【小4算数】直方体と立方体を図解で総まとめ—面・辺・頂点・展開図・見取図・位置の表し方｜武蔵野個別指導塾

箱の見えない辺の数え方から、展開図で向かい合う面の探し方まで、図と例題で順に確かめます。横・たて・高さで位置を表す練習も、家庭での声かけとともに進められます。

よくあるのは、放課後の廊下の掲示板の前で、箱を描いた作品を見ながら「見える平らなところは3つなのに、どうして面は6つなの」と立ち止まる場面です。絵の中で見つけたものを数える力はあっても、裏側や底まで思い浮かべるところで迷います。ここでは数え直すだけでなく、実物の箱と絵とを行き来することが助けになります。

直方体と立方体の学習では、箱の形をことばと図で説明します。面、辺、頂点を区別できると、数える対象がはっきりします。さらに、切り開いた図から箱を組み立てたり、箱の中の場所を3つの数で伝えたりできるようになります。

保護者の方が説明するときも、最初から見えない部分を全部想像させる必要はありません。お子さまと箱を1つ手に取り、「今は隠れているところを探そう」と確かめるところから始めます。手で触れた面と紙に描かれた面を対応させながら、順に考えていきましょう。

この単元で身につけること

• 直方体と立方体を見分けます。面がどんな形か、辺の長さにどんな決まりがあるかを根拠にします。
• 面・辺・頂点を区別して数えます。見えている部分だけでなく、裏側も含めて重なりなく数える方法を身につけます。
• 見取図と展開図を読み、かきます。全体の形を見る図と、切り開いた面のつながりを見る図を使い分けます。
• 垂直・平行の関係を説明します。面どうし、辺どうし、辺と面について、実物のどの部分を比べるかを確かめます。
• 横・たて・高さで位置を表します。出発点、進む向き、単位、数を伝える順番をそろえて、同じ場所を指せるようにします。

長方形・正方形・直角の学習が土台になり、平面の図形で見つけた決まりを、厚みのある形へ広げる単元です。多くの教科書では小4で、箱の形を面や辺の関係まで整理して学びます。形の名前だけを答える段階から、「その形だといえる理由」を説明する段階へ進みます。

基本の考え方

面・辺・頂点を、箱に触れて区別する

箱の表面を作っている平らな部分を面といいます。面と面が交わるまっすぐな線の部分が辺です。辺が集まる点が頂点です。手のひらで触れるところ、指でなぞるところ、指先で指すところ、と分けると、同じ箱でも見る対象が変わることを確かめられます。

直方体は、長方形だけ、または長方形と正方形で囲まれた立体です。立方体は、6つの面がすべて同じ大きさの正方形でできた立体です。直方体には正方形の面が含まれる場合もあります。そのため、正方形を1つ見つけただけでは立方体だと決められません。6つの面全部を調べる必要があります。

直方体も立方体も、面は6つ、辺は12本、頂点は8つです。数が同じでも形が同じとは限りません。立方体では12本の辺の長さがすべて等しくなります。直方体では、縦・横・高さのそれぞれに対応する4本ずつの辺の長さが等しくなります。箱を回しても、この性質は変わりません。

図1のように、上の頂点を順にA、B、C、D、対応する下の頂点をE、F、G、Hと名づけます。たとえば、AとBを結ぶ辺を辺AB、A、B、C、Dで囲まれた面を面ABCDと呼びます。文字は場所を指し示す名札であり、計算に使う数ではありません。

図1では、隠れた辺を破線で表しています。面は上と下で2つ、前と奥で2つ、左と右で2つなので、2 + 2 + 2 = 6です。辺は上の面の周りに4本、下の面の周りに4本、上下をつなぐところに4本あるので、4 + 4 + 4 = 12です。頂点は上に4つ、下に4つあるので、4 + 4 = 8です。この分け方なら、同じ辺を2回数えることを防げます。

見取図と展開図は、役割が違う

図1のように、立体を斜めから見た感じがわかるように描いた図を見取図といいます。前の面だけでなく、上や横も一緒に見えるように描きます。奥へ向かう辺は紙の上では斜めになりますが、実物の角が斜めにゆがんでいるわけではありません。

見取図をかくときは、まず手前の面を長方形でかきます。その4つの頂点から、奥へ向かう線を同じ向き、同じ長さでかきます。次に、その先の頂点どうしをつないで奥の面を作ります。最後に、見えない辺を破線にします。奥へ向かう4本がばらばらの向きだと、閉じた箱の形になりません。

