【物理基礎】力と運動の法則を図解で総まとめ—重力・垂直抗力・摩擦力・作用反作用と運動方程式｜武蔵野個別指導塾

机上の物体と斜面の力の図から、つり合いと作用反作用の違いを整理します。静止摩擦力、斜面の運動、2物体の張力を求める例題で、運動方程式を立てる手順を確かめましょう。

よくあるのは、夕方の台所のテーブルに置いた本を見ながら、「下向きに重力が働くのに、なぜ落ちないのだろう」と考え、重力と上向きの力を作用反作用だと書いてしまう場面です。さらに、本を横から軽く押しても動かないと、「動かないのだから力は働いていない」と考えてしまうことがあります。どちらも、目に見える運動だけで力を判断したために起きる取り違えです。

力の問題では、まず「どの物体が、何から力を受けるか」を決めます。その物体に働く力を矢印でそろえると、静止している理由も、動き方が変わる理由も、同じ決まりで説明できます。必要なのは、状況ごとに別の公式を探すことではなく、力の図から合力を求める手順です。

ここでは、本が机に支えられる場面から始め、摩擦のある面、斜面、糸でつながれた物体へと進みます。計算の答えとともに、矢印の向き、式の符号、力を受ける物体を自分で確かめられることを目指します。

この単元で身につけること

• 力を受ける物体を1つ選び、重力・垂直抗力・摩擦力・張力を描けるようにします。それぞれの力を及ぼす相手まで言葉にすると、必要な矢印の不足や余分な矢印に気づけます。
• 力の合成と分解を使い、方向ごとに力を整理します。斜めの力は2方向の成分に分けられますが、元の力と成分を同時に足さないことも確かめます。
• 合力が0であるつり合いと、慣性の法則を結びつけます。静止だけでなく、速度が変わらない等速直線運動も合力0で説明できるようにします。
• 静止摩擦力・最大静止摩擦力・動摩擦力を区別します。止まっているときの摩擦力を、いつでも最大値と置かないことが大切です。
• 運動方程式 ma＝F を、向きと単位を決めて立てます。作用反作用の2力が別々の物体に働くことを押さえ、糸の張力が含まれる問題にもつなげます。

前の単元で学ぶ加速度は「速度の変化を表す量」でしたが、この単元ではその加速度が生じる原因を合力から考えます。中学校で学んだ力の矢印を、運動の変化を求める計算へ結びつける段階です。

基本の考え方

力の名前より先に、力を受ける物体を決めます

力は、物体の形や運動の状態を変える働きです。力の大きさの単位は N（ニュートン）で、1 N は質量1 kgの物体に1 m/s²の加速度を生じさせる力の大きさです。質量は物体の動かしにくさに関わる量で、単位は kg です。「質量2 kg」と「重さ2 N」は同じ意味ではありません。

力は大きさだけでなく向きをもつベクトル量です。矢印で表すときは、力の働く位置である作用点、矢印の向き、長さで表す大きさに注目します。物体全体の並進運動、つまり回転によらず物体全体が移動する運動を考える図では、向きと大きさを比べやすくするため、矢印を物体を表す1点に集めて描くこともあります。以下の図1、図2もその表し方です。

重力は地球が物体を引く力で、地表付近では鉛直下向きに働き、大きさは mg です。m は質量、g は重力加速度の大きさを表します。以後、教科書で用いる値として g＝9.8 m/s² とし、数値の答えは特に指定がなければ有効数字2桁で表します。計算途中では桁を残し、最後に丸めます。

垂直抗力は、接している面が物体を押す力で、面に垂直な向きに働きます。水平な机なら上向きですが、斜面なら斜め上向きです。垂直抗力の大きさを N と書くことがあります。この N は力の大きさを表す文字で、数値の後ろにつける単位 N とは役割が違います。文章や式の位置で区別しましょう。

摩擦力は、接触面に沿って、面どうしの相対的な滑りや滑ろうとする動きを妨げる向きに働く力です。張力は、糸などが物体を引く力で、糸に沿って物体から糸の側へ向かいます。糸は物体を押せないため、張力の矢印を糸から離れる向きに描かないようにします。

図1のように、水平な机上の本を右へ押しても静止しているとき、本には下向きの重力、上向きの垂直抗力、右向きの押す力、左向きの静止摩擦力が働きます。図の矢印は共通の尺度で描き、上下の2力、左右の2力をそれぞれ同じ長さにしています。

