【中学受験算数】時計算を図解で総まとめ—長針と短針の速さの差・重なる 一直線 直角｜武蔵野個別指導塾

短針も動くことを出発点に、重なる時刻・反対向きに一直線になる時刻・直角になる時刻を計算します。正確な時計の図と鏡の時計の読み方で、答えを自分で確かめられます。

よくあるのは、夕食を待つ台所で時計を見ながら、「3時20分だから、短針は3、長針は4。間の角度は30°だね」と考えたところで、短針が3から少し動いていることに気づき、手が止まるという場面です。時計の数字を読むことと、針の開きを正しく求めることは、似ていても見るところが違います。

時計算では、長針だけでなく短針も動き続けます。分の目盛りだけに目を向けると、その動きを取り落としてしまいます。ところが、1分間にそれぞれ何度進むかがわかれば、針が重なる時刻も、反対向きになる時刻も、追いつきの問題として考えられます。

ここでは、2本の針が一定の速さでなめらかに動く時計を考えます。図で最初の位置を確かめ、角度の差を時間に直す順で進めましょう。答えに分数が現れても、途中の意味を一つずつ言葉にできれば、特別な公式をたくさん覚える必要はありません。

この単元で身につけること

• 長針と短針の進み方を説明します。長針は1分に6°、短針は1分に0.5°進むので、同じ時間でも進む角度が違います。
• ある時刻の針の角度を求めます。12の方向を出発点に、それぞれが時計回りに何度の位置にあるかを調べます。
• 重なるまでの時間を求めます。最初の角度の差を、1分ごとに縮まる角度で割ると、追いつくまでの時間になります。
• 一直線と直角の条件を区別します。反対向きなら180°、直角なら小さいほうの角が90°になる位置を探します。
• 鏡に映った時計を読みます。上下の位置はそのまま、左右の位置が逆になることを、短針と長針の両方で確かめます。

これまで学んだ時刻と時間、角の大きさ、分数の計算に、速さの単元の「同じ向きに進むときは速さの差を使う」という考えをつなぎます。時計算で扱う道のりは、針の先が進む長さではなく、中心のまわりを回った角度です。針の長さが違っていても、角度を比べれば同じ土台で考えられます。

基本の考え方

文字盤の目盛りと1分間の動き

長針は分を表す長い針、短針は時を表す短い針です。どちらも時計回りに進みます。文字盤の12個の数字は、円1周を等しく12個に分けた位置にあります。1周は360°ですから、となり合う数字の間の角度は、360 ÷ 12 = 30°です。

長針は60分で1周します。そのため、1分に進む角度は、360 ÷ 60 = 6°です。文字盤の小さい分の目盛りも1周に60個あるので、長針が1目盛り進むと、角度は6°増えます。数字の3までなら15分、角度では90°というように、分と角度を行き来して確かめます。

短針は12時間で1周します。1時間ではとなりの数字まで進むので、60分で30°動きます。したがって、1分に進む角度は、30 ÷ 60 = 0.5°です。短針はちょうどの時刻だけ動くのではありません。10分たてば5°、20分たてば10°、30分たてば15°進みます。

図1のように、3時ちょうどでは短針は3の方向ですが、3時20分には3と4の間へ進んでいます。図の赤い針が長針、紺の針が短針です。右の時計で短針を3に戻して考えると、実際より大きい角度を答えてしまいます。

3時から20分間に、長針は6 × 20 = 120°、短針は0.5 × 20 = 10°進みます。短針の位置は、もともとの90°に10°を加えた100°です。図1の右側では、12から時計回りに長針が120°、短針が100°の位置にあるため、間の小さい角度は20°になります。

ここで「時刻」と「時間」を分けておきます。3時20分は時計が示す時刻、3時から3時20分までの20分は経過した時間です。角度を求めるときの「0.5 × 20」の20は、3時ちょうどからたった時間を表しています。「3時20分」全体をそのまま掛けるのではありません。

