【小6算数】比と比の値を図解で総まとめ—等しい比・比を簡単に・比例配分｜武蔵野個別指導塾

赤白の玉の個数やリボンの長さを使い、比の値、整数・小数・分数の比の整理、全体を分ける比例配分を線分図と4つの例題で確かめ、家庭での声かけにつなげます。

よくあるのは、校庭のベンチで赤組と白組の玉の個数をメモし、「赤が8個、白が12個なら、比は8:12」と書けたのに、「簡単にすると2:3」と聞いて手が止まるという場面です。玉を取り除いていないのに、なぜ数を小さくしてよいのでしょうか。さらに、比の値を尋ねられると、2:3と書くのか、2/3と書くのかも迷います。

比は、実際の個数そのものだけでなく、2つの数量の大きさの関係を表す道具です。赤を同じ大きさのまとまり2つ、白をそのまとまり3つとして見ると、8:12と2:3がつながります。この「同じ大きさのまとまり」という見方が、全体を決められた比で分ける問題にも役立ちます。

お子さまが計算を始める前に、「前の数は何の数かな」と尋ねてみてください。数量の順番と、何を1つ分にするかが決まれば、式を自分で選びやすくなります。ここから、比の読み方、等しい比の作り方、全体の分け方を順に確かめましょう。

この単元で身につけること

• 比を使って2つの数量の関係を表します。赤:白のように数量の名前を先に書き、名前と数の順番をそろえます。
• 比の値を求めます。前の数を後ろの数でわり、後ろの数量を1と見たときの前の数量の大きさを表します。
• 等しい比を見つけます。両方の数に同じ数をかけたり、両方の数を同じ数でわったりすると、数量の関係が保たれます。
• 比を簡単な整数の比に直します。整数では共通にわれる数、小数では10倍や100倍、分数では分母の公倍数を使います。
• 決められた比に全体を分けます。比の数を足して全体が何こ分かを調べ、1こ分の量からそれぞれの量を求めます。

前に学んだわり算、分数の約分、割合の「もとにする量」の考え方が、比の学習の土台になります。計算の答えだけでなく、「2は赤の何こ分を表す数」「5は全体の何こ分を表す数」と説明できることを目標にします。数に意味を添えると、似た式の使い分けも確かめられます。

基本の考え方

比は同じ大きさのまとまりで比べます

赤い玉が8個、白い玉が12個あるとき、赤い玉の個数と白い玉の個数の比は8:12です。「8対12」と読みます。間の「:」は比を表す記号です。赤:白という順番で書いているので、先の8が赤、後ろの12が白に対応します。白:赤を求めるなら、12:8と順番を入れ替えます。

ここで、どちらの玉も4個ずつのまとまりに分けてみます。赤は8÷4=2で2まとまり、白は12÷4=3で3まとまりです。もとの玉の個数を変えずに、数えるまとまりの大きさを変えました。このことから、8:12と2:3は等しい比だとわかります。

図1のように、1つの枠に入る玉をどちらも4個にそろえることが大切です。赤だけ2個ずつ、白だけ4個ずつに分けて、まとまりの数を比べることはできません。物差しの目盛りをそろえるのと同じように、比でも共通の1こ分を使います。

図1では、上の段が2まとまり、下の段が3まとまりです。2:3の2と3には「個」という単位を付けません。2個と3個の組にも、8個と12個の組にも、同じ関係を表す2:3が使えるからです。比だけを見ても、実際の玉の個数が必ず2個と3個だと決まるわけではありません。

長さの比を表すときは、数を並べる前に単位をそろえます。1 mと50 cmなら、1 m=100 cmなので、長さの比は100:50=2:1です。1:50ではありません。数のそばにある単位まで読む習慣が、比の計算を正しく始める助けになります。

比の値は前の数を後ろの数でわった数です

2:3の比の値は、2÷3=2/3です。後ろの数量である白を1と見たとき、前の数量である赤は2/3に当たる、という意味です。8:12でも8÷12=8/12=2/3になるので、比の値が同じです。比の値が等しい比を、等しい比といいます。

比は「2:3」のように2つの数を並べて関係を表し、比の値は「2/3」のように1つの数で表します。問われているものが比なのか比の値なのかによって、答えの形が変わります。「比を簡単にしましょう」なら2:3、「比の値を求めましょう」なら2/3と書きます。

