【中学受験算数】点の移動と図形の移動を図解で総まとめ—面積の変化 グラフ 回転移動 転がる円｜武蔵野個別指導塾

動く点の高さと面積グラフを結び、長方形の平行移動、回転する頂点、転がる円の道のりを4つの例題で確かめます。角に着く時刻や円周の使いどころを、家庭でも図から説明できるように整理しました。

よくあるのは、職員室前の廊下の長椅子で算数のノートを開き、「点はずっと同じ速さなのに、どうして面積のグラフは途中で横向きになるのですか」と手が止まる場面です。動いた道のりを正しく求めても、それをそのまま三角形の高さにすると、面積が合わなくなることがあります。点の位置と、面積を決める長さとが、まだ結びついていないのです。

動くものが出てくる問題は、頭の中で最後まで動かし続ける必要はありません。角に着いたとき、回転が終わったときなど、意味のあるところで止めて図をかきます。その図から長さを読み取れば、使う計算は速さ、三角形の面積、円周など、すでに学んだものにつながります。

ここでは、点の移動による面積の変化から、図形の平行移動と回転移動、円が転がる道のりまでを扱います。保護者の方も、まず「今、点はどこにあるかな」とお子さまと確かめてみてください。式を選ぶ前に位置を確かめる習慣が、動く図形を読み解く出発点になります。

この単元で身につけること

• 出発点、進む向き、速さ、終点を読み取ります。同じ長方形でも、どの辺から動くかによって面積の変わり方は変わります。
• 動いた道のりと、面積に使う高さを区別します。底辺を決め、その直線まで垂直にはかった長さを高さとして見ます。
• 角に着く時刻を求め、時間を区切ります。動く辺が変わるときに、面積の増え方や減り方が変わるかを調べます。
• 時間と面積を表やグラフで結びます。横向きの線が表すのは面積が変わらないことであり、点が止まったこととは限りません。
• 平行移動、回転移動、円が転がる動きを区別します。重なりの長さ、回転の中心からの距離、円周のどれに注目するかを選びます。

前に学んだ三角形と長方形の面積、道のり・速さ・時間の関係、円周とおうぎ形が土台になります。全部を一度に使うのではなく、止めた図に必要な知識を一つずつ当てはめます。単位も手がかりです。時刻は秒、道のりは cm、面積は cm² と書き分ければ、何を求めている途中なのかを見失いにくくなります。

基本の考え方

動く点を止め、底辺と高さを選びます

長方形ABCDの頂点を、左下から順にA、B、C、Dとします。ABは横の辺、BCは右側の縦の辺です。ABが12 cm、BCが8 cmで、点Pが長方形の辺の上をAからB、C、Dの順に動くとき、三角形ABPの面積を考えます。AとBは固定され、Pだけが動きます。

図1のように、Pが辺BCの途中にあるところで止めると、底辺ABに対する高さはBPです。ABとBCは垂直なので、三角形の面積は12 × BP ÷ 2で求められます。図ではBPが4 cmですから、12 × 4 ÷ 2 = 24 cm²です。斜めの辺APの長さを調べる必要はありません。

PがAからBへ動いている間は、A、B、Pが同じ直線上に並びます。三角形に広がりがないので、面積は0 cm²として扱います。Pがたくさん動いていても、底辺ABから離れていなければ面積は増えません。ここが、道のりと高さを区別する最初の場面です。

PがBからCへ進む間は、底辺ABから離れていきます。高さが増えるので、面積も増えます。一方、PがCからDへ進む間は、ABと平行な辺の上を動きます。高さはずっと8 cmのままです。三角形の見た目は変わっても、底辺12 cmと高さ8 cmが同じなので、面積は48 cm²のままになります。

定規を横に置き、その上方で消しゴムの角を横へ動かすと、この違いを確かめられます。定規を底辺と考え、角から定規までの垂直な距離に注目します。「斜めに結んだ線が長くなったから面積も増える」と考えたときも、底辺と高さの2つへ視線を戻せます。

角に着く時刻がグラフの区切りになります

点が一定の速さで動くなら、道のりは速さ × 時間で求められます。ただし、出発からの時間を使うのか、ある角を曲がってからの時間を使うのかを区別します。右の辺BCにいる点の高さを求めたいときには、AからBまでに使った時間を取り除く必要があります。