見取図上の長さや角度は、実物とそのまま一致するとは限りません。実物では直角の角も、紙の上では直角に見えないことがあります。問題で長さが示されているときは、その数を使います。紙の上の斜めの線を定規で測って、実物の辺の長さだと考えないようにします。

一方、立体の辺の一部を切り開き、面を平らに広げた図を展開図といいます。展開図では、直方体の長方形の面は長方形のまま、立方体の正方形の面は正方形のまま描きます。どの辺をつないで折るか、どの面が隣り合うかを調べるときに使います。紙工作では、折る線と切る線を先に分けると組み立てやすくなります。

垂直・平行は、実物の関係で考える

直方体では、向かい合う面は平行です。図1の上の面ABCDと下の面EFGHがその例です。どこまで広げても交わらない関係と考えます。また、1本の辺を共有して隣り合う面は垂直です。上の面と前の面は、実物では直角に開いて交わっています。本を直角に開いた形を横から見ると、面どうしの関係を確かめやすくなります。

辺どうしでも垂直・平行を考えます。辺ABと辺EFは同じ向きに延びているので平行です。辺ABと辺AEは頂点Aで直角に交わるので垂直です。ただし、交わらない辺がすべて平行になるわけではありません。辺ABと辺CGのように、交わらず、向きも違う組があります。ここでは特別な名前を覚える必要はなく、「交わらない」だけでは平行と決められないことを押さえます。

辺と面の関係では、縦に立つ辺AEは下の面EFGHに垂直です。床にまっすぐ立てた柱を思い浮かべるとよいでしょう。辺ABは下の面EFGHに平行です。下の面を広げても辺ABとは交わりません。なお、面の中に含まれている辺を、その面に平行な辺として数えないようにします。

例題で解き方を確かめる

例題1　辺の長さの合計を求める

横4 cm、奥行き2 cm、高さ3 cmの直方体があります。この直方体の12本の辺の長さを全部たすと、何cmになりますか。ここで奥行きとは、手前から奥へ向かう長さです。見取図の見かけの長さではなく、問題に書かれた長さで考えます。

1. 4 cmの辺を集めます。上の面に2本、下の面に2本あり、合わせて4本です。同じ向きの辺をまとめると数え落としを防げるので、4 × 4 = 16で16 cmと求めます。
2. 2 cmの辺と3 cmの辺も、それぞれ4本ずつ数えます。箱には3つの向きの辺があるので、2 × 4 = 8、3 × 4 = 12と求めます。
3. 3つの合計をたします。全12本を3つの組に分け終えたので、16 + 8 + 12 = 36です。別の確かめ方として、(4 + 2 + 3) × 4 = 36でも同じ結果になります。

答え：36 cmです。

これは辺の長さの合計を聞く問題です。面の広さを求める問題ではないため、4 × 2だけでは求められません。お子さまには「箱の骨組みを作る棒を、同じ長さごとに集めよう」と伝えると、計算の意味が見えます。

例題2　展開図で向かい合う面を探す

図2は立方体の展開図です。横一列にB、C、D、Eが並び、Bの上にA、下にFがついています。組み立てたとき、面Bと向かい合う面、面Aと向かい合う面をそれぞれ答えましょう。図中の文字は、面につけた名前です。

1. B、C、D、Eの4面を、箱の周りを囲む帯と考えます。4面が順につながっているため、Bの隣がC、その次がD、最後がEとなり、EとBの端が合わさります。
2. Bを手前の面として、Cを右の面に折ります。次のDは奥の面に来るので、Bと向かい合います。向かい合う面は辺を共有しないことも、組み立てた形で確かめます。
3. Aを上の面、Fを下の面に折ります。帯の上下の開いた部分を閉じるため、この2面は向かい合います。広げた紙の上で離れているかどうかではなく、折った後の位置で判断します。

答え：面Bと向かい合う面はD、面Aと向かい合う面はFです。

図2では、残ったCとEも向かい合います。向かい合う面は全部で3組です。展開図を見る向きを変えても、折る順番を変えても、この3組は変わりません。考えにくいときは、同じ配置で6つの正方形を紙にかき、切って確かめます。のりしろは組み立てるための部分で、面の数には入れません。

直方体の展開図でも、面を順に折る考え方は同じです。ただし、面の形や大きさがすべて同じとは限りません。向かい合う面が同じ形・同じ大きさになっているか、貼り合わせる辺の長さが合うかも確かめます。正方形が6つあるだけで立方体にできるとは限らず、折ったときに面が重ならず閉じることが必要です。

