【小5算数】単位量あたりの大きさを図解で総まとめ—人口密度・混みぐあい・1 m あたり・比べ方｜武蔵野個別指導塾

広さも人数も違う場所の混みぐあいを、面積図と式で確かめます。人口密度、リボンの1 mあたりの値段、燃費の例題を通して、何を1にそろえ、計算結果をどう比べるかを家庭で順に確認できます。

よくあるのは、夏休みの課題の山から算数のプリントを取り出し、「どちらが混んでいますか」という問題で手が止まる場面です。片方は人数が多く、もう片方は場所がせまいので、どちらにも理由がありそうに見えます。わり算を使うことは思い出せても、人数を面積でわるのか、面積を人数でわるのかが決まりません。

この迷いは、計算が苦手だからとは限りません。違う広さの場所を、そのまま比べようとしていることが原因の場合もあります。同じ広さにそろえれば、人数の違いを見ればよくなります。その「同じ広さ」を 1 m² にすると、いろいろな場所を同じ方法で比べられます。

単位量あたりの大きさは、混みぐあいだけでなく、リボンの値段や車の燃料の使い方にも役立ちます。お子さまが式を説明するときは、答えの数字だけでなく、「何あたりの、何の大きさか」まで言えることを目指しましょう。そこが決まると、式の順番と答えの比べ方がつながります。

この単元で身につけること

• 2つの量を組にして読むことです。混みぐあいなら人数と面積、値段なら代金と長さのように、比べるために必要な量を取り出します。
• そろえる量を決めることです。広さを同じにして人数を比べるのか、人数を同じにして広さを比べるのかを、言葉で選びます。
• 1あたりの大きさをわり算で求めることです。たとえば「1 mあたりの値段」は、代金を長さでわって求めます。式のそばに求めるものも書きます。
• 数の大小を場面に戻して判断することです。1 m²あたりの人数は多いほど混んでいますが、1人あたりの面積は小さいほど混んでいます。
• 1あたりから全体へ戻すことです。単位量あたりの大きさに、いくつ分かをかければ全体の量を求められます。答えの確かめにも使えます。

これまでのわり算で学んだ「同じ数ずつに分ける」「1つ分を求める」という考え方が土台になります。小数のわり算や平均の学習ともつながりますが、この単元では特に、異なる種類の2つの量を結びつけて読むことが必要です。計算だけを急がず、数の横の単位まで見てから式を立てます。

基本の考え方

人数と広さをいっしょに見る

同じ広さの部屋なら、人数が多いほうが混んでいます。同じ人数なら、せまい部屋のほうが混んでいます。ところが、広さと人数の両方が違う場合は、どちらか片方の数だけでは判断できません。「20人は18人より多い」ということと、「20人の場所のほうが混んでいる」ということは別です。

ここでは、Aの場所は 6 m² に18人、Bの場所は 8 m² に20人いるとします。図1のように、同じ大きさのますに区切ってみましょう。1ますが 1 m² で、丸1つが1人です。図は、広さと人数の関係を見やすくするために、人を並べ直して表しています。

Aは6ますに18人なので、1ますあたりの人数は 18 ÷ 6 = 3 です。Bは8ますに20人なので、1ますあたりの人数は 20 ÷ 8 = 2.5 です。1 m²あたりで比べると 3 > 2.5 となり、Aのほうが混んでいます。図1のBは、3人のますと2人のますが同じ数だけあるため、ならすと1ますあたり2.5人になります。

実際に半分の人がいるわけではありません。これは広さ全体について、同じように人がいると考えたときの人数です。入口の近くに人が集まっているか、すみに空きがあるかまでは、この数だけではわかりません。算数の問題では、場所全体の混みぐあいを、このようなならした数で比べます。

広さを 24 m² にそろえる方法でも確かめられます。Aと同じ混みぐあいの場所を4つ分考えると、面積は 6 × 4 = 24、人数は 18 × 4 = 72 です。Bは3つ分で、面積は 8 × 3 = 24、人数は 20 × 3 = 60 です。同じ広さに72人と60人なので、やはりAのほうが混んでいます。1にそろえる方法は、この「同じ条件を作る」という考えを使いやすくしたものです。

「1あたり」を式の前に書く

1 m²、1 m、1 L、1人など、ある量を1にそろえて表した大きさを、単位量あたりの大きさといいます。「単位量」という言葉だけでは難しく感じますが、「1 m分ならいくらか」「1 L分ならどれだけ走るか」と読み替えると、求めるものがはっきりします。

求め方の基本は、比べたい量を、1にそろえたい量でわることです。「1 m²あたりの人数」なら 人数 ÷ 面積、「1 mあたりの値段」なら 代金 ÷ 長さ です。「あたり」の前に書かれた量に注目し、それを1にするためにわる、と確かめましょう。ただし、この言葉の順番だけを暗記するのではなく、同じ大きさに分ける場面も思い浮かべます。