まずは辺の長さ ÷ 速さで、それぞれの辺を進むのにかかる時間を求めます。その時間を順に足すと、B、C、Dに到着する時刻がわかります。「BCを進むのに4秒かかる」と「出発から4秒後にCに着く」は同じ意味ではありません。時刻を整理するときは、必ず出発を0秒とする位置を決めます。

時間と面積のグラフでは、横の軸に出発からの時間、縦の軸に面積をとります。まず角に着く時刻の面積を求め、その点を置きます。その間に高さが同じ割合で増えるなら、面積も同じ割合で増えるので、グラフは直線で結べます。高さが一定なら横向きの直線になります。

ただし、動く点が出てくる問題をすべて直線で結べるわけではありません。底辺と高さの両方が同時に変わる場合は、同じ時間ごとの面積の増え方がそろわないこともあります。まずは固定された底辺と、まっすぐな辺を一定の速さで動く1点という条件を確かめます。グラフの形は、点の動きから理由を説明できるようにします。

図形全体が動くときは、動きの種類を読みます

平行移動は、図形の向きを変えず、全体を同じ向きへ同じ長さだけずらす動きです。机の上でカードを右へ滑らせる様子が近いでしょう。長方形を右へずらして元の長方形との重なりを調べるなら、横の重なりは短くなりますが、縦の重なりは変わりません。

回転移動は、ある点を中心として図形の向きを変える動きです。中心からの距離が変わらないので、動く頂点は円の一部を通ります。その頂点の通った線の長さを求めるときは、中心から頂点までの距離を半径として使います。回転前と回転後の位置を直線で結んだ長さとは区別します。

円がまっすぐな地面を滑らずに転がるときは、円周が地面に順番に接します。1回転で進む道のりは円周1つ分です。地面に沿って進む道のりと、円のふちにつけた印が空中を通る線の長さは別の量なので、問題文で何の長さを聞かれているかを確かめます。以下では円周率を3.14として計算します。

例題で解き方を確かめる

例題1　辺を動く点と三角形の面積

長方形ABCDはABが12 cm、BCが8 cmです。点PはAを出発し、A、B、C、Dの順に辺の上を毎秒2 cmで動き、Dで止まります。出発から8秒後の三角形ABPの面積を求めましょう。また、面積が初めて48 cm²になるのは何秒後かを求め、Dで止まるまでの面積グラフを考えましょう。

1. 角に着く時刻を求めます。ABを進む時間は12 ÷ 2 = 6秒、BCは8 ÷ 2 = 4秒、CDは12 ÷ 2 = 6秒です。したがって、Bには6秒後、Cには6 + 4 = 10秒後、Dには10 + 6 = 16秒後に着きます。先に時刻を求めるのは、8秒後のPがどの辺にいるかを判断するためです。
2. 8秒後の高さを求めます。8秒後はBを曲がってから8 − 6 = 2秒たっています。BPは2 × 2 = 4 cmです。Aから動いた道のり16 cmのうち、最初の12 cmは横に進んだ分なので、高さには含めません。
3. 面積を求めます。底辺ABは12 cm、高さBPは4 cmなので、12 × 4 ÷ 2 = 24 cm²です。面積が48 cm²になるには、高さが48 × 2 ÷ 12 = 8 cm必要です。初めてその高さに達するのはCに着く10秒後です。
4. グラフに必要な値を並べます。0秒、6秒、10秒、16秒の面積は順に0 cm²、0 cm²、48 cm²、48 cm²です。BC上では高さが毎秒2 cm増え、面積は毎秒12 × 2 ÷ 2 = 12 cm²ずつ増えるため、6秒と10秒の点を直線で結びます。

答え：8秒後の面積は24 cm²、初めて48 cm²になるのは10秒後です。

図2のように、最初は面積0 cm²の横向きの線、次は右上がりの線、最後は面積48 cm²の横向きの線になります。赤い点は8秒後の面積を表します。10秒後から16秒後まで点Pは動いていますが、高さが変わらないため、グラフは横向きです。

ここで「面積が48 cm²になるのはいつですか」という問いなら、10秒後だけでは答えが足りません。動いている範囲では10秒後から16秒後までずっと48 cm²です。今回は「初めて」とあるので10秒後を答えます。また、16秒後にDで止まったあとまで考えるなら、その後も面積は変わりません。グラフをかく範囲と、問いの言葉を合わせて読みます。

