【中学受験算数】食塩水の濃度を図解で総まとめ—面積図 てんびん法・混ぜる 蒸発 水を加える｜武蔵野個別指導塾

食塩の重さに注目し、混ぜる・水を加える・蒸発させる・移し戻す問題を順にたどります。面積図とてんびん図を使い、濃度の計算で何を足し、何を変えないのかを親子で確かめられます。

よくあるのは、修学旅行前の教室で算数のプリントに取り組み、「4%と14%の食塩水を混ぜる」と読んで、すぐに「真ん中だから9%」と書く場面です。2つの濃さに目が向くと、それぞれ何gあるかを見落としがちです。同じ重さずつ混ぜるなら真ん中の濃度になりますが、片方が多ければ、混ぜた後の濃度はその食塩水の濃度に近づきます。

食塩水の問題は、濃度だけを動かそうとすると難しくなります。そこで、目には見えない食塩を「何gあるか」という重さに戻します。混ぜたら食塩の重さを足す、水を加えても食塩は増えない、食塩水を移したら食塩も一緒に移る。この違いを整理できれば、問題文の動作を計算につなげられます。

まずは食塩水全体と食塩の関係を確かめ、次に図を使って混ぜ方を考えましょう。最後には、2つの容器の間で食塩水を移し、戻す問題まで扱います。式を覚えるだけでなく、答えが濃くなるのか薄くなるのかを先に見通せることを目指します。

この単元で身につけること

• 食塩水・食塩・水を区別します。食塩水の重さは食塩と水を合わせた重さで、濃度を求めるときのもとにする量です。
• 濃度の3つの求め方を使い分けます。食塩の重さ、食塩水の重さ、濃度のうち、何がわかり何を求めるかを決めてから式を書きます。
• 混ぜ合わせでは重さを足します。食塩水の重さと食塩の重さをそれぞれ合計し、最後に濃度を求めます。
• 面積図とてんびん法を読み取ります。濃度の差と食塩水の重さがどう対応するかを、面積や支点からの距離で表します。
• 加水・蒸発・やりとりを区別します。操作の前後で変わる量と変わらない量を見つけ、途中の状態を順に記録します。

これまでに学んだ割合の「もとにする量×割合＝比べる量」と、比の考え方が土台になります。食塩水では、もとにする量がいつも同じとは限りません。水を加えた直後と、その一部を取り出した後とでは全体の重さが変わるので、計算ごとに「今の全体は何gか」を確認します。

基本の考え方

濃度は食塩水全体に対する食塩の割合

食塩水は、食塩を水に溶かしたものです。算数の問題では、特にことわりがなければ、食塩はすべて溶けていて、よく混ざっているものとして考えます。また、容器の重さは食塩水の重さに含めません。「容器ごと」の重さが示された場合は、先に空の容器の重さを引きます。

濃度8%とは、食塩水全体の重さを100としたとき、食塩の重さが8に当たるという意味です。100gの食塩水なら食塩が8g、水が92gです。水100gに食塩8gを加えたものではありません。後者では全体が108gになり、もとにする量が違ってしまいます。

濃度の計算は次の3つに整理できます。%を小数に直すときは100でわり、割合を%で表すときは100をかけます。

• 食塩の重さ＝食塩水の重さ×濃度÷100
• 濃度＝食塩の重さ÷食塩水の重さ×100
• 食塩水の重さ＝食塩の重さ÷小数で表した濃度

例えば、8%の食塩水200gに含まれる食塩は、200×0.08＝16gです。逆に、食塩16gを含む食塩水200gの濃度は、16÷200×100＝8%です。また、食塩16gを含む8%の食塩水の重さは、16÷0.08＝200gです。同じ関係を、求めたい量に合わせて読み替えています。

3つ目の式を使うときは「8%なら、食塩は全体の0.08倍です。全体へ戻すので0.08でわります」と説明できます。式が選べないお子さまには、「全部の重さはどれで、その中の食塩はどれかな」と尋ねてください。まず全体と部分を選べれば、かけるか、わるかを考える足場ができます。