図1で大切なのは、4本とも「本が受ける力」であることです。本が机を押す力は机が受ける力なので、この図には入れません。また、静止していても力は働いています。打ち消し合っているのは同じ物体に働く力の合計であり、個々の力が消えたわけではありません。

力を合成・分解して、つり合いを調べます

複数の力と同じ働きをする1つの力を合力といい、合力を求めることを力の合成といいます。同じ向きなら大きさを足し、反対向きなら差をとります。ただし、差をとった後には、どちら向きの力が大きかったかも答える必要があります。一直線上では、一方を正と決めて符号つきで足すと、向きも含めて整理できます。

向きの異なる2力は、矢印を2辺とする平行四辺形の対角線で合成できます。逆に、1つの力を決めた2方向の力に分けることを力の分解といい、分けたそれぞれを分力といいます。例えば力の大きさを F、水平右向きとの角度を θ とすると、水平方向の成分は F cosθ、鉛直方向の成分は F sinθ です。どちらに sin を使うかは角度の位置で決まるため、「横は必ず cos」とだけ覚えないことが大切です。

互いに垂直な方向へ分けるときは、元の力を斜辺とする直角三角形を考えます。角度に隣り合う辺は斜辺の cosθ 倍、向かい合う辺は sinθ 倍です。成分の大きさを求めた後、その軸の正方向と一致するかどうかによって式の符号をつけます。

1つの物体に働く力の合力が0であることを、力がつり合っているといいます。平面内で考えるなら、互いに垂直な2方向それぞれで合力が0です。図1では、水平方向で「押す力−静止摩擦力＝0」、鉛直方向で「垂直抗力−重力＝0」となります。上下と左右の力を、向きを無視してひとまとめの足し算にしてはいけません。

外から受ける合力が0なら、物体は静止し続けるか、等速直線運動を続けます。これが慣性の法則です。物体がそれまでの運動状態を保とうとする性質を慣性といいます。動いている物体に進行方向の力が必ず必要なのではありません。身近な物体が押すのをやめると止まるのは、摩擦力などが運動を変えるからです。

合力と加速度を結びつけ、摩擦の状態を選びます

運動方程式 ma＝F は、物体の質量 m と加速度 a の積が、その物体に働く合力 F に等しいという関係です。一直線上の運動では正方向を決め、a と F を符号つきで表します。同じ質量なら合力が大きいほど加速度も大きく、同じ合力なら質量が大きいほど加速度は小さくなります。

加速度の向きは合力の向きと一致しますが、速度の向きとは必ずしも一致しません。右へ滑る物体に左向きの摩擦力だけが働けば、速度は右向きでも加速度は左向きです。その間、物体の速さは小さくなります。「右に進むから a は正」と置く前に、正方向と合力を確認しましょう。

静止摩擦力は、面に対して物体が滑っていないときに働き、その大きさ f は必要に応じて変わります。水平方向にほかの力がなければ f＝0 にもなります。ただし限界があり、最大静止摩擦力を fₘₐₓ、静止摩擦係数を μₛ とすると、fₘₐₓ＝μₛN です。静止を保てる範囲は 0≦f≦μₛN であり、常に f＝μₛN ではありません。

物体が面に対して滑っているときの摩擦力が動摩擦力です。高校で扱う基本的なモデルでは、その大きさを f′＝μ′N と表します。μ′ は動摩擦係数で、μₛ とともに単位をもちません。一般に動摩擦係数は静止摩擦係数より小さく、動き出す直前と滑っている間で摩擦力の大きさが変わります。

水平にだけ押す物体が水平面上にあり、鉛直方向の加速度が0なら N＝mg です。しかし、斜め上へ引く力があれば、その上向き成分も物体を支えるため N は mg より小さくなります。摩擦力を求める前に、面に垂直な方向の式で N を決める順序を守りましょう。

例題で解き方を確かめる

例題1　止まっている物体の摩擦力

水平な粗い机の上に質量2.0 kgの物体があります。静止摩擦係数は0.30です。物体を水平方向に4.0 Nで右へ押したとき、静止を保てるか、またそのときの静止摩擦力はいくらかを求めます。ほかに物体を押したり引いたりする力はないものとします。