例題2　長方形を平行移動したときの重なり

横10 cm、縦6 cmの同じ長方形が、はじめ完全に重なっています。一方を固定し、もう一方を向きを変えずに右へ毎秒2 cmで動かします。3秒後の重なった部分の面積と、重なった部分の面積が初めて0 cm²になる時刻を求めましょう。

1. 動いた長さを求めます。3秒後までの道のりは2 × 3 = 6 cmです。右へ動かした長方形の左の辺も右へ6 cmずれるので、固定した長方形の左端から6 cmの位置に来ます。
2. 重なりの横の長さを求めます。元の横10 cmから、重ならなくなった6 cmを引き、10 − 6 = 4 cmです。右へずらしているだけなので、縦の重なりは6 cmのままです。
3. 重なりの面積を求めます。重なった部分も長方形なので、4 × 6 = 24 cm²です。元の長方形の面積から、左側の重ならない長方形の面積を引くなら、10 × 6 − 6 × 6 = 24 cm²となり、答えが一致します。
4. 重なりがなくなる時刻を求めます。動いた長さが横幅の10 cmに達すると、2つの長方形は辺だけで接し、重なりの面積は0 cm²になります。必要な時間は10 ÷ 2 = 5秒です。

答え：3秒後の重なりの面積は24 cm²、初めて0 cm²になるのは5秒後です。

この例でグラフをかくと、0秒の60 cm²から5秒の0 cm²まで、直線で減ります。毎秒、横2 cm、縦6 cmの部分が重なりから外れるため、面積が毎秒12 cm²ずつ減るからです。5秒を過ぎても右へ進み続けるなら、重なりの面積は0 cm²のままです。重なりがないところまで引き算を続けず、図で状況が変わったことを確かめます。

例題3　回転する頂点が通った線の長さ

長方形OABCは、OAが6 cm、ABが4 cmです。頂点Oを固定し、長方形全体を反時計回りに90°回転させます。頂点Aが通った線の長さを求めましょう。図3では、回転前のAと回転後のA′を結ぶ弧に注目します。

1. 動かない点を見つけます。Oが回転の中心です。OからAまでの距離は、回転しても6 cmのままです。したがって、Aが通る線は半径6 cmの円の一部になります。
2. 円周のどれだけを通るかを調べます。1回転は360°なので、90°は90 ÷ 360 = 1/4回転です。図形の辺ABが4 cmであることは、Aの通る円の半径には関係しません。
3. 円周の1/4を求めます。円周は6 × 2 × 3.14 = 37.68 cmです。その1/4なので、37.68 ÷ 4 = 9.42 cmです。回転した角度の分だけ円周を取り出します。

答え：頂点Aが通った線の長さは9.42 cmです。

図3の赤い弧がAの通った線です。回転前の長方形は紺、回転後は緑で示しています。A′は「回転後のAの位置」を表す印で、別の動く点を追加したわけではありません。OとA′を結ぶ長さも6 cmです。

同じ図形の頂点でも、中心からの距離が違えば通る線の長さは違います。頂点Bについて聞かれた場合に、OAの6 cmをそのまま使うことはできません。また、図形全体が通った部分の面積を聞かれた問題と、1つの頂点が通った線の長さを聞かれた問題は別です。求めるものに合わせ、動く点を鉛筆で丸く囲んでから計算すると整理しやすくなります。

例題4　滑らずに転がる円の道のり

半径5 cmの円が、まっすぐな地面の上を滑らずに3回転します。円の中心は何 cm進みますか。また、円の中心が157 cm進むには何回転すればよいでしょうか。

1. 1回転で進む道のりを求めます。直径は5 × 2 = 10 cmなので、円周は10 × 3.14 = 31.4 cmです。滑らずに転がるとき、1回転する間に円周1つ分が地面に接するため、この長さだけ進みます。
2. 3回転分の道のりを求めます。31.4 × 3 = 94.2 cmです。中心は地面から5 cmの高さを保って横へ進むので、地面に沿って進んだ長さと中心の進んだ長さは等しくなります。
3. 道のりから回転数を求めます。157 cmの中に円周31.4 cmがいくつ分あるかを考え、157 ÷ 31.4 = 5回転です。答えに円周をかけて157 cmに戻ることも確かめます。

