【物理基礎】波の性質を図解で総まとめ—波長・振動数・速さの関係・横波と縦波・重ね合わせ｜武蔵野個別指導塾

波形の横軸を見分けるところから、波長・周期・振動数の計算、固定端と自由端の反射、定常波の節と腹まで、3枚の図と例題で順に確かめられます。

よくあるのは、朝のホームルーム前の教室で波の宿題を見直し、山と山の間を測ったのに、その値を波長と呼ぶのか周期と呼ぶのか迷うという場面です。横軸に m とある図と、s とある図は、曲線の形がそっくりです。前の問題で使った式をそのまま当てはめると、数は出ても単位が合わなくなります。

波の問題では、曲線を見る前に「どこを、いつ見ているか」を決めることが出発点になります。ある瞬間のひも全体を見るのか、ひもの1点を時間を追って見るのかで、同じ山形の図が別の情報を表すからです。また、波が右へ進むことと、ひもの1点が右へ移動することも違います。この区別ができると、波の速さを求める計算だけでなく、反射して戻る波や、その場で振動するように見える波も筋道を立てて説明できます。まず、動いているものが波形なのか媒質なのかを言葉にしてから、図と式をつないでいきましょう。

この単元で身につけること

• 振幅・波長・周期・振動数を区別します。振幅は振れの大きさ、波長は空間的な繰り返しの間隔、周期は時間的な繰り返しの間隔、振動数は1秒あたりの振動の回数です。
• v=fλ を意味とともに使います。1周期の間に波が1波長進むことから考えれば、公式を選ぶ理由も単位も確かめられます。
• 横波と縦波を、振動方向と進行方向の関係で見分けます。紙に描いた曲線が上下に曲がっていることだけでは、横波とは判定できません。
• y-x グラフと y-t グラフを読み分けます。横軸を見て、同じ形の曲線から距離を読むのか時間を読むのかを判断します。
• 重ね合わせ・反射・定常波をつなげます。各点の変位を符号つきで足し、固定端と自由端の違いや、節と腹の位置を説明できるようにします。

中学校で学んだ音の振動や、運動の単元で使った「速さ＝距離÷時間」が土台です。新しい記号が増えても、距離と時間を分けて整理する考え方は共通しています。

基本の考え方

波が運ぶものと、媒質の振動

波とは、ある場所で起こった振動が周囲へ次々に伝わる現象です。ひもやばね、空気のように、波を伝える物質を媒質といいます。長いひもの端を上下に動かすと、ひもの各部分が順番に上下に動き、山や谷の形が先へ進みます。ひもの1点に目印をつけたと考えると、その目印は主に上下に振動し、山と一緒にひもの端まで走っていくわけではありません。

ここで区別するのは「媒質の振動」と「波の伝わり」です。媒質の各部分はつり合いの位置のまわりで振動し、その振動の状態が伝わっていきます。波はエネルギーを伝えますが、波が進む距離だけ媒質全体が運ばれるわけではありません。以下では、変形が小さく、波が重なってもそれぞれの伝わり方が保たれる理想的な波を考えます。

媒質の振動方向が波の進行方向に垂直な波を横波といいます。右へ進むひもの波で各点が上下に振動する場合がその例です。一方、媒質の振動方向が進行方向と平行な波を縦波といいます。ばねを長さの方向に押したり引いたりして生じる波や、空気中を伝わる音が縦波の例です。「横」「縦」は紙面上の左右・上下という意味ではなく、2つの方向の関係を表します。

縦波では、ばねの巻きが混み合う密な部分と、間隔が広がる疎な部分が伝わります。隣り合う密な部分の中心どうしの距離、または疎な部分の中心どうしの距離が1波長です。密の中心から隣の疎の中心までは、規則正しい正弦波なら半波長になります。個々の巻きはその場の近くで前後に振動するので、密な部分の移動と同じ巻きの移動を混同しないようにします。

縦波も、右向きの変位を正として紙面の上向きに描くなどの約束をすれば、上下に曲がったグラフで表せます。その縦軸は「実際の上向きの移動」を示しているとは限りません。また、変位を描いた縦波のグラフの山が、そのまま密な部分になるわけでもありません。密か疎かは隣り合う媒質の間隔で決まるので、まず何を縦軸にした図なのかを読む必要があります。

