【中学受験算数】過不足算と差集め算を図解で総まとめ—配る問題・線分図と表・差の集まり｜武蔵野個別指導塾

余りと不足を足す理由、両方余るときに引く理由を線分図と表で確かめます。配り方を変える例題と箱の個数を求める差集め算を通して、全体の差から人数や組数を見つける力を育てましょう。

よくあるのは、塾の面談の席で、お子さまが「余った数と足りない数を、足すのか引くのか迷います」とノートを見つめる場面です。「4 個ずつなら余る、6 個ずつなら足りない」という文は読めていても、計算に移ると、目についた数どうしをとりあえず引いてしまいます。保護者の方も、問題によって足したり引いたりするため、どう説明すればよいか戸惑いやすいところです。

過不足算で比べるのは、余りと不足という言葉だけではありません。同じ人たちに配り方を変えたとき、必要な品物が全部でどれだけ増えるかを比べます。1 人に追加する分が全員に集まると、全体の差になります。このつながりを線分図と表で確かめれば、余る場合も足りない場合も、理由を添えて式にできます。さらに、箱の中身や集める品物の差から個数を求める差集め算にも、同じ見方を使えます。

この単元で身につけること

• 「配るのに必要な数」と「実際に持っている数」を区別します。余りは必要な数を超えて残る分、不足は必要な数に届かない分です。
• 2 通りの配り方で変わらないものを探します。同じ人数、同じ品物の総数がそろっていることを、計算の前に確かめます。
• 1 人あたりの差と全体の差を分けます。1 人に 2 個追加することと、全員で 24 個追加することは、違う大きさを表しています。
• 線分図では始まりの位置をそろえます。必要な数の終点が、持っている数の終点より手前か先かを見ると、余りと不足の関係を整理できます。
• 表と逆算で答えを確かめます。求めた人数と総数を両方の条件に戻し、片方だけに合う答えを見逃さないようにします。

これまでのかけ算の「1 つ分の数 × いくつ分」と、わり算の「全部の数 ÷ 1 つ分の数」が土台です。過不足算でも使う計算は同じですが、かけたり割ったりする対象が、品物の数そのものから「差」に変わります。

基本の考え方

余りと不足は何を基準にしているか

32 個のあめを、同じ 6 人に配る場面を考えます。1 人に 4 個ずつなら、配るのに必要な数は 4 × 6 = 24 個です。持っているのは 32 個なので、32 − 24 = 8 個余ります。ここでの「余る」は、配り終わったあとに手元に残るという意味です。わり算の筆算で出てくるあまりとは区別して、指定された配り方のあとに残る数と読みましょう。

1 人に 6 個ずつ配るには、6 × 6 = 36 個必要です。今は 32 個しかないので、36 − 32 = 4 個足りません。「4 個不足する」は、4 個を追加すれば全員が 6 個ずつ受け取れるという意味です。途中まで実際に配る順序を考える必要はなく、全員に渡すために必要な数を先に求めます。

図1のように、3 本とも左端をそろえ、長さで数を表すと、24 個、32 個、36 個の位置が比べられます。持っている数の終点を境に、8 個の余りと 4 個の不足が左右に並びます。

図1で 24 個の終点から 36 個の終点まで進むには、まず残っている 8 個を配り、それでも足りない 4 個を追加します。したがって、配り方を変えたときに必要な数が増える分は、8 + 4 = 12 個です。余りから不足へ移るときに足し算をする理由は、この 2 つの区間がつながっているからです。

1 人あたりの差が全員分集まる

4 個ずつから 6 個ずつへ変えると、1 人あたり 6 − 4 = 2 個ずつ増えます。6 人全員に 2 個追加するので、必要な数の増加は 2 × 6 = 12 個です。前に求めた 8 + 4 = 12 個と一致します。同じ 12 個を、図では終点の隔たりとして、配る動作では追加分の集まりとして見ています。

人数がまだわからなくても、全体で 12 個増え、1 人につき 2 個増えることがわかれば、12 ÷ 2 = 6 人と求められます。ここが過不足算の中心です。「1 人あたりの差 × 人数 = 全体の差」という関係から、「全体の差 ÷ 1 人あたりの差 = 人数」と考えます。式の数に単位を添えて読むと、何を求めているかを見失いにくくなります。

保護者の方からは、「全員にあと 2 個ずつ配るには、全部で何個追加することになるかな」と声をかけてみてください。「余りと不足だから足す」と先に教えるよりも、1 人分を全員分集める様子を言葉にできます。説明が難しければ、6 人分の小さな丸を描き、それぞれの横に追加の 2 個を書き込んでもかまいません。