順番を逆にした3:2の比の値は、3÷2=3/2です。これは白の個数を赤の個数と比べた値です。赤を白と比べるのか、白を赤と比べるのかで、もとにする数量が変わります。比の値が1より小さいときは前の数量が後ろより小さく、1より大きいときは前の数量が後ろより大きいことも確かめられます。

注意したいのは、2:3の比の値2/3は「赤が全体の2/3」という意味ではないことです。全体は2+3=5こ分なので、赤は全体の2/5、白は全体の3/5です。白をもとにするなら2/3、全体をもとにするなら2/5です。どちらも赤についての割合ですが、もとにする数量が違うため数も違います。

家庭で説明するときは、「後ろの白を1にして赤を見るのか、全部を1にして赤を見るのか、指で示してみよう」と伝えます。式の数字だけで決めず、対象を図で指すと、わる数を選ぶ理由が見えます。なお、比の値を求めるとき、後ろの数を0にすることはできません。0でわる計算はできないためです。

等しい比を使って簡単な整数の比に直します

2:3の両方を2倍すると4:6、両方を4倍すると8:12になります。共通の1こ分を同じように増やしているので、どちらも等しい比です。反対に、8:12の両方を4でわると2:3になります。等しい比を作るときに使う数は0以外とし、この単元の量を表す問題では0より大きい数を使います。

「比を簡単にする」とは、比の関係を変えず、できるだけ小さい整数の比に直すことです。8:12を4:6に直しても等しい比ですが、4と6はまだ両方とも2でわれます。最後の2と3には1より大きい共通の約数がないので、そこで終わります。最初から最大公約数の4でわると、一度で簡単にできます。

小数や分数が混じる場合も、原則は同じです。両方に同じ数をかけて、まず整数に直します。小数は小数点以下の桁数、分数は分母に注目すると、何倍すれば整数になるかを考えられます。整数になったあと、まだ両方を共通にわれる数がないか確認します。「整数に直す」と「できるだけ小さくする」の2段階を区別しましょう。

分数の約分と比を簡単にする計算はよく似ています。どちらも共通の数でわって大きさの関係を保ちます。ただし、答えが比なら「:」で結び、比の値ならわり算の結果を書きます。計算の途中で答えの形を見失わないよう、問題文の「比」「比の値」にそれぞれ印を付けるとよいでしょう。

例題で解き方を確かめる

例題1　整数の比と比の値

赤い玉が18個、白い玉が24個あります。赤い玉の個数と白い玉の個数の比を簡単にし、その比の値も求めましょう。

1. 数量の順番を確かめ、赤:白=18:24と書きます。求める順番を固定するため、計算より先に名前を置きます。
2. 18と24の最大公約数6で、両方の数をわります。18÷6=3、24÷6=4なので、18:24=3:4です。同じ6個を1まとまりとして数え直しています。
3. 比の値は前の数を後ろの数でわって求めます。3÷4=3/4です。もとの数で18÷24=18/24=3/4としても、同じ値になります。

答え：簡単にした比は3:4、比の値は3/4です。

赤は白より少ないので、赤を白と比べた比の値が1より小さいことも合っています。4:3と書いてしまったときは、約分をやり直す前に「赤が先」という条件へ戻ります。正しい計算でも、数量の対応が逆なら求める答えにはなりません。

例題2　小数で表された比

青いリボンの長さは0.6 m、黄色いリボンの長さは0.9 mです。青いリボンの長さと黄色いリボンの長さの比を、簡単な整数の比にしましょう。

1. どちらも単位がmなので、そのまま青:黄=0.6:0.9と書きます。単位がそろっていることを確認してから、数を比べます。
2. 両方を10倍します。0.6×10=6、0.9×10=9なので、0.6:0.9=6:9です。両方とも小数第一位までの数なので、10倍すれば整数になります。
3. 6と9を共通にわれる3でわります。6÷3=2、9÷3=3なので、6:9=2:3です。2と3はこれ以上共通の数で小さくできません。

答え：青いリボンと黄色いリボンの長さの比は2:3です。

10倍するのは、リボンを実際に長くする作業ではありません。等しい比の中から整数で表せるものを選んでいます。単位をcmに直して60:90としても、両方を30でわれば2:3です。同じ長さの関係を別の数で表しても、最後の簡単な比は一致します。