振幅・波長・周期・振動数のつながり

つり合いの位置からのずれを変位といい、向きを区別するために正負の符号をつけます。変位の大きさの最大値が振幅 A です。つり合いの位置を y=0 とすると、振幅が 0.020 m の波では山の変位が +0.020 m、谷の変位が −0.020 m です。山から谷までの縦の差は 0.040 m ですが、それは振幅の2倍です。

空間的に同じ振動の状態が繰り返される最小の距離を波長 λ といいます。λ はラムダと読み、単位は m です。滑らかな正弦波では、隣り合う山どうしや谷どうしの距離から読めます。単に変位が同じ2点を選ぶのでは不十分です。例えば、y=0 を通る場所でも、右へたどったときに上り坂になっている点と下り坂になっている点は、同じ振動の状態ではありません。

図1のように、横軸が位置 x、縦軸が変位 y の図を y-x グラフと呼びます。この図は、ある瞬間の波形を写真に撮ったようなものです。隣り合う山は x=0.20 m と x=1.00 m にあり、その間隔は 0.80 m です。波長を読むときは、山の位置そのものではなく、2つの位置の差を取ります。縦軸の +0.020 m は、山の高さに対応しています。

一方、媒質の1点が1回振動して同じ状態に戻るまでの時間が周期 T で、単位は s です。1秒あたりの振動の回数が振動数 f で、単位は Hz です。1 Hz は1秒に1回振動することを表します。例えば1回に 0.20 s かかるなら、1秒には 1÷0.20=5.0 回振動するので、f=5.0 Hz です。この関係を式にすると、f=1/T、または T=1/f となります。

波は1周期 T の間に1波長 λ だけ進みます。したがって、波の速さ v は v=λ/T です。ここに f=1/T を使うと、v=fλ が得られます。振動数の単位 Hz は 1/s と同じ次元なので、Hz と m の積は m/s になります。計算結果を速さとして出したいのに単位が m・s になったら、掛け算と割り算を見直す手がかりになります。

位置のグラフと時間のグラフ

y-x グラフでは時刻を固定し、場所ごとの変位を並べます。これに対し、ある1点の変位が時間とともにどう変わるかを表すのが y-t グラフです。こちらは場所を固定して観察し続ける記録です。横軸が t なら、隣り合う山の間隔から読むのは波長ではなく周期になります。縦軸が変位なら、どちらの図からも振幅を読めます。

右へ進む波で、ある瞬間に右上がりの斜面にある点を考えます。少し後には、その点へ左側の波形がやって来ます。左側の変位のほうが低いので、その点は下向きに動きます。これは、波形が右へ進むことと点が上へ動くことを結びつけてしまう誤りを防ぐ考え方です。波が左へ進むなら右側の波形がやって来るので、同じ右上がりの斜面でも点は上向きに動きます。

一瞬の y-x グラフだけから、一般に波の速さや進行方向は決められません。周期や、時間を隔てた波形の位置など、追加の情報が必要です。同じ形の波でもゆっくり進む場合と速く進む場合があり、写真1枚ではその違いが見えないためです。グラフを読んだら「ここから読める量」と「まだわからない量」を分けておくと、与えられていない値を思い込まずに済みます。

例題で解き方を確かめる

例題1　周期から振動数と速さを求める

ある横波の周期は 0.20 s、波長は 0.80 m です。振動数と波の速さを求めましょう。この節の数値は問題の与条件で、特別な物理定数は使いません。測定値として与えた量の計算結果は、原則として有効数字2桁で表します。

1. 周期を振動数に直します。周期は「1回にかかる時間」なので、1秒あたりの回数を求めるには逆数を取り、f=1/T=1÷0.20=5.0 Hz とします。
2. 波長と振動数を掛けます。1回の振動の間に 0.80 m 進み、それが1秒に 5.0 回あるので、v=fλ=5.0×0.80=4.0 m/s です。
3. 距離÷時間でも確かめます。v=λ/T=0.80÷0.20=4.0 m/s となり、同じ結果です。周期をそのまま波長に掛けていないかを確認できます。

