【小6算数】計算の総まとめを図解で総まとめ—整数 小数 分数の四則・計算の順序・工夫｜武蔵野個別指導塾

整数・小数・分数が混じる計算を、順序と数のそろえ方から整理します。等分した帯や数直線、4問の例題を使って、通分・約分・分配法則の使い分けを親子で確かめられます。

よくあるのは、駅のホームのベンチで電車を待ちながら計算のノートを開き、小数だけの式は解けるのに、分数が1つ入ったとたんに鉛筆が止まるという場面です。「小数を分数にするのかな」「先にたしてよいのかな」と考えているうちに、どこから手をつけるかがわからなくなります。これは、計算の決まりを1つずつ知っていることと、混じった式の中で使い分けることが別の課題だからです。

小6の計算の総まとめでは、速く答えを出すことだけを目指しません。式を見て順序を決め、整数・小数・分数のどの形で計算するかを選び、途中の式を残して答えを確かめます。この流れができると、長い式も短い計算の集まりとして読めます。

保護者の方は、答えを見てすぐに正誤を伝える前に、「最初に計算するところを指で示してみよう」と声をかけてください。お子さまが迷った場所が、計算の順序なのか、通分なのか、小数点なのかを分けて見られます。

この単元で身につけること

• 整数・小数・分数の四則を使い分けます。四則とは、たし算・ひき算・かけ算・わり算の4つです。同じ記号でも、数の表し方によって途中の手順が変わることを整理します。
• 計算の順序を説明します。かっこの中を先にし、その後はかけ算・わり算をたし算・ひき算より先にします。同じ優先順位なら左から進めます。
• 小数と分数の混合計算で、扱いやすい形を選びます。0.75と3/4のように同じ大きさを表す数を結びつけ、途中で数の大きさを変えずに計算します。
• 分配法則などを使って計算を簡単にします。共通する数や、合わせて1になる数を見つけ、なぜ式を変えられるのかまで確かめます。
• 間違いを型に分けて直します。順序、位、小数点、通分、約分のどこでずれたかを調べ、答えだけでなく最初に違った行を直せるようにします。

これまで学んだ位取り、かけ算九九、分数の性質が土台です。復習では全部を最初からやり直す必要はなく、止まった計算につながる決まりまで戻って確かめます。

基本の考え方

四則の意味と、そろえるものの違い

たし算の答えを和、ひき算の答えを差、かけ算の答えを積、わり算の答えを商といいます。名前を暗記するだけでなく、式の中で何を求めているかを言葉にすると、計算の選び方も確かめられます。たとえば、同じ長さのひもを何本か合わせるならかけ算、ある長さの中に同じ長さが何本分あるかを求めるならわり算です。

整数の筆算では、たし算もひき算も同じ位をそろえます。小数でも同じで、3.6 + 0.84なら、小数点を縦にそろえて3.60 + 0.84と考えます。右端の数字をそろえるのではありません。小数部分の末尾に0を補っても大きさは変わらないため、空いている位を見やすくできます。

小数のかけ算では、いったん整数と同じように計算し、最後に小数点の位置を決めます。1.2 × 0.3なら12 × 3 = 36を計算し、小数部分の桁数の合計が2なので0.36です。このとき、積が1.2より小さくても間違いではありません。1より小さい0.3をかけるので、1.2の一部分を求めています。

小数のわり算では、わる数が整数になるように、わられる数とわる数を同じ数だけ10倍、100倍などにします。3.6 ÷ 1.2なら、両方を10倍して36 ÷ 12にします。一方だけを変えると商が変わるので、「同じ数をかけたか」が確認の要点です。なお、0でわる計算はできません。0 ÷ 5 = 0と、5 ÷ 0を混同しないようにします。

分数のたし算・ひき算でそろえるのは分母です。分母が違うと1つ分の大きさが違うため、分子だけをたせません。1/2 + 1/3では、通分して3/6 + 2/6 = 5/6とします。分母の6は、同じ大きさに分けた1つ分の目印なので、たした後も6のままです。

一方、分数のかけ算では通分は必要ありません。分母どうし、分子どうしをかけ、約分できるところを整理します。2/3 × 3/5は、分子と分母にある3をそれぞれ3でわると2/5です。分数のわり算は、わる数を逆数にしてかけます。2/3 ÷ 4/5なら2/3 × 5/4 = 5/6です。逆数は、かけると1になる数のことで、0の逆数はありません。

数の表し方を変えても、大きさは変えない

0.75は0.01が75個なので75/100です。分子と分母を25でわると3/4になります。このように、整数・小数・分数は別々の世界の数ではなく、同じ大きさを異なる形で表せます。図1のように、同じ長さの帯を同じだけ塗ると、その対応が目で確かめられます。