例題3　平行な辺と垂直な辺を選ぶ

図1で、辺ABに平行な辺をすべて答えましょう。また、頂点Aで辺ABと垂直に交わる辺をすべて答えましょう。2つめの問いは「頂点Aで」という条件があるので、箱のほかの頂点まで探す必要はありません。

1. 辺ABの向きを確かめます。手前の上で横に延びる辺なので、同じ向きに延びる辺を上と下に分けて探します。基準の辺ABそのものは答えに入れません。
2. 上の奥にある辺DC、下の手前にある辺EF、下の奥にある辺HGを選びます。どれも辺ABと同じ向きで、まっすぐ延ばしても交わらないため平行です。
3. 頂点Aから出る残りの辺ADと辺AEを調べます。直方体の1つの頂点に集まる3本の辺は、それぞれ直角に交わるので、どちらも辺ABに垂直です。見取図で角が細く見える辺ADも含めます。

答え：平行な辺はDC、EF、HG、頂点Aで垂直に交わる辺はAD、AEです。

辺DCを辺CD、辺HGを辺GHと書いても同じ辺を指します。端の名前を逆にしたために、別の辺になったり本数が増えたりすることはありません。保護者の方は「絵の角度より、本物の箱の角を思い出そう」と声をかけると、見かけだけの判断から戻れます。

例題4　3つの数で位置を表す

箱の中の点Pの位置を伝えます。左手前の下の頂点を出発点とし、横は右向き、たては奥向き、高さは上向きに測ると決めます。点Pは横3 cm、たて2 cm、高さ2 cmの位置にあります。横・たて・高さの順に数を並べ、位置を表しましょう。

1. 出発点と向きを確かめます。同じ3という数でも、左から測るか右から測るかで場所が変わるため、数を読む前に共通の決まりを確認します。
2. 横に3 cm、次に奥へ2 cm進んだ底の位置を考えます。横とたてだけでわかるのは底の上の場所までで、高さの違いはまだ表せません。
3. そこから上へ2 cmの点を選びます。高さを加えると箱の中の1つの位置に決まるので、決めた順番で3、2、2と並べます。

答え：横・たて・高さの順に、(3、2、2)と表します。単位はcmです。

この表し方では、かっこの中の数の順番も情報の一部です。(2、3、2)にすると、横とたての位置が入れ替わります。数字が同じ種類でも、場所は同じになりません。次の図3で、出発点から点Pまでの道筋を確かめます。

つまずきやすいところと直し方

見えている部分だけを数える

誤った書き方は「直方体の面は3つ」です。見取図で見える面を数えた点はよいのですが、聞かれているのは箱全体の面の数です。裏側にある面や、机に接している底も、箱を作る面に含まれます。

正しい書き方は「上と下、前と奥、左と右で、面は6つ」です。実物の箱で1面ずつ指し、その面の反対側も確かめます。答えを6と直すだけで終えず、3組を自分で指せるかを見ると、数え方を理解しているかがわかります。辺や頂点でも、上と下に分けて数える方法に戻れます。

展開図で遠い面を向かい合う面だと決める

誤った書き方は、図2を見て「BとEが向かい合う」です。紙の上では離れていますが、組み立てるとEとBは辺を共有して隣り合います。展開図の端にある面どうしが、箱を閉じたときにつながる点が抜けています。

正しい書き方は「BとDが向かい合い、BとEは隣り合う」です。Bを手前に置き、C、D、Eを右、奥、左へ順に折って確かめます。頭の中で全部を一度に動かしにくいときは、1面だけ折ったところで止めます。隣の面がどこへ来るかを確かめてから、次の面へ進むと位置を見失いにくくなります。

位置を2つの数で伝えてしまう

誤った書き方は、例題4の点Pを「横3 cm、たて2 cm」とだけ伝えることです。この情報では、底の上にある点なのか、そこから上へ2 cmの点なのかを区別できません。同じ横とたてでも、高さが違う点はいくつもあります。

正しい書き方は「左手前の下を出発点に、横3 cm、たて2 cm、高さ2 cm」です。図3のように、底の位置を決めてから上へ進む道筋をたどると、3つめの数が必要な理由を確かめられます。図の橙色の線は場所をたどるための線であり、箱の辺ではありません。

図3では、横・たて・高さをそれぞれ一定の間隔で区切っています。ただし、奥行きは斜めに縮めて描いてあるため、紙の上での横の1区切りと奥行きの1区切りは同じ長さに見えません。どちらも実物では1 cmを表しています。図を見るときは、かいた線の長さを測るのではなく、方向と区切りの数を読み取ります。