1. 物体だけに注目し、上下の力を確かめます。押す力に鉛直成分がなく、鉛直方向に加速しないので、N−mg＝0 です。したがって N＝2.0×9.8＝19.6 N となります。この値は途中計算用に丸めずに残します。
2. 静止摩擦力の限界を求めます。fₘₐₓ＝0.30×19.6＝5.88 N なので、静止を支えるために必要な力がこの値以下なら止まっていられます。ここで求めたのは限界であり、実際に働く力そのものではありません。
3. 水平方向のつり合いに必要な値を調べます。右向きを正として 4.0−f＝0 から f＝4.0 N です。この値は5.88 N以下なので静止は可能で、摩擦力は左向きです。

答え：静止を保てます。静止摩擦力は左向きに4.0 Nです。

もし最初から摩擦力を5.88 Nと置くと、押す力より摩擦力が大きくなり、静止しているという状況と合いません。「止まるために必要な値」と「静止摩擦力が出せる最大値」を比べるのが、この問題の中心です。

例題2　滑っている物体の加速度

質量2.0 kgの物体が粗い水平面上を右向きに滑っています。動摩擦係数は0.25で、物体を水平方向右向きに9.8 Nの力で引き続けます。物体の加速度を求めます。空気抵抗は無視します。

1. 滑っていることを確認し、動摩擦力を選びます。面に対する滑りは右向きなので摩擦力は左向きです。静止摩擦係数や動き出す条件を調べる必要はなく、今の運動状態に合う式を使います。
2. 鉛直方向のつり合いから N＝2.0×9.8＝19.6 N とし、f′＝0.25×19.6＝4.9 N と求めます。垂直抗力を先に求めることで、摩擦力の根拠を明確にできます。
3. 右向きを正として運動方程式を立てます。2.0a＝9.8−4.9 なので、a＝2.45 m/s² です。右辺に入れるのは引く力だけでなく合力であり、有効数字2桁に丸めると2.5 m/s²になります。

答え：加速度は右向きに2.5 m/s²です。

初めの速度がわからなくても、力と質量がわかれば加速度は求められます。一方、何秒後にどこにいるかを求めるには、初めの速度などの条件も必要です。運動方程式で直接決まる量と、その後に運動の公式で求める量を分けて考えましょう。

例題3　滑らかな斜面で重力を分解する

水平面となす角が30°の滑らかな斜面に、質量2.0 kgの物体を置きます。「滑らか」は、ここでは摩擦を無視できるという意味です。斜面に沿う加速度と垂直抗力を求めます。物体は斜面に接したまま運動し、空気抵抗は無視します。

図2のように、重力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分けます。赤い矢印が元の重力、橙と緑の矢印がその成分です。紺の矢印は斜面が物体を押す垂直抗力を表しています。

1. 軸を斜面に平行・垂直な方向へとります。斜面に垂直には動かないため、その方向の加速度を0と置けるからです。図2では斜面を下る向きを平行方向の正とします。
2. 重力の成分を求めます。平行成分は mg sin30°＝19.6×0.5＝9.8 N、斜面を押す垂直成分は mg cos30°＝19.6×√3÷2 N です。図2の破線がつくる平行四辺形から、2成分を合成すると下向きの重力に戻ることも確かめられます。
3. 平行方向に運動方程式を立てます。2.0a＝9.8 から a＝4.9 m/s² です。摩擦がなく、平行方向に垂直抗力の成分もないので、右辺は重力の平行成分だけになります。
4. 垂直方向のつり合いを使います。N−mg cos30°＝0 より N＝約16.97 N で、有効数字2桁では17 Nです。斜面の角度は問題で指定された正確な角度として扱います。

答え：加速度は斜面下向きに4.9 m/s²、垂直抗力は17 Nです。

斜面の問題でも重力そのものは鉛直下向きのままです。斜面下向きに「重力が曲がる」のではなく、座標軸を変えて成分を取り出しています。図に成分を補助的に描いたら、式には元の重力と成分を重ねて数えないようにしましょう。

例題4　糸でつながれた2物体の張力

滑らかな水平面上で、右側の物体A（2.0 kg）と左側の物体B（3.0 kg）を、軽くて伸びない糸でつなぎます。糸を張った状態で、Aを右向きに10 Nの一定の力で引きます。この10 Nは有効数字2桁とします。2物体の加速度と糸の張力を求めます。