たとえば、3 mで450円のリボンは、同じリボンを1 mずつ3つに分けたと考えます。代金も同じ3つ分に分けるので、450 ÷ 3 = 150 です。「1 mあたり150円」と書けば、150が何を表す数なのかが残ります。「150円」だけを答えにする場合でも、途中の説明には1 mあたりという言葉を添えましょう。

逆に、1 mあたり150円なら、3 mの代金は 150 × 3 = 450 です。同じ種類のリボンで、長さに応じて代金が決まるという条件のもとで、1あたりから全体へ戻せます。わり算とこのかけ算を行き来できると、代金と長さを逆にわった誤りも見つけやすくなります。

人口密度と燃費にも同じ考えを使う

土地の混みぐあいを人口で表すときには、人口密度という言葉を使います。人口密度は、ふつう 1 km²あたりの人口で表し、人口 ÷ 面積 で求めます。町全体の人口が多くても、面積がとても広ければ、人口密度は小さくなることがあります。人口そのものと人口密度は、別々に読む必要があります。

人口密度を比べる前には、面積の単位を確認します。一方が km²、もう一方が m²のままで計算すると、1あたりの広さがそろいません。また、1 km² は、一辺が 1 km の正方形の面積です。一辺を mで表すと1000 mなので、1000 × 1000 = 1000000 より、1 km² = 1000000 m² です。長さの換算と面積の換算を混ぜないようにします。

車の燃費も、2つの量を結びつけた表し方です。このあと扱う問題では、「1 Lの燃料で走れる道のり」を燃費として比べます。道のり ÷ 燃料の量 で求め、同じ燃料で遠くまで走れるほうを、燃費がよいといいます。1 Lあたりの道のりを表す km/L は、「1 Lあたり何 km」と読みます。

実際の走り方によって燃料の使い方は変わりますが、問題では示された道のりと燃料の量を使って比べます。人数と面積、代金と長さ、道のりと燃料と、量の名前は変わっても、1にそろえる考え方は共通です。保護者の方は「まず、同じにして比べたいのはどちらの量かな」と声をかけると、式を教える前に考えを確かめられます。

例題で解き方を確かめる

例題1　どちらの場所が混んでいるか

Pの場所は 12 m² に30人、Qの場所は 15 m² に36人います。場所全体の混みぐあいを比べます。どちらが混んでいますか。

1. 1 m²あたりの人数を求めると決めます。広さを同じにすれば人数で比べられるので、両方とも 人数 ÷ 面積 の式にします。
2. Pは 30 ÷ 12 = 2.5 です。12 m²全体の30人を、1 m²ずつの広さにならしたと考えるため、12でわります。
3. Qは 36 ÷ 15 = 2.4 です。Pと同じ「1 m²あたりの人数」を求めないと、結果を並べて比べられません。
4. 2.5 > 2.4 なのでPを選びます。同じ 1 m²にいる人数が多いほうが、混んでいるためです。

答え：Pの場所のほうが混んでいます。

Qは合計の人数が多いものの、場所も広くなっています。「36人のほうが多いからQ」と答えたときは、わり算をやり直す前に「広さは同じですか」と確かめます。また、2.5人と2.4人の小数部分を両方とも切り捨てると、ともに2人になって違いが消えるため、求めた小数のまま比べます。

例題2　町の人口密度を求める

ある町の人口は43200人、面積は 24 km² です。この町の人口密度を求めましょう。さらに、この町と同じ人口密度の地域が 5 km² あると考えたとき、その地域の人口を求めましょう。

1. 人口密度を「1 km²あたりの人口」と読み替えます。町全体の人口だけを答える問題ではないので、面積を1にそろえます。
2. 43200 ÷ 24 = 1800 と計算します。24 km²の人口を24でわると、1 km²あたりの人口が求められるためです。
3. 5 km²の人口は 1800 × 5 = 9000 です。同じ人口密度なら、1 km²分の1800人が5つ分あると考えられます。
4. 1800 × 24 = 43200 と確かめます。求めた1あたりの人口を町全体の広さ分に戻し、問題の人口と一致するかを見るためです。

答え：人口密度は1 km²あたり1800人、同じ人口密度の5 km²の地域は9000人です。

ここで求めた9000人は、同じ人口密度という条件を使った答えです。実際の町のどこかを 5 km² 切り取れば、必ず9000人が住んでいるという意味ではありません。人口密度は、町全体の人口と広さの関係を一つの数で表しているからです。