例題3　分数で表された比

赤いテープの長さは2/3 m、白いテープの長さは5/6 mです。赤いテープの長さと白いテープの長さの比を、簡単な整数の比にしましょう。

1. 赤:白=2/3:5/6と書き、分母の3と6に注目します。両方に同じ数をかけて整数にするため、3と6の公倍数を考えます。
2. 最小公倍数の6を両方にかけます。2/3×6=4、5/6×6=5なので、2/3:5/6=4:5です。共通の数6を使うことで、比の関係が保たれます。
3. 4と5に1より大きい共通の約数がないことを確かめます。これ以上簡単にできないので、4:5が答えです。

答え：赤いテープと白いテープの長さの比は4:5です。

通分して2/3=4/6と見れば、4/6:5/6です。1/6 mを1こ分にすると、赤が4こ分、白が5こ分になります。分母をそろえる意味がつかみにくいときには、長さを測る共通の目盛りを作っていると説明できます。比の値で確かめても、2/3÷5/6=2/3×6/5=4/5となり、4:5の比の値と一致します。

例題4　全体を決められた比に分ける

長さ120 cmのリボンを、短い方と長い方の長さの比が2:3になるように2本に切ります。短い方と長い方は、それぞれ何cmになりますか。切るときに失う長さは考えません。

図2のように、リボン全体を同じ長さの5区間で表します。左の2区間が短い方、右の3区間が長い方です。このように、全体を決められた比に分けることを比例配分といいます。

1. 全体が何こ分かを調べます。短い方が2こ分、長い方が3こ分なので、2+3=5こ分です。120 cmはこの5こ分に当たります。
2. 1こ分の長さを求めます。120÷5=24で、1こ分は24 cmです。図2の等しい1区間の長さを出しています。
3. それぞれの長さを求めます。短い方は24×2=48、長い方は24×3=72です。同じ1こ分の長さに、それぞれのこ数をかけています。
4. 合計と比の両方を確かめます。48+72=120で全体の長さに戻り、48:72は両方を24でわると2:3になります。どちらの条件にも合っています。

答え：短い方は48 cm、長い方は72 cmです。

全体に対する割合で考えると、短い方は120×2/5=48、長い方は120×3/5=72とも求められます。この式の分母5は、比の後ろの3ではなく、全体の2+3から出てきます。まず「1こ分」を求める方法で意味をつかんでから、割合をかける式と結び付けましょう。

同じ2:3でも、「短い方が48 cm」とだけわかっている問題なら、48÷2で1こ分を求めます。「全体が120 cm」なら120÷5です。最初にわる数はいつも比の和になるわけではありません。わかっている長さが図のどこを表すかを指せると、問題の条件が変わっても自分で判断できます。

つまずきやすいところと直し方

比と比の値の答えを取り違えます

誤った書き方は、「赤:白=8:12の比の値は2:3」です。2:3は簡単にした比であり、比の値を表す1つの数にはなっていません。正しい書き方は、「比の値は8÷12=2/3」です。

逆に、「比を簡単にする」という問題への答えを2/3だけにすると、求められた形と違います。お子さまには「2つの数を並べて答える問題かな、わり算の結果を答える問題かな」と尋ねます。比と比の値を横に並べて書き、同じ数量の関係を別の形で表していることを確かめましょう。

両方に同じ数を足してしまいます

誤った書き方は、「2:3は両方に1を足すと3:4なので、等しい比」です。比で保ちたいのは数の差ではなく、一方を1と見たときの他方の大きさです。比の値を比べると、2/3=8/12、3/4=9/12で等しくありません。

正しい書き方の一例は、「2:3は両方を2倍すると4:6なので、等しい比」です。両方を同じ数倍するか、同じ数でわるという操作を、必ず2つの数に対にして書きます。片方だけを倍にしたり、前を2倍、後ろを3倍にしたりすると、共通の1こ分で数えた関係が変わります。

分数の比でも同じです。2/3:5/6で、前だけ3倍、後ろだけ6倍にして2:5とするのは誤りです。整数に直す目的だけを見ると選びやすい操作ですが、同じ数をかけるという条件が抜けています。両方を6倍した4:5へ直し、計算の矢印にどちらも「×6」と書いて確認します。

全体を分けるのに比の値をかけます

誤った書き方は、「120 cmを2:3に分けると、短い方は120×2/3=80 cm」です。2/3は短い方を長い方と比べた値なので、全体の120 cmにかける割合ではありません。残りは120−80=40 cmとなり、短いはずの方が長くなってしまいます。

図3のように、短い方は2こ分、長い方は3こ分、全体は5こ分です。上と下の線分は左端と1区間の長さをそろえています。下の長い方をもとにすれば2/3、上下を合わせた全体をもとにすれば2/5と、比べる相手で分母が変わります。