1. 糸が伸びず張っているため、AとBは同じ加速度 a で右へ動くと考えます。軽い糸とは、糸の質量を無視できるという条件です。この条件のもとでは、1本の糸の両端の張力の大きさを等しく T と置けます。
2. AとBをひとまとまりにして、外から受ける水平方向の力を調べます。張力はこのまとまりの内部でやりとりされる力なので、全体については（2.0＋3.0）a＝10 と書けます。したがって a＝2.0 m/s² です。
3. 張力を知るためにBだけを取り出します。Bが受ける水平方向の力は右向きの張力だけなので、3.0a＝T です。求めた加速度を入れると T＝3.0×2.0＝6.0 N となります。
4. Aの式でも確かめます。Aには右向きに10 N、左向きに張力が働くので、2.0×2.0＝10−6.0 となり、左右が一致します。物体を切り替えるたびに、張力の向きも描き直すのが確実です。

答え：2物体の加速度は右向きに2.0 m/s²、張力は6.0 Nです。

「糸で伝わるから張力は引く力と同じ」とすると、Aを加速させるための合力を見落とします。全体の式で加速度を求め、1つの物体の式で張力を求めると、それぞれの式で何を未知数にしているかがはっきりします。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　動いているから、進行方向に合力がある

誤った書き方は「右向きに動いているので、合力も右向き」です。どこが違うかというと、合力が決めるのは速度の向きではなく、速度の変化である加速度の向きです。右向きに等速直線運動しているなら合力は0であり、右向きに進みながら減速するなら合力は左向きになります。

正しい書き方は「速度がどう変化するかを確認し、その加速度に対応する合力を考える」です。右向きを正に決めたとき、右向きの速度が小さくなっていくなら a は負になります。負の加速度を、ただちに左向きに移動しているという意味に読み替えないようにしましょう。

誤り2　摩擦力はいつでも μN、垂直抗力はいつでも mg

誤った書き方は「止まっているから f＝μₛmg と置く」です。どこが違うかというと、静止摩擦力の最大値の式を実際の摩擦力の式に置き換え、さらに N＝mg となる条件も確認していません。最大静止摩擦力と等しくなるのは、滑り出す直前の限界に達したときです。

正しい書き方は「まず面に垂直な方向から N を求め、静止を保つのに必要な f をつり合いから求め、f≦μₛN を確かめる」です。限界を超える力で滑り出し、その後も滑っているなら動摩擦力の式に切り替えます。問題文の「静止」「滑り出す直前」「滑っている」は、使う関係を選ぶ手がかりです。

また、「摩擦力は必ず速度と反対向き」とだけ覚えるのも不十分です。摩擦力の向きは接触する面に対する滑り、または滑ろうとする向きから決めます。例えば歩く人の足は地面を後ろへ押し、滑らない足には地面から前向きの静止摩擦力が働きます。何と何の間の滑りを考えているかが重要です。

誤り3　重力と垂直抗力を作用反作用と呼ぶ

誤った書き方は「本の重力と垂直抗力は、逆向きで同じ大きさだから作用反作用」です。どこが違うかというと、この2力はどちらも本に働いています。作用反作用は、物体AがBに力を及ぼすとき、Bも同時にAへ同じ大きさで反対向きの力を及ぼすという関係です。力を受ける物体が別々で、2力は同一直線上に働きます。

図3では、接触して押し合うAとBを見分けるため、各物体を別々に取り出して描いています。上下方向の力は省略し、接触による水平な力だけを示しています。BがAを押す力と、AがBを押す力は、矢印の長さが等しく向きが反対です。

正しい書き方は「本の重力の相手は本が地球を引く力、机が本を押す垂直抗力の相手は本が机を押す力」です。図3のように「誰が誰に」と書くと、作用反作用では主語と相手が入れ替わります。一方、図1のつり合いでは、力を受ける相手はどれも同じ本です。

作用反作用の2力は、AやBが加速していても大きさが等しくなります。質量の大きい物体が小さい物体を押すときも、接触で及ぼし合う力の大きさは等しいままです。それぞれの加速度を求めるには、各物体の質量と、その物体が受けるほかの力も含めた合力を調べる必要があります。