答え：振動数は 5.0 Hz、波の速さは 4.0 m/s です。

ここで求めた 4.0 m/s は山や谷が進む速さです。ひもの各点が常にその速さで上下に動くという意味ではありません。ひもの点は山や谷の位置で上下の動きを折り返し、途中では動く速さが変わります。波の速さと媒質の点の速さは、同じ記号や単位に見えても別の量として扱います。

例題2　2種類のグラフを対応させる

図1を t=0 s の波形とします。波は右へ進み、x=0 m の点の変位を記録すると図2になりました。振幅、波長、周期、波の速さと、t=0 s の直後にこの点が動く向きを求めましょう。グラフの読み取り値は、示した目盛りの値として扱います。

図2のように時間を横軸にした図では、ひもの全体の形は描いていません。図1と図2は同じ波の情報ですが、図1は各場所を同時に比べ、図2は同じ場所を違う時刻で比べています。

1. 縦軸から振幅を読みます。最大の変位の大きさは両図とも 0.020 m なので、A=0.020 m です。正負の端から端までの幅を答えないことが要点です。
2. 図1の山どうしの距離を読みます。1.00−0.20=0.80 m より、λ=0.80 m です。位置の差を取ったので、単位は m のままです。
3. 図2の谷どうしの時間差を読みます。谷は t=0.05 s と t=0.25 s にあるので、T=0.25−0.05=0.20 s です。同じ状態に戻る時間を選ぶため、隣の山までの時間ではありません。
4. v=λ/T=0.80÷0.20=4.0 m/s と計算します。図2は原点から負の向きへ下がっているので、t=0 s の直後、この点は下向きに動きます。図1でも原点付近の斜面が右上がりで、左の波形が来ることと一致します。

答え：振幅 0.020 m、波長 0.80 m、周期 0.20 s、速さ 4.0 m/s で、点は下向きに動きます。

もし図2がなく、図1だけだったら、振幅と波長は読めても周期は求められません。問題を解き終えた後で、それぞれの値がどの図のどの軸から出たかを指で示せると、図の取り違えを自分で修正できるようになります。

例題3　重なった波と端で反射する波

同じひもを進む2つの波が重なり、ある位置でそれぞれがつくる変位が +0.030 m と −0.020 m になりました。合成された変位を求めましょう。また、上向きの山形の波が端で反射するとき、固定端と自由端では反射波がどちら向きになるかを説明しましょう。端でのエネルギー損失を無視します。

1. 変位の正負をそろえます。上向きを正とすると、下向きの変位は負です。重ね合わせの原理では、重なった場所の変位は、それぞれの波が単独でつくる変位の和になります。
2. 符号つきで足します。y=+0.030+(−0.020)=+0.010 m です。波の高さの大きさだけを足して 0.050 m とすると、向きの情報を失います。
3. 固定端の条件を使います。固定端は動けない端なので、端で入射波と反射波の変位が打ち消し合う必要があります。そのため、入射した上向きの山は、反射波では下向きの谷になります。
4. 自由端の条件を使います。自由端は振動方向に自由に動ける理想的な端です。反射波は変位の上下を反転せず、入射した上向きの山は上向きの山として戻ります。端では入射波と反射波の変位が同じ向きに重なります。

答え：合成変位は +0.010 m、固定端では下向きの谷、自由端では上向きの山として反射します。

端へ向かう波を入射波、端から戻る波を反射波といいます。どちらの反射でも進行方向は逆になりますが、変位の上下が逆になるのは固定端反射です。波形全体を描く問題では、上下の反転の有無に加えて、波が逆向きに進むことも反映します。「反転」という1語だけで覚えず、進行方向と変位を別々に述べると意味が明確になります。

例題4　定常波の節と腹を求める

振幅がそれぞれ 0.020 m、波長がともに 0.80 m の2つの正弦波が、同じひも上を逆向きに進み、定常波をつくりました。x=0 m を節とすると、隣り合う節の間隔、節から隣の腹までの距離、腹の振幅はいくらでしょうか。