例題3　1 mあたりの値段を比べる

同じ用途に使うリボンが、Aは3 mで450円、Bは4 mで560円です。どちらの1 mあたりの値段が安いですか。それぞれ、長さに応じて代金が決まるものとします。

1. 比べるものを「1 mあたりの値段」と書きます。合計の代金だけでは、長さの違いが残ってしまうためです。
2. Aは 450 ÷ 3 = 150 で、1 mあたり150円です。3 mと450円をどちらも3でわり、長さを1 mにします。
3. Bは 560 ÷ 4 = 140 で、1 mあたり140円です。こちらも長さと代金を同じ数でわって、Aと条件をそろえます。
4. 140 < 150 なのでBを選びます。1 mあたりの値段は、金額が小さいほうが安いためです。

答え：Bのリボンのほうが、1 mあたりの値段が安いです。

図2のように、代金と長さの数直線を上下に並べると、同じ位置にある数が対応します。Aでは1 mの上が150円、3 mの上が450円です。Bでも1 mと140円、4 mと560円が対応しています。

図2では、AとBの長さの目盛りは同じ間隔にしてあります。見るのは、両方の1 mの位置にある代金です。450円と560円という端の金額だけを見ると、Aを選びたくなりますが、そこでは長さが違います。「どこの目盛りを見れば、同じ条件になるかな」とたずねると、図と式のつながりを確認できます。

なお、この答えは1 mあたりの値段についてのものです。長さを自由に選べず、3 m入りと4 m入りのどちらかを買うなら、実際に支払う代金は別に考えます。必要な長さも見ずに「いつでもBを買えばよい」とは言えません。問題で尋ねられている量を、最後まで保つことが大事です。

例題4　1 Lで走れる道のりを比べる

車Aは12 Lの燃料で180 km、車Bは15 Lの燃料で270 km走りました。1 Lあたりに走れる道のりで比べると、どちらの燃費がよいですか。また、それぞれ同じ燃費で90 km走るとき、使う燃料は何 Lですか。

1. 1 Lあたりの道のりを求めます。使った燃料の量が違うので、道のりだけを比べることはできないためです。
2. 車Aは 180 ÷ 12 = 15、車Bは 270 ÷ 15 = 18 です。道のりを燃料の量でわると、1 L分の道のりになります。
3. 18 > 15 なので、車Bのほうが燃費がよいと判断します。同じ1 Lで、より遠くまで走れるためです。
4. 90 km走る燃料は、車Aが 90 ÷ 15 = 6、車Bが 90 ÷ 18 = 5 です。90 kmの中に、1 Lで走れる道のりが何個分あるかを求めると、必要な燃料の量になります。

答え：車Bのほうが燃費がよく、90 km走る燃料は車Aが6 L、車Bが5 Lです。

最初の比較では18 kmという大きい数を選び、あとの比較では5 Lという小さい数の車が燃料を少なく使っています。どちらも車Bですが、選ぶ数字の大小は逆です。「大きいからよい」と覚えるのでなく、その数が道のりなのか、燃料の量なのかを確かめます。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　わる順番が逆になる

誤った書き方は「3 mで450円のリボンの1 mあたりの値段は、3 ÷ 450」です。どこが違うかというと、この式は代金のほうを1円にそろえる考え方になっています。求めたいのは1円で買える長さではなく、1 m分の値段です。

正しい書き方は「1 mあたりの値段は、450 ÷ 3 = 150で150円」です。式に迷ったら、3 mのリボンを1 mずつに分ける絵をかき、450円も3つに分けます。「大きい数を小さい数でわる」と覚えさせると、小数が出たときに使えなくなるため、どちらを1にするのかに戻りましょう。

誤り2　答えが大きいほうをいつも選ぶ

誤った書き方は「90 km走る燃料は車Aが6 L、車Bが5 Lなので、6のほうが大きい車Aの燃費がよい」です。どこが違うかというと、同じ道のりを走るのに使う燃料は、少ないほうがよいという意味を取り落としています。数字の大小だけで結論を選んでいます。

正しい書き方は「同じ90 kmを走る燃料が5 Lと少ないので、車Bのほうが燃費がよい」です。図3のように、左では燃料を1 Lにそろえ、右では道のりを90 kmにそろえると、比べる量が入れ替わることを目で確かめられます。

図3の左では長い棒の車B、右では短い棒の車Bが、どちらも燃費がよい車です。左右は表している量も目盛りの単位も違うので、左の棒と右の棒の長さを直接比べません。左の中、右の中で、それぞれAとBを比べます。

混みぐあいにも同じ注意が必要です。1 m²あたりの人数なら大きいほうが混み、1人あたりの面積なら小さいほうが混みます。1人分の使える場所がせまくなると混み合う、と場面に戻せば、逆の判断になる理由を説明できます。

誤り3　長さの単位をそろえずに比べる

誤った書き方は「200 cmで300円のひもは 300 ÷ 200 = 1.5、3 mで420円のひもは 420 ÷ 3 = 140 だから、初めのひものほうが1 mあたり安い」です。どこが違うかというと、1.5円は1 cmあたり、140円は1 mあたりの値段です。どちらもわり算自体は合っていますが、比べる長さが違います。