答え：3回転で中心は94.2 cm進み、157 cm進むには5回転必要です。

図4のように1回転だけを取り出すと、はじめと終わりの中心の間は円周1つ分になります。円の一番下につけた印は、1回転後に再び一番下へ戻ります。印の途中の動きは上がったり下がったりしますが、この例で求めるのは中心が横に進む道のりです。

「円が転がる」だけで、どんな問題にも円周 × 回転数を当てはめるのは避けます。まっすぐな地面の上なのか、滑らないのか、中心の道のりなのかを読みます。円が別の図形の周りを回る問題では、中心の通り道が地面に沿った直線とは異なるため、まず中心の位置を図にかくところから始めます。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　出発からの道のりをすべて高さにします

誤った書き方は、例題1の8秒後について「高さは2 × 8 = 16 cm、面積は12 × 16 ÷ 2 = 96 cm²」です。どこが違うかというと、16 cmはAからPまで辺に沿って進んだ道のりであり、底辺ABからの垂直な距離ではありません。PはAB上を12 cm進んでから上へ向かっています。

正しい書き方は「Bに着くのは12 ÷ 2 = 6秒後、高さは2 × (8 − 6) = 4 cm、面積は12 × 4 ÷ 2 = 24 cm²」です。図1のBPにあたる部分だけが高さになります。お子さまには「動いた道を全部なぞったあと、高さに使うところだけ色を変えてみよう」と伝えると、引く理由を図に戻せます。

計算結果からも点検できます。Pがこの長方形の辺の上にいる間、高さは最大でも8 cmです。高さ16 cmという結果が出たら、かけ算そのものより、どの長さを求めたかを見直します。答えの大きさを図と比べることは、計算を最初からやり直す前の確かめになります。

誤り2　グラフが横向きなら点が止まったと読みます

誤った書き方は「図2の10秒後から16秒後は点Pが停止」です。どこが違うかというと、縦の軸が表す量を取り違えています。このグラフの縦の軸は面積です。横向きの線から読み取れるのは、時間がたっても面積の値が同じだということです。

正しい書き方は「PはCからDへ動いているが、高さが8 cmのままなので面積は48 cm²で変わらない」です。まず縦の軸の単位cm²に丸をつけ、次に対応する辺CDをなぞります。時間と道のりのグラフを学んだ直後ほど、以前の読み方をそのまま当てはめることがあるため、グラフを見るたびに軸の名前を読む習慣をつけます。

0秒後から6秒後の横向きの線についても同じです。PはAからBへ動いていますが、底辺の直線から離れないため、面積が0 cm²のままです。「横向きの線が2か所ある」という見た目だけでなく、それぞれの高さが0 cmと8 cmであることまで説明できれば、図とグラフがつながっています。

誤り3　円周を求めるときに半径を直径として使います

誤った書き方は、例題4で「1回転は5 × 3.14 = 15.7 cm」です。どこが違うかというと、円周は直径 × 円周率なのに、半径の5 cmを入れています。転がる場面の前に、円周のもとになる長さを取り違えています。

正しい書き方は「直径は5 × 2 = 10 cm、1回転は10 × 3.14 = 31.4 cm」です。図4で中心から下までが5 cmであることを確かめ、円の端から反対の端までには半径が2本あると読み取ります。求める回転数が3回なら、そのあとで31.4 × 3を計算します。

回転移動でも、円周を出すまでは同じ注意が必要です。例題3は中心から頂点までが6 cmなので、直径は12 cmです。ただし90°だけ動くため、最後に円周の1/4を取ります。「円周を正しく求める段階」と「何回転分かを求める段階」を分けると、半径と直径の誤り、角度の割合の誤りを別々に直せます。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

各問で、計算を始める前に止めた図を1つかいてみましょう。点の移動では点のいる辺、平行移動では重なった部分、回転では中心と動く点、転がる円では半径に印をつけます。円周率は3.14とします。

練習1

長方形ABCDの頂点を左下から順にA、B、C、Dとし、ABは10 cm、BCは6 cmです。点PはAからB、C、Dの順に辺の上を毎秒2 cmで動き、Dで止まります。出発から7秒後の三角形ABPの面積と、動いている間に面積が30 cm²となる時間の範囲を求めましょう。