練習問題

計算の前に、対象となる物体と正方向を余白に書きましょう。問題を解いた後は、答えの数値だけでなく、つり合いを使った方向と運動方程式を使った方向も確かめます。重力加速度と有効数字の扱いは例題と同じです。

練習1

質量1.0 kgの物体が粗い水平面上にあり、静止摩擦係数は0.40です。水平方向右向きに2.0 Nで押すとき、静止を保てますか。また静止摩擦力の大きさと向きを求めましょう。押す力以外の水平な外力は、摩擦力だけとします。

練習2

質量4.0 kgの物体が粗い水平面を右向きに滑っています。動摩擦係数は0.20で、ほかに水平方向の力は働きません。滑っている間の加速度を、右向きを正として求めましょう。空気抵抗は無視します。

練習3

傾斜角30°の滑らかな斜面上にある質量1.0 kgの物体について、斜面に平行な重力の成分、垂直抗力、斜面に沿う加速度を求めましょう。物体は斜面に接したまま動き、空気抵抗は無視します。

練習4

滑らかな水平面上の右側のA（1.0 kg）と左側のB（2.0 kg）を、軽くて伸びない糸でつなぎます。糸が張った状態でAを右へ6.0 Nで引くとき、加速度と張力を求めましょう。さらに、Aが糸を右へ引く力と作用反作用の関係にある力を答えましょう。

答えと解説

練習1：静止を保てます。静止摩擦力は左向きに2.0 Nです。N＝1.0×9.8＝9.8 N、最大静止摩擦力は0.40×9.8＝3.92 Nです。つり合いに必要な2.0 Nがこの限界以下なので、実際の摩擦力は2.0 Nになります。限界を有効数字2桁で表すと3.9 Nです。

練習2：a＝−2.0 m/s²です。動摩擦力は左向きに0.20×4.0×9.8＝7.84 Nで、運動方程式は4.0a＝−7.84 です。a＝−1.96 m/s²を有効数字2桁に丸めます。これは右へ進む速さが小さくなることを表し、停止後まで同じ式をそのまま使って左へ加速すると考えてはいけません。

練習3：重力の平行成分は斜面下向きに4.9 N、垂直抗力は8.5 N、加速度は斜面下向きに4.9 m/s²です。平行成分は1.0×9.8×0.5、垂直抗力は1.0×9.8×√3÷2 から求めます。平行方向の式 ma＝mg sin30° では質量が約分されるため、例題3と質量が違っても加速度は同じです。

練習4：加速度は右向きに2.0 m/s²、張力は4.0 Nです。全体で（1.0＋2.0）a＝6.0、Bだけで2.0a＝T と立てます。作用反作用の相手は「糸がAを左へ引く力」です。「糸がBを右へ引く力」とすると、主語と相手が正しく入れ替わっていません。両端の張力の大きさが等しいという条件と、直接の作用反作用の組は区別しましょう。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

次に仕事とエネルギーを学ぶと、力が物体の移動にどのように関わるかを考えます。仕事を求める際にも、移動方向に沿う力の成分を取り出す操作が必要です。また、重力や摩擦力の区別は、どのようなエネルギーの変化が起きるかを考える土台になります。

家庭での確認は、次の2つを合わせて5分程度でできます。1つ目は、机の上に静かに置いた本を見て、「地球が本を引く」「机が本を押す」と声に出し、紙に2本の矢印を描く方法です。その後、本が力を及ぼす相手を別の紙に書けば、つり合いと作用反作用を整理できます。実際に強く押したり、本を落としたりする必要はありません。

2つ目は、例題2の数値を隠して、「上向きの力と下向きの力」「右向きの力と左向きの力」を言葉だけで並べる方法です。式を思い出せなくても、力の向きが決まれば、どちらを足し、どちらを引くかまで戻れます。個別指導で解き直すときも、最初から公式を増やすのではなく、力を受ける物体の選び方や、速度と加速度の違いまで戻って確かめます。

まとめ

計算が合わないときは、すぐに公式を取り替えず、まず自分の図で矢印が誰に働いているかを読み直してみましょう。対象がそろえば、面に垂直な方向のつり合い、面に沿う方向の運動方程式というように、式の役割も分けられます。答えの向きまで説明できれば、数値が変わっても同じ考え方で取り組めます。

止まった本の周りにも、力のやりとりはあります。「誰が、誰に、どちら向きに」を書き切った力の図が、運動方程式の根拠です。