追いつく速さは1分に5.5°

長針と短針は同じ向きに動きます。1分で長針が6°、短針が0.5°進むので、長針が短針に近づく角度は、6 − 0.5 = 5.5°です。これが時計算で繰り返し使う、2本の針の速さの差です。

たとえば3時ちょうどなら、短針は長針より時計回りに90°先にいます。長針が90°進むだけでは追いつけません。その間に短針も動くためです。そこで、1分ごとに差が5.5°ずつ縮まることを使い、「最初の差 ÷ 1分に縮まる角度」で追いつく時間を求めます。

ただし、5.5°ずつ変わるものを、いつでも「2本の針の小さいほうの角」と呼ぶのは正確ではありません。追い越したあとには小さいほうの角が大きくなり、さらに進むとまた小さくなります。一定の割合で増え続けるのは、長針が短針より余分に進んだ角度です。問題を解くときは、追いつく前なのか、追い越したあとなのかを図で確かめます。

重なるときには、2本は同じ方向を向きます。反対向きに一直線になるときには、開きが180°になります。直角のときには、小さいほうの開きが90°です。「一直線」を反対向きだけの意味で使う問題もあるため、同じ向きの重なりを含むかは問題文の条件を読みます。このあと扱う例題では、反対向きであることを明記します。

3時ちょうどから長針が短針に追いつき、さらに直角になるまでなら、最初の90°に、その先の90°を加えた180°分を追いつきの速さで進みます。「直角だから90 ÷ 5.5」とすぐに計算するのではなく、今の位置からどれだけ差を変える必要があるかを数えることが先です。

角度と時間の単位をそろえる

角度を時間に直すときは、単位も添えて読みます。90°を1分に5.5°ずつ縮めるなら、90 ÷ 5.5の答えは分です。速さを1分あたりで考えているからです。秒に直したい場合は、求めた分に60を掛けます。

時計算では、答えを無理に小数にすると割り切れないことがあります。5.5は11/2と同じなので、90 ÷ 5.5 = 90 × 2 ÷ 11 = 180/11となります。180/11分は16 と 4/11分です。「16 と 4/11分後」という答えなら、正確な時間を表したままにできます。

4/11分は4/11秒ではありません。秒に直すと、4/11 × 60 = 240/11秒、つまり21 と 9/11秒です。したがって16 と 4/11分後は、16分21 と 9/11秒後とも表せます。問題で秒まで求めるように言われていなければ、分数を含む分のままで答えてかまいません。

保護者がお子さまに声をかけるなら、「長い針が1分進む間に、短い針もどれだけ進むかな」と聞いてみてください。5.5という数だけを思い出させるより、6と0.5の違いを自分で説明するほうが、何を割ればよいかまでつながります。図に矢印を書き足し、どちらも同じ向きに動くことを指でたどると、速さを足してしまう誤りも見つけやすくなります。

例題で解き方を確かめる

例題1　3時20分の針の角度

3時20分に、長針と短針が作る小さいほうの角度は何度ですか。

1. 長針の位置を求めます。12から20分進んだ位置なので、6 × 20 = 120°です。12の方向を共通の出発点にすることで、短針の位置と比べられます。
2. 短針の位置を求めます。3時ちょうどの位置が30 × 3 = 90°、そのあと20分間の動きが0.5 × 20 = 10°なので、90 + 10 = 100°です。短針が止まっていないことを、この足し算に表します。
3. 2つの位置の差を求めます。120 − 100 = 20°です。180°より小さいので、この差が求める小さいほうの角度になります。

答え：20°です。

図1の右の時計と計算を見比べましょう。短針は3と4の間にあり、長針は4を向いています。数字1つ分の30°より少し狭い角ですから、20°という答えは図の見た目とも合います。計算の前に大きさを見積もると、短針の10°を足し忘れた場合にも気づけます。