練習2

横12 cm、縦5 cmの同じ長方形が完全に重なっています。一方を固定し、もう一方を右へ毎秒3 cmで平行移動します。2秒後の重なりの面積と、重なりの面積が初めて0 cm²になる時刻を求めましょう。

練習3

ある図形を点Oを中心に60°回転させます。頂点PはOから9 cm離れています。頂点Pが通った線の長さを求めましょう。回転の途中でもOとPの距離は変わらないものとします。

練習4

直径8 cmの円が、まっすぐな地面の上を滑らずに2 と 1/2回転します。円の中心が進む道のりを求めましょう。また、中心が100.48 cm進むときの回転数を求めましょう。

答えと解説

練習1の答えは、7秒後の面積が20 cm²、30 cm²になるのは8秒後から13秒後までです。Bには10 ÷ 2 = 5秒後に着きます。7秒後の高さは2 × (7 − 5) = 4 cmなので、10 × 4 ÷ 2 = 20 cm²です。Cには5 + 6 ÷ 2 = 8秒後、Dには8 + 10 ÷ 2 = 13秒後に着きます。CD上では高さが6 cmで一定なので、面積は10 × 6 ÷ 2 = 30 cm²です。8秒後と13秒後も答えに含めます。

練習2の答えは、2秒後が30 cm²、初めて0 cm²になるのが4秒後です。動いた長さは3 × 2 = 6 cmなので、重なりの横は12 − 6 = 6 cmです。縦は5 cmのままですから、6 × 5 = 30 cm²です。横幅の12 cmだけずれたときに重なりがなくなるので、12 ÷ 3 = 4秒後です。

練習3の答えは9.42 cmです。Pの通る円の半径は9 cm、円周は9 × 2 × 3.14 = 56.52 cmです。60°は360°の1/6なので、56.52 ÷ 6 = 9.42 cmです。例題3と答えは同じですが、半径も角度も違います。答えの一致だけで判断せず、半径と円周の何分の1かをそれぞれ確かめましょう。

練習4の答えは、道のりが62.8 cm、回転数が4回転です。直径が8 cmなので、円周は8 × 3.14 = 25.12 cmです。2 と 1/2回転は2.5回転として、25.12 × 2.5 = 62.8 cmです。回転数は100.48 ÷ 25.12 = 4で求められます。直径が与えられているので、円周を求めるときにもう一度2倍しないことも確かめます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

点の移動で身につけた「変わる長さと変わらない長さを分ける」見方は、面積比や高さの等しい三角形にもつながります。角に着く時刻で区切る考え方は、途中で速さが変わる問題や、水そうの水位のグラフを読むときにも使えます。同じ横向きの線でも、何が一定なのかは縦の軸を見て判断します。

家庭での5分の確かめ方の1つ目は、紙に長方形をかき、底辺の両端を固定して、指先を残りの辺に沿って動かすことです。「面積が増える」「変わらない」を答えたあと、その理由を高さで説明してもらいます。数値を入れずに取り組むと、計算の得意不得意に隠れた理解を確かめやすくなります。

2つ目は、同じ大きさの長方形の紙を2枚重ね、片方を右へずらすことです。重なった部分の横と縦を指で示してもらい、どちらが変わったかを確かめます。少しずつ動かし、辺だけが接するときの面積が0になるところまで見ると、引き算を使える範囲にも気づけます。

個別指導で確かめる際には、グラフの読み違いなら軸と単位へ、高さの取り違えなら三角形の底辺と垂直な線へ戻ります。速さの計算だけを繰り返す前に、止めた図をかけるか、角を曲がってからの時間を言えるかまで分けて見ます。

まとめ

動く図形の問題で式が出てこないときは、答えに近そうな数字を探す前に、ある時刻の図を1枚かいてみましょう。Pのいる辺、底辺からの高さ、回転の中心などが見えると、計算する量を自分で選べます。求めた数値をその図に戻し、長さや面積として無理がないかを確かめるところまでが、解答の流れです。

図を止めることは、動きを無視することではありません。区切った場面を順につなぐことで、グラフの折れ目も、面積が変わらない時間も説明できます。面積のグラフを決めるのは点が動いた道のりではなく、その時刻の底辺と高さです。