1. 定常波の意味を確認します。同じ振幅・波長・振動数の2つの正弦波が逆向きに進んで重なると、振動しない点と大きく振動する点の位置が動かない波ができます。これを定常波といい、振動しない点が節、振幅が最大になる点が腹です。
2. 節の間隔を求めます。定常波では、隣り合う節どうしの距離は元の進行波の半波長なので、0.80÷2=0.40 m です。隣り合う腹どうしの距離も同じです。
3. 節から隣の腹までを求めます。腹は隣り合う節の中間にあるので、0.80÷4=0.20 m です。x=0 m が節なら、最初の腹は x=0.20 m にあります。
4. 腹の振幅を求めます。腹では2つの波の変位が同じ向きに重なって最大になるので、0.020+0.020=0.040 m です。元の波の振幅と、合成された波の腹の振幅を区別します。

答え：節の間隔は 0.40 m、節から隣の腹までは 0.20 m、腹の振幅は 0.040 m です。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　山と山の間は、いつでも波長だとする

誤った書き方は「図2の谷の間隔が 0.20 だから、波長は 0.20 m」です。どこが違うかというと、図2の横軸は位置ではなく時間であり、読み取った差には s がつきます。正しい書き方は「図2から周期 T=0.20 s、図1から波長 λ=0.80 m」です。

対策は、計算用紙に最初に「横軸：位置」または「横軸：時間」と書くことです。山の高さを読む前に軸名と単位を確認すると、よく似た曲線に引っ張られずに済みます。周期と振動数についても、周期が長いほど1秒に振動する回数は少ない、という意味に戻ってチェックできます。

誤り2　重なって消えた波は、なくなったと考える

誤った書き方は「+0.020 m と −0.020 m の波が重なると、波が消滅する」です。どこが違うかというと、その瞬間の合成変位が 0 m であることと、それぞれの波が伝わらなくなることを同一視しています。正しい書き方は「重なった位置では変位が打ち消し合うが、理想的な波は重なった後もそれぞれ進む」です。重なり合っても各波がそのまま進む性質を、波の独立性といいます。

定常波では、この打ち消し合いがいつも起きる場所が節になります。ただし、ある瞬間に y=0 になっている点がすべて節とは限りません。腹も振動の途中でつり合いの位置を通るからです。図3のように、異なる時刻の形を比べて、ずっと動かない位置を見つけることが必要です。

図3では、例題4の定常波について、半周期離れた2つの時刻の形を紺と赤で示しています。2本の曲線は同時に存在する2本のひもではなく、同じひもの別の時刻の姿です。x=0 m、0.40 m、0.80 m の点は、どの時刻でも変位が0なので節です。x=0.20 m と 0.60 m は腹で、+0.040 m から −0.040 m まで動きますが、隣り合う腹は互いに逆向きに振動します。

さらに、紺の形から4分の1周期後には、ひも全体の変位が同時に0になります。この瞬間も、節以外の点は次の形へ向かって動いています。全体が横軸上に重なる瞬間の写真1枚だけでは、節の位置を判定できない理由がここにあります。定常波の波長という言葉を使うときも、通常は重なり合う元の進行波の波長を指し、節の間隔そのものとは区別します。

誤り3　反射なら必ず上下が逆になるとする

誤った書き方は「自由端でも、戻るのだから山は谷になる」です。どこが違うかというと、戻る向きと変位の向きを混同しています。正しい書き方は「固定端では変位が反転し、自由端では変位が反転しない。進行方向はどちらも逆になる」です。

端の条件に戻ると整理できます。固定端は動けないため、定常波ができる場合は節になります。自由端は動けるため、理想的な反射による定常波では腹になります。自由端でも常に最大変位にいるわけではなく、大きく振動する点だという意味です。ひもを強く引いて確かめる必要はありません。入射波と反射波の変位を同じ場所で足し、端の条件を満たすかを紙の上で確認できます。

練習問題

練習1

波長が 1.2 m、振動数が 2.5 Hz の波があります。波の速さと周期を求めましょう。どちらの式を使ったかも書き、速さには m/s、周期には s をつけてください。