もし位置の差が180°より大きければ、反対側を通る角度のほうが小さくなります。その場合は360°から差を引きます。「大きい数から小さい数を引く」だけでは、必ず小さいほうの角が出るとは限らない点を覚えておきましょう。

例題2　3時を過ぎて初めて重なる時刻

3時を過ぎてから、長針と短針が初めて重なるのは3時何分ですか。

1. 出発時の差を求めます。3時ちょうどには長針が12、短針が3を向くので、短針が30 × 3 = 90°先にいます。重なるためには、この差をなくす必要があります。
2. 差が縮まる速さを求めます。同じ向きに進むので、6 − 0.5 = 5.5°です。短針の動きを差し引くことで、1分間に本当に近づいた角度が出ます。
3. 差を速さで割ります。90 ÷ 5.5 = 180/11 = 16 と 4/11分です。これは3時ちょうどから重なるまでの時間ですから、時刻にするときには3時を付けます。

答え：3時16 と 4/11分です。

位置を求め直して確かめることもできます。長針は、6 × 180/11 = 1080/11°の位置にあります。短針は、90 + 0.5 × 180/11 = 90 + 90/11 = 1080/11°の位置です。2本の位置が同じになったので、重なっていると確認できます。

「3時15分」としたくなるのは、長針が3の数字まで進めばよいと思うからです。しかし15分間で短針は7.5°動きます。重なる場所は3の数字を少し過ぎたところです。この短針の動きが、15分より少し遅い答えになる理由です。

例題3　反対向きに一直線になる時刻

4時を過ぎてから、長針と短針が初めて反対向きに一直線になるのは4時何分ですか。

1. 4時ちょうどの差を調べます。短針は12から30 × 4 = 120°の位置にあり、長針より120°先にいます。初めは長針が追いかける側です。
2. 目標までの角度を考えます。長針はまず120°分の差を縮めて重なり、そのあと短針より180°先に進みます。余分に進む必要のある角度は、120 + 180 = 300°です。
3. 必要な角度を速さの差で割ります。300 ÷ 5.5 = 600/11 = 54 と 6/11分です。60分より短いので、求める時刻は4時台にあります。

答え：4時54 と 6/11分です。

図2の左は4時ちょうど、右は求めた時刻です。最初に短針が120°先にいるところから、長針が追いつき、さらに180°先へ進むため、合計300°分の差の変化が必要です。図2の右では、中心をはさんで2本の針が反対側に並んでいます。

実際に12からの位置を求めると、長針は6 × 600/11 = 3600/11°、短針は120 + 0.5 × 600/11 = 1620/11°です。差は1980/11 = 180°になります。図で一直線に見えることに加え、角度の差でも条件が確かめられます。

ここで180 − 120 = 60°としてしまうと、今より2本の開きが大きくなる道筋を考えたことになります。4時ちょうどのあと、長針は短針へ近づき、最初の開きは小さくなります。まず開きがなくなり、そのあと反対向きになるという動きの順番が大切です。

例題4　直角になる時刻を区間の中で探す

2時ちょうどよりあと、3時ちょうどより前に、長針と短針が直角になる時刻をすべて求めましょう。

1. 最初の差を調べます。2時ちょうどでは短針が30 × 2 = 60°先にいます。この60°が縮んでいる間は、開きは60°以下なので直角にはなりません。
2. 重なったあとの最初の直角を考えます。60°分追いつき、さらに90°先へ進むので、必要な角度は60 + 90 = 150°です。150 ÷ 5.5 = 300/11 = 27 と 3/11分となります。
3. 反対側で作る直角も調べます。長針が短針より270°先へ進んだ位置でも、小さいほうの角は360 − 270 = 90°です。必要な角度は60 + 270 = 330°なので、330 ÷ 5.5 = 60分です。
4. 時刻の条件で選びます。60分後は3時ちょうどです。問題は3時ちょうどより前なので含めず、2時27 と 3/11分だけを残します。条件の言葉まで使って初めて答えが決まります。