面積図では横を重さ、縦を濃度にする

図1のように、横を食塩水の重さ、縦を濃度として長方形を描くと、その面積で食塩の重さを表せます。濃度を小数で表す場合、横200と縦0.08の積は16です。図では読みやすく縦に8%と書いていますが、「200×8＝1600g」とは計算しません。%の数値を使った積を100でわるところまでが、食塩の重さを求める計算です。

図1の長方形の内側が食塩の重さ16gに対応します。これは容器の中で食塩が四角く固まっている様子ではなく、2つの量のかけ算を見える形にした図です。横の目盛りと縦の目盛りは別の量を表すため、縦と横の長さそのものを比べる必要はありません。

この見方は、同じ量の食塩を保ったまま水を加える場合にも使えます。水を加えると横の食塩水の重さは大きくなりますが、面積に当たる食塩の重さは変わりません。そのため、縦の濃度は小さくなります。反対に、水だけを蒸発させると横が小さくなり、同じ面積を保つために縦が大きくなります。先に図で変化の向きをつかむと、計算結果の取り違えを見つけやすくなります。

操作ごとに残る量を見つける

2種類の食塩水を混ぜるときは、食塩水の重さどうし、食塩の重さどうしを足します。濃度は重さではないため、そのまま足して混ぜた後の濃度にはできません。混ぜた後の濃度は、食塩の合計を食塩水の合計でわって求めます。これが面積図やてんびん法を使うときにも共通する土台です。

水だけを加えると、食塩の重さは変わらず、食塩水の重さが増えます。水だけを蒸発させると、食塩の重さは変わらず、食塩水の重さが減ります。蒸発の問題では、食塩水がこぼれたり、食塩が外へ出たりすることはないものとして扱います。水を加えることと食塩を加えることも別です。食塩を加えたときには、食塩と食塩水全体の重さが両方増えます。

一方、よく混ぜた食塩水の一部を取り出すと、水だけでなく食塩も一緒に出ていきます。取り出した部分と残った部分の濃度は、取り出す直前の濃度と同じです。全体の半分を取り出すなら、食塩も半分取り出すからです。ただし、別の食塩水に注いで混ぜた後は新しい濃度になります。「取り出す」と「混ぜる」の間で、濃度が変わる時点を区切ることが大切です。

例題で解き方を確かめる

例題1　食塩の重さを求める

6%の食塩水300gがあります。含まれる食塩の重さと、水の重さをそれぞれ求めましょう。

1. 全体と割合を確認します。300gは水だけでなく、食塩を含めた全体の重さです。6%を小数に直すと0.06です。
2. 食塩の重さを求めます。全体の0.06倍が食塩なので、300×0.06＝18gです。
3. 水の重さを求めます。全体から食塩を除いたものが水なので、300−18＝282gです。

答え：食塩は18g、水は282gです。

確かめるときは、18＋282＝300で全体に戻ることと、18÷300×100＝6で濃度が問題と一致することを見ます。食塩水の重さが示されているのに、さらに食塩18gを足して318gにしないようにしましょう。300gの中に、すでに食塩18gが含まれています。

例題2　重さの違う食塩水を混ぜる

4%の食塩水200gと14%の食塩水300gを全部混ぜます。混ぜた後の濃度を求めましょう。

1. それぞれの食塩の重さを求めます。濃度の異なるままでは足せないので、同じ単位の重さに直します。200×0.04＝8g、300×0.14＝42gです。
2. 食塩と食塩水を別々に合計します。食塩は8＋42＝50g、食塩水は200＋300＝500gです。水だけを加えたわけではないため、食塩も増えています。
3. 全体に対する食塩の割合を求めます。50÷500×100＝10%です。