練習2

ある波の y-x グラフで、隣り合う山の位置が 0.30 m と 1.50 m でした。同じ波の y-t グラフでは、隣り合う山の時刻が 0.10 s と 0.50 s でした。波長、周期、速さを求めましょう。また、波が右へ進んでいるとき、y-x グラフで右下がりの斜面上にある点は、その直後に上下のどちらへ動きますか。

練習3

ある点に2つの波が重なり、それぞれの変位は −0.015 m と +0.025 m でした。合成変位を求めましょう。さらに、下向きの谷形の波が固定端で反射する場合と自由端で反射する場合について、反射波が山か谷かを答え、端の条件から理由を説明しましょう。

練習4

同じ振幅 0.010 m の2つの正弦波が逆向きに進み、定常波をつくっています。隣り合う節の間隔は 0.30 m、各進行波の振動数は 5.0 Hz です。元の波の波長と速さ、節から隣の腹までの距離、腹の振幅を求めましょう。ある瞬間に変位が0だった点を、ただちに節と決めてよいかも答えてください。

答えと解説

練習1の答えは、速さ 3.0 m/s、周期 0.40 s です。v=fλ=2.5×1.2=3.0 m/s、T=1/f=1÷2.5=0.40 s となります。振動数が 2.5 Hz なので、1回に1秒以上かかるという答えにはなりません。数値の大きさでも逆数の取り違えを確認できます。

練習2の答えは、波長 1.20 m、周期 0.40 s、速さ 3.0 m/s、点の動きは上向きです。山の座標の差を取り、λ=1.50−0.30=1.20 m、T=0.50−0.10=0.40 s とします。速さは 1.20÷0.40=3.0 m/s です。右へ進むので左側の波形がやって来ます。右下がりの斜面では左側の変位が高いため、その点の変位は増加します。

練習3の答えは、合成変位 +0.010 m、固定端では上向きの山、自由端では下向きの谷です。変位は −0.015+0.025=+0.010 m です。固定端では端の変位を0に保つために反射波の変位が反転し、自由端では反転しません。最初の波が山か谷かにかかわらず、同じ規則を使えます。

練習4の答えは、波長 0.60 m、速さ 3.0 m/s、節から隣の腹まで 0.15 m、腹の振幅 0.020 m です。節の間隔は半波長なので、λ=2×0.30=0.60 m、v=5.0×0.60=3.0 m/s となります。節と隣の腹の距離は 0.30÷2=0.15 m、腹の振幅は 2×0.010=0.020 m です。一瞬の変位が0だけでは節とは決められず、時間がたっても変位が0のままかを確かめる必要があります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

この単元の考え方は、次に学ぶ音の性質に直接つながります。音の高さは振動数と関係し、弦や空気の振動では、反射した波が重なって定常波ができます。どこが節でどこが腹になるかを端の条件から考えられると、弦や管の長さと波長の関係にも進みやすくなります。

家庭での確認は、5分ほどでできるものを2つ試せます。1つ目は、紙に同じ波形を2つ描き、片方の横軸に x〔m〕、もう片方に t〔s〕と書く方法です。山どうしの間にそれぞれ λ と T を書き入れ、何を固定して観察している図なのかを声に出して説明します。曲線が同じでも読める量が違うことを確かめられます。

2つ目は、1枚の紙に山形、別の紙に同じ大きさの谷形を描き、重なる位置での変位を符号つきで足す方法です。横に少しずらした場合も考えると、重なり方に応じて合成変位が変わることが見えます。道具を振り回したり、ばねを強く伸ばしたりする必要はありません。

個別指導で確かめるときは、式を忘れているのか、軸を取り違えているのか、正負の足し算で止まっているのかを分けます。必要なら距離÷時間や数直線まで戻り、本人が図の1点を指して説明できるところからつなぎ直します。

まとめ

波の問題で答えを支えるのは、似た曲線を見分ける観察の条件です。横軸の単位、止めている時刻や位置、端が動けるかどうかをそろえると、使う式の意味がはっきりします。解き直しでは答えの数値だけを写すのではなく、波長を読んだ2点や、反射で符号を変えた理由を図のそばに残しておくと、次の問題でも判断のよりどころになります。

波形の写真1枚で決まらないことを、決まらないと見抜く力も、波を理解する力の一部です。