表でそろえると、比べるものがはっきりする

同じ条件を表にするときは、1 人分の数、全員に必要な数、持っている数との関係を別の列にします。人数がわからない問題では、必要な数の欄を無理に埋めず、「持っている数より 8 個少ない」と言葉で書けます。計算できない欄があっても、整理が止まったわけではありません。

表の上下を比べるときは、同じ列のものどうしを比べます。1 人分の列の差は 2 個、全員に必要な数の列の差は 12 個です。余りの 8 個と 1 人分の 6 個を組み合わせても、全体の変化は表せません。表を作る目的は、数を並べることではなく、同じ種類の量を同じ場所に置くことです。

また、2 通りの配り方は、同じ品物を使う別々の計画です。最初に 4 個ずつ配り、その残りを使って、さらに 6 個ずつ配るという意味ではありません。「いったん全部戻して、配り直す」と考えると、総数が変わらないことをつかみやすくなります。問題文に人数の増減や品物の追加がある場合は、その変化も整理してから比べる必要があります。

例題で解き方を確かめる

例題1　余る配り方と不足する配り方

あめを何人かの子どもに配ります。1 人に 4 個ずつ配ると 10 個余り、1 人に 6 個ずつ配ると 14 個不足します。子どもは何人で、あめは全部で何個ありますか。

1. 全員に必要な数の差を求めます。少なく配ったときの余りを使い切り、さらに足りない分を補うので、10 + 14 = 24 個です。この 24 個は、あめの総数ではなく、2 通りの配り方の必要数の差です。
2. 1 人あたりの差を求めます。配る数を 4 個から 6 個に変えるので、6 − 4 = 2 個です。同じ子ども全員に、この 2 個ずつが加わります。
3. 人数を求めます。全体の差を 1 人分の差で区切るため、24 ÷ 2 = 12 人です。24 ÷ 6 とすると、追加した分ではなく、あとの配り方の 1 人分で割ることになってしまいます。
4. あめの総数を求めます。4 個ずつ配った分に余りを戻すので、4 × 12 + 10 = 58 個です。もう一方でも、6 × 12 − 14 = 58 個となることを確かめます。

答え：子どもは 12 人、あめは 58 個です。

総数を求める最後の式では、「余りだから足す」「不足だから引く」の意味を確認しましょう。必要数に余りを加えると手持ちの数になり、必要数から不足を取り除いても手持ちの数になります。人数を求めるときの足し算と、総数を求めるときの足し算は、役割が異なります。

例題2　どちらの配り方でも余る

折り紙を何人かの子どもに配ります。1 人に 3 枚ずつ配ると 23 枚余り、1 人に 5 枚ずつ配ると 7 枚余ります。子どもは何人で、折り紙は全部で何枚ありますか。

1. 余りがどれだけ減ったかを求めます。多く配ると余りが 23 枚から 7 枚になるので、23 − 7 = 16 枚です。減った余りは、そのまま追加で配った枚数に当たります。
2. 1 人あたりの増加を求めます。5 − 3 = 2 枚です。全員が同じ 2 枚ずつを追加で受け取ります。
3. 人数を求めます。16 枚を 2 枚ずつの組に分けるので、16 ÷ 2 = 8 人です。両方とも余っている場合は、余りどうしを足す必要はありません。
4. 折り紙の総数を求めます。3 × 8 + 23 = 47 枚です。5 枚ずつ配る場合も、5 × 8 + 7 = 47 枚になり、総数が一致します。

答え：子どもは 8 人、折り紙は 47 枚です。

図2のように、全員に必要な 24 枚と 40 枚の終点は、どちらも持っている 47 枚の終点より手前にあります。23 枚の余りの区間のうち、最後の 7 枚の区間はどちらの配り方にも共通です。その共通部分を除いた 16 枚が、追加で配った分です。

図2を見ながら 23 + 7 としてみると、最後に残る 7 枚を重ねて数えることになります。配り方を変えても手元に残り続ける部分は、追加分に入りません。この区別ができれば、余りの数が大きくなっても同じ手順で考えられます。

例題3　どちらの配り方でも不足する

鉛筆を何人かの子どもに配ろうとしています。1 人に 4 本ずつでは 7 本不足し、1 人に 6 本ずつでは 25 本不足します。子どもは何人で、鉛筆は全部で何本ありますか。

1. 不足が増えた分を求めます。必要な本数が増えると不足も増えるので、25 − 7 = 18 本です。もともと足りなかった 7 本は、配り方を変える前からの不足です。
2. 1 人あたりの増加を求めます。6 − 4 = 2 本です。全体で増える 18 本は、この 2 本ずつが集まったものです。
3. 人数を求めます。18 ÷ 2 = 9 人です。足りないという言葉が出ても、人数が減るわけではなく、比べているのは必要な鉛筆の本数です。
4. 鉛筆の総数を求めます。4 本ずつ配るには 4 × 9 = 36 本必要ですが、7 本不足するので、36 − 7 = 29 本です。6 × 9 − 25 = 29 本でも確かめます。