図1では、上の帯は100等分のうち75個分、下の帯は4等分のうち3個分を塗っています。色の終わる位置が同じなので、0.75 = 75/100 = 3/4です。「小数を分数に変えたら大きさも変わる」と感じるときは、式の書き換えとこの位置を対応させます。

小数が混じる式を、いつも必ず分数に直すわけではありません。0.5 + 1/4なら、1/4を0.25にしても、0.5を1/2にしても求められます。ただし、1/3のように小数で表すと同じ数字が続く数は、途中で0.3に置き換えてはいけません。0.3は3/10であり、1/3と等しくないからです。正確な計算では、分数にそろえる方が扱いやすい場合があります。

帯分数をかけ算・わり算に使うときは、先に仮分数に直します。1 と 1/2は、1を2/2と考えるので3/2です。整数も、3 = 3/1のように分母が1の分数で表せます。たし算・ひき算では帯分数のまま考える方法もありますが、混合計算では仮分数にそろえると計算の流れを追いやすくなります。

順序を決めてから、式を短くする

計算の順序は、まずかっこの中、次にかけ算・わり算、最後にたし算・ひき算です。かけ算とわり算の間に優劣はなく、両方が続くときは左から計算します。たし算とひき算も同じです。12 ÷ 3 × 2なら、12 ÷ 3 = 4、4 × 2 = 8となります。3 × 2を先にすると、かっこのない式を12 ÷ (3 × 2)という別の式に変えてしまいます。

決まりを使って式を組み替える工夫もできます。25 × 4 × 3は、先に25 × 4を計算すると100 × 3になります。かけ算だけなら、まとまりを変えても積は変わりません。たし算でも、組み合わせや順序を変えて和を求められます。一方、ひき算やわり算を同じ感覚で入れ替えることはできません。

分配法則は、かける数をいくつかに分けて計算する決まりです。たとえば、7 × (10 + 2) = 7 × 10 + 7 × 2です。7個ずつのまとまりが12組あるなら、10組と2組に分けて数えても合計は変わりません。逆向きに使えば、7 × 10 + 7 × 2を7 × (10 + 2)とまとめられます。工夫する際は、共通する数が何かを言えることが大切です。

例題で解き方を確かめる

例題1　かけ算とわり算が続く整数の式

48 − 18 ÷ 3 × 2を計算します。数字は整数だけですが、順序を間違えると答えが変わります。計算を始める前に、18 ÷ 3 × 2の部分を先にすることを確かめましょう。

1. 最初に18 ÷ 3 = 6を求めます。かけ算とわり算は同じ優先順位なので、左にあるわり算から進めるためです。
2. 式全体を48 − 6 × 2と書き直し、6 × 2 = 12を求めます。ひき算より、残っているかけ算を先にするためです。
3. 48 − 12 = 36を計算します。かけ算・わり算を終えてから、最後のひき算を行います。

答え：36です。

途中の式を残すと、48 − 18を先に計算していないか、18 ÷ 6に変えていないかを確認できます。「わり算が終わったから次はひき算」と判断せず、書き直した式にかけ算が残っているかを見るのが要点です。

等号は、左右の数の大きさが等しいことを示します。48 − 18 ÷ 3 × 2 = 6と書くと、式全体の答えが6だという意味になります。部分の計算をメモするときは別の場所に18 ÷ 3 = 6と書き、式の続きを書くときは48 − 6 × 2を丸ごと残してください。

例題2　かっこと小数点に気をつける式

(3.6 + 0.84) ÷ 1.2を計算します。かっこがあるので、たし算をわり算より先にします。筆算を使う場合も、先にどの部分を計算するかを決めてから数字を並べます。

1. かっこの中を3.60 + 0.84 = 4.44と計算します。同じ位をそろえるため、小数点の位置を合わせます。
2. 4.44 ÷ 1.2を44.4 ÷ 12に直します。わる数を整数にし、商を変えないために両方を10倍します。
3. 44.4 ÷ 12 = 3.7を求めます。筆算では、わられる数の移した後の小数点の真上に、商の小数点を打ちます。
4. 3.7 × 1.2 = 4.44を確かめます。商にわる数をかけてわられる数に戻るので、わり算の答えを確認できます。

答え：3.7です。

筆算で44の中に12がいくつあるかを考えると3個です。44 − 36 = 8の後、次の4を下ろすと84になり、84 ÷ 12 = 7となります。この7は商の一の位ではなく、小数第一位に入ります。整数の計算と同じ手順に見える部分でも、小数点の場所は別に確かめましょう。