答え：10%です。

ここで、4%と14%の真ん中である9%より濃くなっていることを確認します。14%の食塩水のほうが100g多いため、結果が濃い側へ寄っています。また、混ぜただけなので、答えは4%より大きく14%より小さくなります。この範囲から外れたら、計算や単位を見直します。

同じ問題を面積図で考えるなら、横200・縦4%の長方形と、横300・縦14%の長方形を横に並べます。高さ10%でそろえると、低い長方形には200×0.06＝12gに当たる食塩が不足し、高い長方形には300×0.04＝12gに当たる食塩が余ります。余りと不足が等しいので、食塩の合計を変えずに高さを10%へそろえられます。

この等しさを距離に置き換えたものが、図2のてんびん図です。図2のように左に4%、右に14%、支点に混ぜた後の10%を置きます。濃度の位置は同じ間隔で取り、左から支点までは10−4＝6、支点から右までは14−10＝4です。ここでいう6と4は、%で表した数値どうしの差です。

図2では200×6＝300×4となり、重さと支点からの距離の積が等しくなります。濃度の差の比が6：4なら、食塩水の重さの比は反対の4：6、つまり2：3です。支点に近い側ほど重くなることを、300gがかかる右側の短い距離で確認できます。これは濃度を整理するための図であり、実際の食塩水の容器をこの形につるして実験するという意味ではありません。

てんびん法は、混ぜた後の濃度が先にわかっている問題でも役立ちます。例えば、この2種類を混ぜて10%を500g作る場合、必要な重さの比は2：3です。500÷（2＋3）＝100gを比の1つ分として、4%を200g、14%を300gと求められます。逆比だけを暗記するより、足りない食塩と余る食塩が同じになることを説明できるようにしましょう。

例題3　同じ食塩水に水を加える場合と蒸発させる場合

10%の食塩水250gがあります。この食塩水を5%にするには水を何g加えますか。また、最初の10%の食塩水250gから水だけを蒸発させて12.5%にするには、水を何g蒸発させますか。2つの操作は続けて行わず、それぞれ最初の状態から考えます。

1. 最初の食塩の重さを求めます。どちらの操作でも食塩は出入りしないので、この重さが共通の出発点です。250×0.10＝25gです。
2. 5%になった後の全体を求めます。食塩25gが全体の0.05倍になるので、25÷0.05＝500gです。加える水は全体の増えた分ですから、500−250＝250gです。
3. 12.5%になった後の全体を求めます。食塩25gが全体の0.125倍になるので、25÷0.125＝200gです。蒸発した水は全体の減った分ですから、250−200＝50gです。

答え：5%にするには水を250g加え、12.5%にするには水を50g蒸発させます。

ここでは「何gの食塩水になったか」と「何gの水が動いたか」を分けます。500gと200gは途中で求めた全体の重さです。問題が尋ねているのは水の増減なので、最初の250gとの差を取って答えます。計算の途中にも「後の全体」「加える水」などの短い言葉を添えると、最後の引き算を忘れにくくなります。

例題4　移して混ぜてから戻す

容器Aには10%の食塩水200g、容器Bには水100gが入っています。Aをよく混ぜてから50gをBへ移し、Bをよく混ぜます。その後、Bから50gをAへ戻し、Aをよく混ぜます。最後のAの濃度を求めましょう。

1. 最初の食塩を記録します。Aには200×0.10＝20g、Bには0gあります。移動しても、2つの容器を合わせた食塩20gは変わりません。
2. AからBへ動く食塩を求めます。移す50gの濃度はAと同じ10%なので、50×0.10＝5gです。移した直後、Aは食塩水150g・食塩15g、Bは食塩水150g・食塩5gになります。
3. Bから戻す食塩を求めます。Bの150gのうち50gを戻すので、戻す割合は50÷150＝1/3です。よく混ざっているため食塩も1/3が戻り、5×1/3＝5/3gです。濃度を途中で小数に直す必要はありません。
4. 最後のAの食塩と全体を求めます。食塩は15＋5/3＝50/3g、食塩水は150＋50＝200gです。濃度は（50/3）÷200×100＝25/3%＝8 と 1/3%です。