答え：子どもは 9 人、鉛筆は 29 本です。

この問題では、実際に全員へ 4 本ずつ配り終えることはできません。それでも、「全員に 4 本ずつ渡すために必要な本数」は考えられます。過不足算の図に描くのは、手元にある品物だけではなく、配り終えるために必要な数も含むことに注意しましょう。

例題4　箱ごとの差を集める差集め算

同じ数の箱を使って、カードを詰めます。1 箱に 18 枚ずつ入れる計画と、1 箱に 24 枚ずつ入れる計画を比べると、後者で必要なカードは全部で 42 枚多くなります。箱は何箱ありますか。また、それぞれの計画でカードは何枚必要ですか。

1. 1 箱あたりの差を求めます。24 − 18 = 6 枚です。箱の数は同じなので、どの箱にも 6 枚ずつ追加することになります。
2. 箱の数を求めます。全体で増える 42 枚が、6 枚ずつ何組あるかを考えて、42 ÷ 6 = 7 箱です。ここでは人数の代わりに箱の数を求めています。
3. それぞれの必要数を求めます。18 枚ずつなら 18 × 7 = 126 枚、24 枚ずつなら 24 × 7 = 168 枚です。168 − 126 = 42 枚なので、問題の差とも合います。

答え：箱は 7 箱、必要なカードは 18 枚ずつなら 126 枚、24 枚ずつなら 168 枚です。

差集め算では、1 組あたりの差が同じ組数だけ集まり、全体の差になります。過不足算も、余りや不足から全体の差を見つけたあとは、同じ考え方で進めています。この例題には持っているカードの総数が示されていないため、余りや不足を求めることはできません。わかるのは、2 つの計画に必要な枚数です。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　余りと不足なのに引いてしまう

誤った書き方は、例題1で人数を「(14 − 10) ÷ (6 − 4) = 2 人」とすることです。どこが違うかというと、余り 10 個と不足 14 個を、同じ側にある残りの量として扱っています。4 個ずつ配る計画から 6 個ずつ配る計画へ進む間には、残っている 10 個を配る段階と、さらに 14 個を用意する段階があります。

正しい書き方は、「(10 + 14) ÷ (6 − 4) = 12 人」です。直すときは、先に計算記号を入れ替えるのではなく、持っている数の終点を図に入れ、その前後に 10 個と 14 個を書きましょう。2 人という答えを元の条件に戻すと、4 × 2 + 10 = 18 個のあめがある一方で、6 個ずつに必要なのは 12 個です。不足するはずが余るので、読み違いにも気づけます。

誤り2　両方不足するのに足してしまう

誤った書き方は、例題3で全体の差を「7 + 25 = 32 本」とすることです。どこが違うかというと、25 本の不足の中に含まれる、もともとの不足 7 本まで、もう一度加えています。増えた分を調べたいのに、不足の量を全部合わせてしまっています。

図3のように、持っている 29 本の終点から、4 本ずつに必要な 36 本の終点までが 7 本です。6 本ずつに必要な 54 本の終点までは 25 本なので、この 25 本の区間の中に 7 本の区間が入っています。

正しい書き方は、「25 − 7 = 18 本」、続けて「18 ÷ (6 − 4) = 9 人」です。図3の 36 本から 54 本までの部分だけを指でなぞると、何を求めたいのかがはっきりします。両方余る場合も両方不足する場合も、同じ側にある長い区間から短い区間を引いて、必要な数の差を取り出します。

誤り3　人数が出たあと、総数への戻し方を逆にする

誤った書き方は、例題1で総数を「4 × 12 − 10 = 38 個」とすることです。どこが違うかというと、配り終えたあとも手元にある 10 個を、配った分から取り去っています。持っていた数は、渡した 48 個と残った 10 個を合わせた数です。

正しい書き方は、「4 × 12 + 10 = 58 個」です。逆に、6 個ずつ配る条件からなら「6 × 12 − 14 = 58 個」となります。「不足だから足す」として必要数にさらに 14 個を加えると、もともと持っている数より大きくなってしまいます。最後は「配った分と残った分」「必要な分から足りない分を除く」のどちらで考えているかを、言葉で確認しましょう。

計算を始める前の確かめ方もあります。同じ人数に多く配れば、余りは減るか、不足へ変わり、不足は増えます。問題文を写した表がこの動きと逆になっていたら、数や「余る」「不足する」の写し間違いを確認します。ただし、途中で人数や総数が変わる条件があるときは、そのままこの見方を当てはめず、何が変わったかを先に読んでください。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