正しい書き方は「200 cm = 2 mなので、300 ÷ 2 = 150、420 ÷ 3 = 140。1 mあたりではあとのひものほうが安い」です。表を作るなら、長さの欄を「長さ（m）」としてから数を入れます。計算ができたのに答えが違うときは、計算の前の単位と、計算の後の「何あたり」を両方確認しましょう。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

計算を始める前に、各問題で「何を1にするか」を短く書いてみましょう。途中の式には量の意味を添え、答えでは、求める数や選んだ理由まで言葉にします。図を使いたいときは、長方形や2本の数直線を簡単にかけば十分です。

練習1

Cの場所は 8 m² に28人、Dの場所は 10 m² に32人います。1 m²あたりの人数を求め、どちらが混んでいるか答えましょう。場所全体の混みぐあいを比べるものとします。

練習2

人口54600人、面積 42 km² の町があります。人口密度を求めましょう。また、同じ人口密度で面積が 3 km² の地域を考えたとき、人口は何人になりますか。

練習3

ひもAは250 cmで400円、ひもBは4 mで600円です。1 mあたりの値段が安いのはどちらですか。どちらも長さに応じて代金が決まるものとします。長さの単位をそろえた式を書きましょう。

練習4

車Cは8 Lの燃料で136 km、車Dは10 Lの燃料で160 km走りました。1 Lあたりの道のりを求め、燃費がよい車を選びましょう。また、車Cが同じ燃費で51 km走るとき、使う燃料は何 Lですか。

答えと解説

練習1の答えは、Cが1 m²あたり3.5人、Dが1 m²あたり3.2人で、Cのほうが混んでいます。式は 28 ÷ 8 = 3.5、32 ÷ 10 = 3.2 です。同じ広さにそろえるとCのほうが人数が多くなります。Dの合計人数が多いこととは区別しましょう。

練習2の答えは、人口密度が1 km²あたり1300人、3 km²の地域の人口が3900人です。54600 ÷ 42 = 1300 で1 km²あたりの人口を求め、1300 × 3 = 3900 とします。1300 × 42 = 54600 と戻せるので、最初の人口との対応も確かめられます。

練習3の答えは、ひもBです。250 cm = 2.5 mなので、Aは 400 ÷ 2.5 = 160 で1 mあたり160円です。Bは 600 ÷ 4 = 150 で1 mあたり150円です。どちらも1 m分の値段にしてから、150円のほうが安いと判断します。Aは 160 × 2.5 = 400 と戻して確かめられます。

練習4の答えは、Cが1 Lあたり17 km、Dが1 Lあたり16 kmで、燃費がよいのはC、51 km走る燃料は3 Lです。136 ÷ 8 = 17、160 ÷ 10 = 16 と求めます。Cは1 Lで17 km走るので、51 ÷ 17 = 3 です。17 × 3 = 51 という道のりに戻す式も、あわせて確認しましょう。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

単位量あたりの考え方は、次に速さを学ぶときにも使います。1時間あたり、1分間あたりに進む道のりで比べれば、走った時間が違っても速さを比べられます。また、1 mあたりの値段が一定なら、長さが増えると代金がどう変わるかを調べる比例の学習にもつながります。「1あたり」と「全体」の行き来を、今のうちに言葉にしておきましょう。

家庭で5分ほどでできる確かめ方の1つは、練習1の人数と面積を紙に書き、式を立てる前に説明してもらうことです。「1 m²あたりの人数を出す」と言えたら、どちらの数でわるかをたずねます。計算の正誤だけでなく、広さをそろえる理由まで聞くと、理解できている部分が見えます。

もう1つは、練習3の答えを使い、1 mあたりの値段から元の代金へ戻してもらうことです。Bなら「150円の4 m分だから600円」と説明できます。わり算で1あたりを求めるだけで終わらず、かけ算で全体を作れるかを確かめる時間にします。

個別指導で式の順番が定まらない場合は、整数の長さを等しく分ける場面まで戻り、何をいくつに分けているかを確認します。計算はできて比較だけが逆になる場合には、人数と面積、燃料と道のりの名前を答えに書き足し、数字が表す意味を読み直します。

まとめ

単位量あたりの問題で、ノートに残したいのは計算結果だけではありません。「1 m²に何人」「1 mで何円」「1 Lで何 km」と、そろえた条件まで書くと、自分の式を自分で読み直せます。課題の表に数字がいくつも並んでいても、まず同じにする量を一つ選べば、比べる道筋ができます。

途中のわり算が合っていても、違う条件の答えを比べれば結論は変わります。答えの大小を読む前に、その数の意味を一度言葉にしましょう。比べる条件を説明できてこそ、「どちらが混んでいるか」の答えに根拠が生まれます。