答えが37になった場合は、かけ算の九九よりも小数点の位置を疑います。4.44を1.2でわるので、商は4.44より小さくなるはずです。この大小関係でも37は合わないと気づけます。

例題3　帯分数・小数・分数が混じる式

1 と 1/2 − 0.75 ÷ 3/5を計算します。帯分数を含みますが、最初にするのはわり算です。ここでは0.75を3/4に直し、分数でそろえて進めます。

1. 1 と 1/2を3/2、0.75を3/4に直します。式全体は3/2 − 3/4 ÷ 3/5となり、同じ表し方で計算を続けられます。
2. 3/4 ÷ 3/5を3/4 × 5/3に直します。わる数3/5の逆数が5/3だからです。わられる数3/4はそのままにします。
3. 3/4 × 5/3 = 5/4を求めます。分子と分母の3を約分すると、小さい数で計算できます。
4. 3/2 − 5/4を6/4 − 5/4 = 1/4と計算します。ひき算では分母を4にそろえ、同じ大きさの何個分かを比べます。

答え：1/4です。

0.75 ÷ 3/5の答えが0.75より大きいことにも意味があります。3/5は1より小さい数なので、それでわると商はわられる数より大きくなります。5/4は1.25なので、最後は1.5から1.25をひく計算になっていると確かめられます。

この式で1 と 1/2 − 0.75を先にすると、計算の順序が変わってしまいます。数の形をそろえる操作は先に行って構いませんが、演算を実行する順序は守ります。「分数への書き換え」と「たす・ひくなどの計算」を分けて考えてください。

例題4　共通する数に注目する工夫

2.4 × 3/8 + 2.4 × 5/8を計算します。それぞれの積を求めてからたしても解けますが、2つの積に同じ2.4があることに注目すると、途中の計算を短くできます。

1. 2.4が両方の積にあることを確かめます。共通する数をまとめる分配法則が使えるためです。
2. 2.4 × (3/8 + 5/8)と書き直します。2.4の3/8倍と5/8倍を合わせる計算だからです。
3. かっこの中を3/8 + 5/8 = 8/8 = 1とします。分母が同じなので、分子をたせます。
4. 2.4 × 1 = 2.4を求めます。ある数に1をかけても、その数の大きさは変わりません。

答え：2.4です。

図2のように、長さ2.4 mのひもを8等分し、そのうち3個分と5個分に分けると考えられます。左の部分も右の部分も、同じ全体2.4 mをもとにしています。

図2の左側は2.4 × 3/8 = 0.9、右側は2.4 × 5/8 = 1.5に対応します。別々に求めた0.9 mと1.5 mを合わせても2.4 mになり、まとめて計算した答えと一致します。工夫の意味が見えにくいときは、まずこの2通りを比べると納得しやすくなります。

共通する数があるかどうかは、式を変える前に確かめます。たとえば片方の2.4が別の数になれば、今と同じまとめ方はできません。分数が合わせて1になることだけでなく、「同じ全体の何倍か」を見ていることがこの工夫の条件です。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　かけ算は、わり算より必ず先だと思う

誤った書き方：24 ÷ 6 × 2 = 24 ÷ 12 = 2です。6 × 2を先にしていますが、かけ算とわり算は同じ優先順位です。かっこがないので、左から進める必要があります。

正しい書き方：24 ÷ 6 × 2 = 4 × 2 = 8です。「かけ算から」と覚え直すのではなく、「かけ算とわり算の仲間を見つけ、その中で左から」と声に出します。24 ÷ (6 × 2)なら答えは2になるので、かっこの有無が計算の指示を変えていることも比較できます。

直すときは、最初に計算する2つの数と記号を囲みます。答えが違ったからと全行を消す前に、誤って囲んだ部分を確かめると、次の問題でも同じ確認ができます。

誤り2　小数点を動かすのが、わる数だけになる

誤った書き方：0.6 ÷ 0.2 = 0.6 ÷ 2 = 0.3です。わる数だけを10倍すると、もとの商と同じにはなりません。商を保つには、わられる数も同じ10倍にする必要があります。

正しい書き方：0.6 ÷ 0.2 = 6 ÷ 2 = 3です。図3のように、0から0.6までに0.2の長さが何個入るかを数えると、3個であることを確かめられます。

図3の小さい目盛りは0.1ずつで、矢印1本が0.2を表します。0.2ずつ3回進むと0.6に着くので、商は3です。数直線で考えると、わり算だから答えが小さくなるはずだという思い込みも見直せます。

「両方の小数点を同じだけ右へ」と言うだけで止まる場合は、単位を変える説明もできます。0.6 mを0.2 mずつに分けることは、60 cmを20 cmずつに分けることと同じです。表した数は変わっても、何本分あるかは変わりません。