答え：8 と 1/3%です。

50gを移して50g戻したので、Aの食塩水の重さは200gに戻ります。しかし、出ていった50gは10%、戻ってきた50gは水で薄まった食塩水です。同じ重さを戻しても、食塩は同じ重さだけ戻りません。実際に、出た食塩5gに対し、戻った食塩は5/3gなので、Aは最初より薄くなります。

最後のBの食塩は5−5/3＝10/3gです。Aの50/3gと合わせると60/3＝20gとなり、最初の合計と一致します。やりとりの問題では、容器ごとの計算に加えて、この「全部合わせた食塩」の確認が役立ちます。途中の状態を飛ばさず、移す直前の濃度か、移す割合を使いましょう。

つまずきやすいところと直し方

水の重さを分母にしてしまう

誤った書き方は「食塩10gを水90gに溶かしたので、濃度は10÷90×100」です。どこが違うかというと、分母が水だけの重さになっています。濃度は水に対する割合ではなく、できあがった食塩水全体に対する食塩の割合です。

正しい書き方は「食塩水は10＋90＝100g、濃度は10÷100×100＝10%」です。直すときは、式の分母に下線を引き、「これは全部かな、水だけかな」と確かめます。「食塩水100g」と「水100g」は似た言葉ですが、表している中身が違います。問題文で水と食塩水を丸で囲み分けるだけでも、全体を選ぶ手がかりになります。

濃度だけを平均してしまう

誤った書き方は、例題2で「（4＋14）÷2＝9%」とすることです。どこが違うかというと、食塩水200gと300gを同じ重さとして扱っています。濃度の真ん中になるのは、2種類を同じ重さずつ混ぜる場合です。個数が2つあることと、重さが等しいことは別です。

正しい書き方は「（200×0.04＋300×0.14）÷（200＋300）×100＝10%」です。長い式で混乱する場合は、食塩8gと42g、全体500gを別々の行に書いてから濃度を求めます。図2でも、支点が14%側へ寄っています。計算前に「多く入れるほうの濃度に近づく」と予想し、9%より濃い答えになっているかを見直しましょう。

水を加える操作と食塩水を取り出す操作を混同する

誤った書き方は「10%の食塩水250gに水250gを加えると、食塩も2倍で50gになる」です。どこが違うかというと、増えた全体と増えた食塩を同じように扱っています。加えたのは食塩を含まない水なので、食塩は最初の25gのままです。

正しい書き方は「食塩25g、全体250＋250＝500g、濃度25÷500×100＝5%」です。図3のように、全体の帯は長くなっても、赤い食塩の部分は同じ長さです。図の横の長さは重さに比例させています。食塩が水と分かれて沈んでいる絵ではなく、全体の内訳を表す帯図として見てください。

図3の一番下は、水を50g蒸発させた場合です。全体は200gへ減り、赤い25gの占める割合は大きくなります。このように、水だけが動くときは食塩を固定して考えます。一方、よく混ぜた食塩水そのものを取り出すときは、取り出した部分にも食塩が含まれるので、赤い部分も減ります。操作の言葉を読んだら、「今、動くのは水だけか、食塩も一緒か」と声に出して確かめましょう。

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練習問題

答えを読む前に、食塩の重さと食塩水の重さを別々に書いてみましょう。練習3では2つの操作を別々に扱い、練習4では順番どおりに途中の状態を残します。計算結果だけでなく、濃くなるか薄くなるかの予想も添えると確認しやすくなります。

練習1

食塩12gを水138gにすべて溶かしました。できた食塩水の濃度は何%ですか。また、食塩12gを含む6%の食塩水は何gですか。

練習2

5%と11%の食塩水を混ぜて、9%の食塩水を600g作ります。それぞれ何gずつ混ぜればよいですか。濃度の差から重さの比を求め、できた食塩の合計でも確認しましょう。