「たて」を上向きだと思い込む場合にも注意します。この問題では、たては手前から奥、高さは下から上です。ことばだけで迷うときは、箱を指して「こっちがたて、こっちが高さ」と対応させます。問題ごとに方向の説明を読むことが、数を正しく並べる準備になります。

練習問題

答えを出す前に、何を調べる問題なのかをひと言で確かめましょう。数を数えるのか、長さを求めるのか、面の位置を見るのかによって使う図が変わります。説明するときは、実物や図を指しながら話してもかまいません。

練習1

1辺が5 cmの立方体があります。面、辺、頂点の数をそれぞれ答えましょう。また、すべての辺の長さの合計は何cmですか。辺の本数と、辺の長さの合計とを分けて考えます。

練習2

図2の展開図を組み立てます。面Cと向かい合う面はどれですか。また、面Bと辺を共有して隣り合う面をすべて答えましょう。紙の上でBに直接ついている面だけに限らず、箱を閉じた後も考えます。

練習3

図1について、上の面ABCDに平行な面を答えましょう。また、上の面ABCDに垂直な面は全部でいくつありますか。面と辺を混ぜないよう、答えが面の名前なのか面の数なのかを確認します。

練習4

出発点と向きは図3と同じとし、単位はcmです。点Qは横1 cm、たて2 cm、高さ3 cmの位置にあります。横・たて・高さの順に3つの数で表しましょう。さらに、Qから高さだけを1 cm下げた点Rの位置も表しましょう。

答えと解説

練習1の答えは、面6つ、辺12本、頂点8つ、辺の長さの合計60 cmです。立方体では12本すべてが5 cmなので、5 × 12 = 60と求めます。上に4本、下に4本、上下を結ぶ4本と分けても、5 × 4 + 5 × 4 + 5 × 4 = 60です。

練習2の答えは、Cと向かい合う面がE、Bと隣り合う面がA、C、E、Fです。Bと向かい合うD以外の4面がBを囲みます。Eは展開図の右端にありますが、組み立てるとBの左側に来るので、隣り合う面に含めます。

練習3の答えは、平行な面がEFGH、垂直な面が4つです。垂直な4面は、前の面ABFE、奥の面DCGH、左の面ADHE、右の面BCGFです。上の面に接する4本の辺それぞれに、側面が1つずつつながっています。

練習4の答えは、Qが(1、2、3)、Rが(1、2、2)です。横とたては動かしていないので、最初の2つの数はそのままです。高さだけが3 – 1 = 2となります。数の順番と動く方向を結びつけることが、この問題の確かめどころです。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

面や辺を区別する力は、これから立体の体積や表面の広さを考えるときの土台になります。箱の中に同じ大きさの立方体を並べる学習でも、横・たて・高さのどの方向を見ているかが役立ちます。位置を3つの数で伝える考え方は、平らな地図だけでは表せない高さのある場所を説明することにもつながります。

家庭では、次の2つをそれぞれ5分程度で試せます。正解の速さより、どの部分を指して答えたかを見てください。

• 空き箱の1つの面に付箋を置きます。「向かい合う面はどこ」「この面と垂直な面はどこ」と尋ね、箱を回して確かめます。付箋を置く面を変えると、上や下という置き方に頼らず答えられるかも見られます。
• 紙に図2の展開図をかき、向かい合うと思う面に同じ印をつけます。折る前に予想を話し、切って折った後に印を確かめます。違っていたときは、どの1面を折ったところで予想と変わったかを一緒に追います。

個別指導で確かめる場合も、展開図が苦手という理由だけで同じ問題を繰り返すのではなく、長方形と正方形の区別、面と辺の区別まで戻ることがあります。実物では指せるのに紙では迷うなら、箱の頂点と見取図の文字を1つずつ対応させるところを確かめます。

まとめ

箱を回したら答えが変わるように感じたときは、見る場所と数える対象が入れ替わっていないかを確かめます。面を選んだ指を離さず箱を回すと、見えなくなってもその面が残っていることを確かめられます。そこから見取図の破線や、展開図の折り方にも意味がつながります。

お子さまが答えに迷ったら、正しい数を先に伝える前に「どこを数えたの」と尋ねてみてください。見える部分から箱全体へ考えを広げる出発点が、その説明の中にあります。箱の理解を支えるのは、見えない1面の場所まで指せる確かさです。