のまま足し引きしておくと、途中で丸めたずれが積もりません。
6. 単位を読み替えます。1 cm³ = 1 mL なので、小数第 1 位を四捨五入して 479 mL です。cm³ の数字がそのまま mL の数字になるので、換算の計算は要りません。

答え: 約 479 mL

実物のペットボトルにはくびれや底の凹凸があり、首の部分も残っています。ラベルの 500 mL に届かないのは計算の失敗とは限らず、模型から省いた部分がどこかを考えるところから、自由研究の本題が始まります。計量カップで実際に測った値を横に書くと、差の大きさも見えてきます。

まちがえやすいところ

直径をそのまま r に入れる

誤った書き方: 直径 6 cm、高さ 10 cm の円柱を、π × 6² × 10 = 360π cm³ とする。

どこが違うか: 公式の r は半径です。定規で測りやすいのは直径なので、測った数字をそのまま入れてしまいます。半径の 2 倍の長さを 2 乗すると底面積は 4 倍になり、答えも 4 倍ずれます。

正しい書き方: 半径は 3 cm なので、π × 3² × 10 = 90π cm³ です。

円錐の高さに母線を使う

誤った書き方: 底面の半径 5 cm、母線 13 cm の円錐を、(1/3) × π × 5² × 13 = (325/3)π cm³ とする。

どこが違うか: 母線は頂点から底面の円周までの斜めの長さです。公式の h は頂点から底面へ垂直に下ろした長さなので、母線より必ず短くなります。

正しい書き方: 三平方の定理で高さを出すと、√(13² − 5²) = √144 = 12 cm です。体積は (1/3) × π × 5² × 12 = 100π cm³ です。

1 m³ を 100 cm³ と思い込む

誤った書き方: 1 m = 100 cm だから、1 m³ = 100 cm³ とする。

どこが違うか: 体積は長さを 3 回かけた量なので、長さの換算も 3 回効きます。たて、よこ、高さのそれぞれが 100 倍になるので、100 を 3 回かけます。1000 倍とする誤りも、L との換算と混ざって起こります。

正しい書き方: 1 m³ = 100 × 100 × 100 = 1,000,000 cm³ です。1000 cm³ が 1 L ですから、1 m³ は 1000 L です。

覚え方と忘れたときの戻り方

丸暗記が要るのは球だけです。それ以外は「底面積 × 高さ」から始めて、先がとがっていれば 3 で割る、と考えれば組み立て直せます。円の底面積を忘れたときは、1 辺 r の正方形がおよそ 3 個分という見当に戻ると、πr² の形が出てきます。

球は、すっぽり入る円柱に戻ります。半径 r、高さ 2r の円柱は 2πr³ で、球はその 3 分の 2 ですから、2πr³ × 2/3 = (4/3)πr³ です。よく使われる語呂には「身の上に心配あーるの参上」があり、身（3）の上に心配（4π）、あーる（r）の参上（3 乗）と読みます。語呂が途中で切れても、円柱に戻れば式は復元できます。

式の見張りには、長さが何回かかっているかを数える方法が効きます。πr²h は r、r、h で 3 回、(4/3)πr³ も 3 回で、体積は必ず長さ 3 回です。4πr² のように 2 回しかかかっていない式は面積で、球の表面積と取り違えたらここで気づけます。単位の換算を忘れたときは、1 辺 10 cm の立方体を紙に描いて 10 × 10 × 10 を計算すれば、1 L = 1000 cm³ にその場で戻れます。

練習問題

練習 1　底面が 1 辺 6 cm の正方形で、高さが 7 cm の四角錐の体積を求めてください。

練習 2　内のりがたて 25 cm、よこ 40 cm の水そうに、水を 6 L 入れました。水面の高さは何 cm ですか。

練習 3　半径 6 cm の球を半分に切った半球の平らな面に、底面の半径 6 cm、高さ 10 cm の円錐を貼り合わせた立体があります。体積を π を使って求めてください。

答えと解説

練習 1 の答えは 84 cm³ です。底面積は 6 × 6 = 36 cm² で、柱なら 36 × 7 = 252 cm³ です。錐なので 3 で割って 252 ÷ 3 = 84 cm³ になります。

練習 2 の答えは 6 cm です。単位を cm にそろえるために、6 L を 6000 cm³ に直します。底面積は 25 × 40 = 1000 cm² です。体積 = 底面積 × 高さ の逆算で、6000 ÷ 1000 = 6 cm です。

練習 3 の答えは 264π cm³ です。半球は球の半分なので、(4/3) × π × 6³ ÷ 2 = (4/3) × 216π ÷ 2 = 144π です。円錐は (1/3) × π × 6² × 10 = 120π です。足して 144π + 120π = 264π cm³ です。貼り合わせた面は内側に隠れるだけなので、体積の計算には影響しません。表面積を問われたら、この面を引く必要が出てきます。

次に確かめる公式

三平方の定理は、母線と半径から円錐の高さを出すときに使います。球の表面積の公式 4πr² は、ボールに色を塗る量のように、中身ではなく外側の広さを問われたときに使います。相似な立体の体積比は、形が同じで大きさだけが違う立体を比べるときに使い、相似比が a : b なら体積比は a³ : b³ です。例題4の 2 つの円錐は相似比 1 : 3 で、体積は (2/3)π と 18π、確かに 1 : 27 です。

個別指導で体積につまずいたお子さまを見るときは、三角形と円の面積を自力で出せるかまで戻って確かめます。そのうえで、1 L がどんな大きさかを立方体の絵で説明してもらいます。

まとめ

紙で作った円錐の 3 杯目で円柱の入れ物が満ちるのを一度見ておくと、3 分の 1 は暗記の数字ではなくなります。測れる長さを 3 回かけるだけで、触れない中身の量が数字に変わります。ラベルの 500 mL も、書いてあるから信じる数字ではなく、自分で確かめられる数字です。定規しか持っていなくても、ペットボトルの中の水は測れます。