答え：2時27 と 3/11分です。

直角になる位置は、短針の両側にあります。ただし、どの1時間の中にも必ず2回あるとは限りません。2つ目の候補が区間の端になることもあります。「すべて」と聞かれたら、もう片方の直角を調べたうえで、求める時間の範囲に入っているか確かめます。

つまずきやすいところと直し方

短針を時の数字に置いたままにする

誤った書き方は、「3時20分では、120 − 90 = 30°」です。どこが違うかというと、90°は3時ちょうどの短針の位置であり、3時20分の位置ではないことです。20分間に短針が動く10°を取り落としています。

正しい書き方は、「120 − (90 + 0.5 × 20) = 20°」です。括弧の中は短針の今の位置を表します。お子さまが何度も同じ間違いをするときは、短針が3から4へ進む途中の絵を描き、「20分は60分のどれだけか」と確かめます。20分は1時間の1/3なので、短針も数字1つ分の1/3だけ進みます。

短針の動きは小さいため、実物を数秒見ただけでは気づきにくいものです。長針が大きく動く間にも、短針は少しずつ進んでいるという関係を、10分、20分、30分の位置で比べると整理できます。

目標の角度をそのまま5.5で割る

誤った書き方は、「4時から反対向きになるまで、180 ÷ 5.5分」です。どこが違うかというと、180°は出来上がったときの開きであって、4時の位置から変える必要がある差の全部ではないことです。4時には、短針がすでに120°先にいます。

正しい書き方は、「(120 + 180) ÷ 5.5 = 54 と 6/11分」です。図2のように、出発時、重なるとき、反対向きになるときの順で位置を考えます。式を書く前に「追いつくまで120°、追い越してから180°」と言えれば、足す理由がはっきりします。

また、どの時刻からでも「最初の差に180°を足す」と決めるのも危険です。たとえば8時ちょうどは、短針が12から240°の位置にあります。長針が短針に対して60°分近づくだけで、残る開きが180°になります。その場合は、(240 − 180) ÷ 5.5です。出発時の位置で、先にどの状態を通るかが変わります。

鏡の時計で分だけを反転させる

誤った読み方は、「鏡で9時10分に見えるから、本当は9時50分」です。どこが違うかというと、鏡では長針だけでなく短針も左右に反転することです。10分を50分に直しても、時の位置をそのままにしては本当の時刻になりません。ここでは左右が反転して見える鏡の時計を扱い、数字の字形ではなく針の位置を読みます。

図3のように、本当の時計が2時50分なら、長針は10、短針は3の少し手前を向きます。鏡の中では長針が2、短針が9を少し過ぎた位置へ移ります。針の位置をふつうの文字盤に当てはめて読むと、鏡では9時10分に相当します。

正しい読み方は、「12時00分から9時間10分を引いて、2時50分」です。時間を引く途中では12時間00分を11時間60分と考え、11時間60分 − 9時間10分 = 2時間50分と計算します。引き算で得た長さを、12時を基準にした時刻として読み直します。

この引き算が使えるのは、12と6を結ぶ縦の線から見て、針が左右の反対側にあるためです。12から時計回りに60°の位置は、鏡では300°の位置になります。2時50分の長針の位置は300°、鏡の長針は60°です。短針も85°と275°の組になり、どちらの針も左右が対応しています。

ただし、鏡で12時ちょうどに見えたときは、本当も12時ちょうどです。引き算の結果の0時間を、文字盤では12時と読みます。また、ふつうの12時間の文字盤だけでは午前か午後かは決められません。問題文に午前・午後の条件があれば、最後にその条件に合わせます。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

次の問題は、計算を始める前に時計の簡単な図を描いて取り組みましょう。円を正確に描く必要はありませんが、12と出発時の短針の方向を置き、長針がどちら側から追いかけるかを確かめます。時刻を答える問題では、求めた分が何時からの経過時間なのかも書き添えます。