それぞれ、式の前に「1 人分または 1 箱分の差」と「全体の差」を書いてから解いてみましょう。人数や箱の数だけで終わらず、品物の数を求めたあと、問題に出ている 2 通りの条件へ戻して確かめます。

練習1

シールを何人かの子どもに配ります。1 人に 3 枚ずつ配ると 8 枚余り、1 人に 5 枚ずつ配ると 12 枚不足します。子どもは何人で、シールは全部で何枚ありますか。線分図では、持っている数の終点を 2 通りの必要数の終点の間に置きます。

練習2

カードを何人かの子どもに配ります。1 人に 4 枚ずつ配ると 19 枚余り、1 人に 7 枚ずつ配ると 4 枚余ります。子どもは何人で、カードは全部で何枚ありますか。追加で配った分と、最後まで残る分を区別して考えましょう。

練習3

折り紙を何人かの子どもに配ろうとしています。1 人に 5 枚ずつでは 9 枚不足し、1 人に 8 枚ずつでは 30 枚不足します。子どもは何人で、折り紙は全部で何枚ありますか。多く配ると不足がどれだけ増えるかを求めます。

練習4

同じ数の箱に、ビー玉を 1 箱 12 個ずつ入れる場合と、1 箱 17 個ずつ入れる場合を比べます。必要なビー玉の総数の差は 45 個です。箱は何箱で、それぞれの場合に何個のビー玉が必要ですか。人に配る問題の「人数」に当たるものを見つけましょう。

答えと解説

練習1の答え：子どもは 10 人、シールは 38 枚です。全体の差は 8 + 12 = 20 枚、1 人分の差は 5 − 3 = 2 枚なので、20 ÷ 2 = 10 人です。総数は 3 × 10 + 8 = 38 枚で、5 × 10 − 12 = 38 枚とも一致します。余りから不足までの区間を合わせることが出発点です。

練習2の答え：子どもは 5 人、カードは 39 枚です。全体の差は 19 − 4 = 15 枚、1 人分の差は 7 − 4 = 3 枚なので、15 ÷ 3 = 5 人です。総数は 4 × 5 + 19 = 39 枚で、7 × 5 + 4 = 39 枚でも確かめられます。19 枚の余りのうち、15 枚を追加で配り、4 枚が残ります。

練習3の答え：子どもは 7 人、折り紙は 26 枚です。全体の差は 30 − 9 = 21 枚、1 人分の差は 8 − 5 = 3 枚なので、21 ÷ 3 = 7 人です。総数は 5 × 7 − 9 = 26 枚、または 8 × 7 − 30 = 26 枚です。必要数そのものを答えにせず、不足を引いて手元の数へ戻します。

練習4の答え：箱は 9 箱、必要なビー玉は 12 個ずつなら 108 個、17 個ずつなら 153 個です。1 箱分の差は 17 − 12 = 5 個なので、45 ÷ 5 = 9 箱です。12 × 9 = 108 個、17 × 9 = 153 個を求め、153 − 108 = 45 個と確かめます。余りも不足も書かれていなくても、差が何組集まったかを考える手順は同じです。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

差を 1 組分ずつ集める見方は、つるかめ算で 1 つを別の種類に置き換える場面や、同じ時間に進む道のりの差を考える速さの問題につながります。ただし、問題名が似ているから式を借りるのではなく、「何が同じで、1 組変えると何がどれだけ変わるか」を調べます。過不足算でそろえていたのは、人数と持っている総数でした。

家庭での 5 分の確かめ方の 1 つは、20 個の小物を 4 人分の場所に配ることです。3 個ずつなら 8 個余り、6 個ずつには 4 個不足します。足りない分は空いた場所に丸を描き、「追加の 12 個は、1 人分の 3 個が 4 組」と指で確かめます。最初の配り方をいったん戻し、同じ 20 個からやり直すと、条件がそろいます。

もう 1 つは、例題2の表をお子さまと作り、答えを隠して「余りのどの部分が追加で配られたのか」を説明してもらうことです。5 分で計算問題を何問も解く必要はありません。個別指導の場では、図の読み取りに迷う場合は「必要な数と手持ちの数」の区別へ、人数への割り算で止まる場合は「同じ数ずつ何組あるか」へ戻って確かめます。

まとめ

解き終えたノートでは、人数の答えだけでなく、全体の差を表す区間と、それを 1 人分に分けた式が対応しているかを見てみましょう。別の条件で総数を求め直し、同じ値になれば、余りや不足の読み取りまで自分で確かめたことになります。計算記号を選ぶ理由を短い言葉で説明できることが、次の問題を解く足場になります。

過不足算の足し算と引き算は、持っている数を境に、必要な数の終点がどこにあるかで決まります。