練習3

8%の食塩水300gを6%にするには、水を何g加えますか。また、最初の8%の食塩水300gを12%にするには、水を何g蒸発させますか。2つの問いは、どちらも最初の状態から考えます。

練習4

Aには12%の食塩水150g、Bには水50gがあります。Aをよく混ぜてから50gをBへ移し、Bをよく混ぜます。その後Bから50gをAへ戻し、Aをよく混ぜます。最後のAの濃度は何%ですか。

答えと解説

練習1の答えは、8%と200gです。前半は食塩水全体が12＋138＝150gなので、12÷150×100＝8%です。後半は食塩12gが全体の0.06倍なので、12÷0.06＝200gです。前半の水138gを、後半でもそのまま使わないようにします。後半の食塩水に含まれる水は200−12＝188gで、前半より水が多いため濃度が低くなっています。

練習2の答えは、5%が200g、11%が400gです。濃度の差は9−5＝4、11−9＝2なので、重さの比は反対の2：4＝1：2です。600÷3＝200gが比の1つ分になります。食塩は200×0.05＋400×0.11＝10＋44＝54gで、54÷600×100＝9%と確かめられます。目標の9%は11%に近いので、11%のほうを多く使うという見通しにも合います。

練習3の答えは、加える水が100g、蒸発させる水が100gです。最初の食塩は300×0.08＝24gです。6%にする場合、後の全体は24÷0.06＝400gなので、400−300＝100gを加えます。12%にする場合、後の全体は24÷0.12＝200gなので、300−200＝100gを蒸発させます。水の増減が同じ100gでも、濃度の変化は同じ幅になりません。わる相手の全体の重さが、それぞれ400gと200gになるからです。

練習4の答えは、10%です。最初のAの食塩は150×0.12＝18gです。Aから食塩50×0.12＝6gが移り、Aは食塩12g・全体100g、Bは食塩6g・全体100gになります。Bから戻す50gはB全体の半分なので、戻る食塩は6÷2＝3gです。最後のAは食塩12＋3＝15g・全体150gで、15÷150×100＝10%です。Bに残った食塩3gを足すと18gになり、2つの容器を合わせた食塩は減っていません。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

食塩水の混合は、重さに応じて平均を考える問題につながります。また、水を加えたときに食塩が一定になる見方は、2つの量の積が一定になる関係を学ぶ際にも使えます。やりとりで途中の状態を順に書く練習は、水量や人数が何段階にも変わる文章題を整理するときにも役立ちます。

家庭では5分ほどで、次の2つを確かめられます。1つ目は、「10%の食塩水100gに水100gを加えたら、食塩は何g、全体は何gか」と口頭で尋ねる方法です。食塩10g・全体200gを先に答えられれば、濃度5%へ進めます。2つ目は、同じ最初の食塩水について「よく混ぜて半分を取り出したら、残りの濃度はどうなるか」と尋ねます。残りは食塩5g・全体50gで10%です。紙に2本の帯を描き、加水と取り出しの違いを説明してもらいましょう。

個別指導で確かめる際は、式の誤りだけで判断せず、%を小数に直すところ、全体と部分を選ぶところ、比を逆にする理由のどこで止まったかまで戻ります。計算ができても答えの意味を説明できない場合は、「この200gは水か食塩水か」と単位の前の言葉を補って確かめます。

まとめ

答えの濃度だけを見ていると、同じ数値になった理由までは見えてきません。途中に食塩の重さを残しておけば、混ぜた量、加えた水、移した食塩のどこで食い違ったかをたどれます。ノートを見直すときも、式の長さより、各段階の全体と食塩が対応しているかを確かめましょう。

水だけが動いたのか、食塩も動いたのか。その一言を問題文から選べると、使う計算は絞られます。食塩水の濃度を決めるのは、今ある食塩の重さと、今ある全体の重さです。