正しい書き方は、「短い方は120×2/5=48 cm」です。図3で全体の5こ分を確認してから式にすると、なぜ分母が5なのか説明できます。答えを出したあとも「48 cmは120 cmの半分より短い」「残りの72 cmより短い」という大小の確認を入れると、計算の途中では気づきにくい取り違えを拾えます。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

まずは問題ごとに、比べる数量の名前を「:」の前後に書きます。練習4では全体を表す線をかき、同じ長さの区間に分けてから計算してください。途中の数のそばに「1こ分」「全体」などと書くと、答え合わせで考え方まで振り返れます。

練習1

赤いカードが15枚、青いカードが25枚あります。赤いカードの枚数と青いカードの枚数の比を簡単にし、比の値も求めましょう。

練習2

ひもAは0.8 m、ひもBは1.2 mです。Aの長さとBの長さの比を、簡単な整数の比にしましょう。両方にどの数をかけたかも書きましょう。

練習3

容器Aには3/4 L、容器Bには1/2 Lの水が入っています。Aの水の量とBの水の量の比を、簡単な整数の比にしましょう。

練習4

長さ180 cmのひもを、短い方と長い方の長さの比が4:5になるように切ります。切るときに失う長さは考えません。それぞれの長さを求め、合計と比の両方を確認しましょう。

答えと解説

練習1の答えは、比が3:5、比の値が3/5です。15:25の両方を最大公約数の5でわると3:5になります。比の値は15÷25=3/5です。「比」と「比の値」に分けて答えを書けているか確認します。

練習2の答えは2:3です。両方を10倍すると8:12になり、さらに両方を4でわると2:3です。0.8だけを10倍して8:1.2としないよう、2つの数への操作をそろえます。Aの方が短いので、比の前の数が後ろの数より小さいことも合っています。

練習3の答えは3:2です。分母4と2の最小公倍数4を両方にかけると、3/4×4=3、1/2×4=2です。通分して3/4:2/4と見ても、1/4 Lが3こ分と2こ分だと説明できます。Aの水の方が多いため、比の前の数が大きくなります。

練習4の答えは、短い方が80 cm、長い方が100 cmです。全体は4+5=9こ分なので、1こ分は180÷9=20 cmです。20×4=80、20×5=100と求めます。80+100=180、80:100=4:5の両方が確かめられたら、問題の条件を満たしています。

間違えた問題は、すぐに全部を消さず、最初に違いが出た行へ戻ります。順番が逆だったのか、等しい比への直し方だったのか、全体のこ数だったのかを一つ選びます。その行だけ説明し直してから続きを計算すると、自分が修正した理由も残せます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

比で身につけた「両方を同じ数倍する」という見方は、拡大図と縮図で対応する辺の長さを比べるときに使います。また、片方の量を増やすともう片方も同じ割合で増える関係を調べるときにも役立ちます。比を単なる数の組として覚えず、数量の名前と結び付けて読むことが、次の単元への準備になります。

家庭では、次の2つを合わせて5分ほどで確かめられます。最初の2分では、紙に赤い丸を4個、青い丸を6個かき、2個ずつ囲んで簡単な比を答えてもらいます。「2と3は何の数かな」と聞き、まとまりの数だと説明できるか見ます。丸を増やす必要はなく、囲み方を変えてももとの個数が残っていることを確認します。

残りの3分では、長い紙の帯に等間隔の印を付けて5区間を作り、「全体を2:3に分けるなら、どこで分けるかな」と尋ねます。区切りを指せたら、全体、短い方、長い方を順に指してもらいます。計算を増やすより、同じ図から3つの数量の対応を読み取れるかを確かめます。

個別指導で確かめるときも、比の計算で止まった理由に合わせて戻る場所を変えます。共通の数でわれなければ約数や約分へ、全体の何こ分かを選べなければ等分と線分図へ戻り、どの段階から自分で説明できるかを見ます。

まとめ

比の問題で式が出てこないときは、答えの数を急いで探さず、比べる数量の名前を紙に戻してみます。名前が置ければ、順番を決め、同じ1こ分を作り、わかっている量が図のどこに当たるかを考えられます。計算の誤りを直す手がかりも、式の外にある数量の意味から見つかります。

2:3を見て「全部で5こ分だから」と言えたとき、比例配分の最初のわり算には理由が生まれます。比の2と3は品物に貼り付いた個数ではなく、2つの数量を同じ物差しで数えた関係です。