練習1

5時10分に、長針と短針が作る小さいほうの角度は何度ですか。短針が5時ちょうどから動いた分を、式に入れましょう。

練習2

8時を過ぎてから、長針と短針が初めて重なるのは8時何分ですか。重なる場所が文字盤の8より少し先になることも確かめましょう。

練習3

3時ちょうどよりあと、4時ちょうどより前に、長針と短針が直角になる時刻をすべて求めましょう。3時ちょうどと4時ちょうどは、どちらも含めません。

練習4

鏡に映った時計の針を、ふつうの文字盤に当てはめて読むと7時20分に相当しました。本当の時計は何時何分を示していますか。午前・午後は区別しません。

答えと解説

練習1の答え：95°です。長針の位置は6 × 10 = 60°、短針の位置は30 × 5 + 0.5 × 10 = 155°です。155 − 60 = 95°となり、180°より小さいので、そのまま答えになります。短針を5の数字に固定すると90°になってしまうため、5°の動きが入っているかを見直します。

練習2の答え：8時43 と 7/11分です。8時ちょうどでは短針が30 × 8 = 240°先にいるので、240 ÷ 5.5 = 480/11 = 43 と 7/11分後に追いつきます。文字盤の反対側を通れば角度は120°ですが、長針は時計回りに進むので、追いつくための最初の差は240°です。小さいほうの角と、追いつく向きに測った角度を区別します。

練習3の答え：3時32 と 8/11分です。出発時にはすでに直角ですが、3時ちょうどは答えに含めません。長針が90°分追いつき、さらに90°先へ進んだときが次の直角なので、(90 + 90) ÷ 5.5 = 360/11 = 32 と 8/11分です。その次は長針が270°先へ進んだときで、(90 + 270) ÷ 5.5 = 720/11 = 65 と 5/11分後となり、4時を過ぎます。したがって条件に入る時刻は1つです。

練習4の答え：4時40分です。12時間00分 − 7時間20分を、11時間60分 − 7時間20分として計算します。本当の時計では長針が8、短針が4と5の間です。左右を反転すると長針が4、短針が7と8の間になり、7時20分に対応します。計算の答えを2本の針で確かめられれば、引き算の覚え違いも防げます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

時計算の「1分ごとに差がどれだけ変わるか」という見方は、円形の道を同じ向きに進む旅人算につながります。また、1回重なってから次に重なるまでは、長針が短針より1周多く進みます。間隔は360 ÷ 5.5 = 720/11 = 65 と 5/11分です。同じ状態に戻るまでの時間として考えると、周期の問題ともつながります。

家庭で5分ほど確かめるなら、まず3時30分の時計を紙に描いてみましょう。短針が3と4のちょうど中間にあるかを見ます。長針の位置は180°、短針の位置は105°なので、小さいほうの角は75°です。「短針も半分進む」と言えることを目標にし、図と式を結びつけます。

もう1つは、紙に2時50分の針を描き、縦の線を境に左右反対の位置を別の円へ写す方法です。長針だけを先に写し、そのあと短針を写して、9時10分に見えるかを確認します。実際の鏡を使う場合も、数字の形より針が指す方向に注目すると、左右の対応を確かめやすくなります。

個別指導では、答えの誤りが出たら、1周が360°であること、1時間が60分であること、数字1つ分が30°であることまで戻って確認します。そのうえで、位置の角度を求める段階で止まったのか、差を時間に直す段階で止まったのかを分けて見ます。

まとめ

時計算の答えが分数になっても、それだけで難しい考え方を使っているわけではありません。針がどこから動き始め、どの位置関係を目指すかが決まれば、差が変わる速さを使って時間を求められます。答えの時刻をもう一度時計に戻し、重なりや角度を確かめるところまでが、ひと続きの解き方です。

短針のわずかな動きを式に入れた瞬間、時計の見た目は、理由を説明できる角度に変わります。