誤り3　たし算でも、分子と分母を自由に約分する

誤った書き方：2/3 + 1/2 = 1/3 + 1/1 = 4/3です。最初の分子2と次の分母2をそれぞれ2でわっていますが、たし算をはさんだ別々の分数に、かけ算と同じ約分はできません。もとの2/3も1/2も、大きさが変わっています。

正しい書き方：2/3 + 1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6 = 1 と 1/6です。たし算では先に通分してから分子をたします。対して2/3 × 1/2なら、全体を1つの積として見られるため、2を約分して1/3にできます。

見た目が似た数を探す前に、間の記号を確かめましょう。「たすから1つ分の大きさをそろえる」「かけるから積の分子と分母を整理する」と区別します。わり算では、まず逆数をかける形に直してから約分すると、逆数にする数を取り違えにくくなります。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

解く前に、最初に計算する部分を1か所示してください。その後、1行に1つのまとまりを計算するつもりで途中の式を残します。答えだけが一致していても、順序や小数点が説明できない場合は、その行をもう一度確かめましょう。

練習1

72 − 24 ÷ 4 × 3を計算します。かけ算とわり算の順序を確かめる問題です。最初に72 − 24をしないことに加え、4 × 3から始めないことにも気をつけます。

練習2

(2.75 + 0.85) ÷ 0.9を計算します。かっこの中の筆算では位をそろえ、わり算では両方を同じだけ10倍します。答えが、かっこの中の数より大きいか小さいかも考えます。

練習3

2 と 1/4 − 0.5 ÷ 2/3を計算します。小数と帯分数を分数に直し、わり算を先にします。途中で求めた商を、もとの式のどこへ戻すかが確認の要点です。

練習4

3.6 × 7/12 + 3.6 × 5/12を計算します。共通する数をまとめる方法で解いてから、それぞれの積を求める方法でも確かめます。2つの方法が同じ答えになる理由も、短い言葉で説明してみましょう。

答えと解説

練習1の答えは54です。24 ÷ 4 = 6、6 × 3 = 18なので、式全体は72 − 18 = 54となります。途中で72を消さず、まだ計算していない部分を残せたか確認してください。

練習2の答えは4です。2.75 + 0.85 = 3.60なので、3.6 ÷ 0.9 = 36 ÷ 9 = 4です。1より小さい0.9でわっているので、商4は3.6より大きくなります。4 × 0.9 = 3.6と戻しても確かめられます。

練習3の答えは1 と 1/2です。9/4 − 1/2 ÷ 2/3 = 9/4 − 1/2 × 3/2 = 9/4 − 3/4 = 6/4です。最後に約分すると3/2、帯分数に直すと1 と 1/2になります。6/4のままで止まらず、約分できるかも見直します。

練習4の答えは3.6です。3.6 × (7/12 + 5/12) = 3.6 × 1 = 3.6となります。別々に計算すると2.1 + 1.5 = 3.6です。同じ3.6の7/12倍と5/12倍を合わせるので、もとの3.6に戻ると説明できます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

計算の順序や数のそろえ方は、面積・体積、割合、速さなどの問題でも使います。文章から式を作れた後に計算で止まると、考え方のどこが難しかったのかが見えにくくなります。式を作る場面と計算する場面を分けて確かめると、必要な復習を選べます。

家庭で5分ほど確かめる方法の1つ目は、練習1の式を見せて、計算せずに順序だけを説明してもらうことです。次に、最初の計算をした後の式を書いてもらいます。数字を小さく計算する力と、式全体を保つ力を分けて見られます。

2つ目は、紙に0.5、1/2、0.75、3/4を書き、同じ大きさの組を作ってもらうことです。理由を聞いて止まったら、帯を等分して色を塗り、どこまでが同じ長さかを一緒に確かめます。暗記した組を答えるだけでなく、小数から分数に直す途中を1つ書ければ十分です。

個別指導で確かめる際は、通分が止まるなら倍数や等しい分数まで、小数点がずれるなら位取りまで戻ります。できている四則まで一律に繰り返すのではなく、間違いが始まった行に必要な決まりを確認します。

まとめ

ノートに違う答えが出たとき、消す前の途中式は手がかりになります。最初に選んだ計算、書き換えた分数、動かした小数点を追えば、どの決まりをもう一度確かめるかを絞れます。保護者の方も、正解を伝える前に「この行は、前の行と同じ大きさかな」と聞いてみてください。

長い計算を支えるのは、頭の中ですべてを片づける速さではありません。まだ計算していない部分を残し、変えた部分の理由を言葉にすることで、式の流れが見えるようになります。途中式の1行には、答えの丸だけでは見えない理解が表れます。