【物理基礎】音の性質を図解で総まとめ—音の 3 要素・弦と気柱の固有振動・うなり｜武蔵野個別指導塾

音の高さと大きさの違いを波形で整理し、弦・開管・閉管の振動を図から読み取ります。音速と波長、気柱の共鳴、うなりの例題を通して、端の条件から式を立てる力を養いましょう。

よくあるのは、部活帰りの自転車置き場で友人のベルの音を聞き、「強く鳴らせば音も高くなるはず」と考えたあと、問題集の「振動数」と「振幅」のどちらを選べばよいか迷う場面です。耳では違いを感じ取れても、それを波の言葉へ置き換えるところで手が止まります。音の問題は、聞こえ方を表す言葉と、振動の性質を表す量を対応させることから始まります。

さらに弦や管が登場すると、同じ長さなのに基本振動の式に 2 が付いたり 4 が付いたりします。ここを別々の公式として覚えると、管の片側が閉じた途端に判断があやふやになります。両端がどのように動けるかを図に書けば、長さと波長の関係は自分で確かめられます。

音の高さ・大きさ・音色を区別し、音速と波長を計算するところから、弦と気柱の固有振動、うなりまで順に進みます。目指すのは、覚えた式を選ぶだけでなく、その式が成り立つ振動の形を説明できることです。

この単元で身につけること

• 音を空気中の縦波として説明します。空気の振動する向きと音が進む向きを分け、音源から耳まで空気そのものが移動し続けるわけではないと捉えます。
• 音の 3 要素を区別します。高さは振動数、大きさは主に振幅、音色は波形に関係し、問題文の「高い」「大きい」を同じ意味にしません。
• 音速 v、振動数 f、波長 λ の関係 v＝fλ を使います。何が同じ条件に保たれているかを確認してから、求める量について式を変形します。
• 弦と気柱の固有振動を図にします。節と腹を端に配置し、基本振動からどのような倍振動が可能かを読み取ります。
• うなりから振動数の差を求めます。音そのものの振動回数と、大きさがゆっくり変化する回数を区別し、未知の振動数に候補が 2 つある場合も扱います。

前の波の単元で学ぶ「波長・振動数・重ね合わせ・定常波」が、音という具体的な現象につながります。式を使う前に単位をそろえる習慣も、引き続き大切です。

基本の考え方

空気の振動が伝わる速さと、繰り返しの速さ

音源とは、音を出すもとになる振動している物体です。音源が周囲の空気を押したり引いたりすると、空気の密な部分と疎な部分ができます。この変化が隣へ順に伝わるのが空気中の音です。波を伝える物質を媒質といい、空気も媒質の一つです。空気中の音は、媒質の振動方向と波の進行方向が平行な縦波です。

空気の一部分に注目すると、その部分はもとの位置の近くで往復します。音源のところにあった空気が、音と同じ速さで遠くの耳まで運ばれるわけではありません。音は液体や固体にも伝わりますが、媒質のない真空中には伝わりません。固体には空気中とは異なる振動の伝わり方もあるため、ここでは空気中の音を中心に考えます。

音速 v は音が伝わる速さで、単位は m/s です。空気中の音速は温度によって変わり、温度が高いほど大きくなります。日常の温度付近では、温度を t ℃ とすると、教科書で用いる近似式 v＝331.5＋0.6t によって m/s 単位の音速を見積もれます。これはどの媒質にも使える式ではありません。以下の数値問題では、特に断りがなければ音速を教科書でよく使う近似値 3.4×10² m/s とします。

振動数 f は 1 秒間に振動する回数で、単位は Hz です。周期 T は 1 回の振動にかかる時間で、単位は s ですから、T＝1/f となります。波長 λ は振動の状態が同じ隣り合う位置どうしの距離です。1 周期の間に波は 1 波長だけ進むので、v＝λ/T＝fλ が成り立ちます。「1 秒間に何回振動するか」と「1 秒間に何 m 進むか」は別の量です。

同じ温度の空気中では、高い音も低い音もほぼ同じ速さで伝わります。その条件で f が大きくなると、λ＝v/f より波長は短くなります。高い音ほど速く届くと考えるのではなく、同じ距離の中により多くの波の繰り返しが収まると考えると整理できます。

音の 3 要素を波形に結びつける

音の高さ・大きさ・音色を音の 3 要素といいます。音の高さは主に振動数で決まり、振動数が大きいほど高い音です。音の大きさは主に振幅に関係し、同じ振動数などの条件で比べると、振幅が大きいほど大きな音になります。振幅とは、振動の中心から最大に離れるまでの変位の大きさです。上端から下端までの幅ではありません。

音色は、同じ高さ・同じ程度の大きさの音でも楽器などを聞き分けられる性質です。波形の違いに関係します。単一の振動数をもつ正弦波の音を純音といい、楽器の音の多くはさまざまな振動数の振動が重なった複雑な波形です。基本振動に加えてどの倍振動をどれほど含むかによって、波形が変わります。

図1は、同じ時間の範囲で見た、ある位置の空気の変位の模式的な波形です。各枠の横方向は時間、縦方向は変位を表し、時間の縮尺と変位の縮尺はすべて同じです。空気が紙面の上下方向に動いている図ではなく、音の進行方向に沿う変位を縦軸に表しています。

図1の左上を基準にすると、右上は繰り返しの回数を変えずに振幅だけを大きくしています。左下は振幅を変えず、同じ時間内の繰り返しの回数を増やしています。右下は基準と同じ周期で繰り返しながら、1 周期内の形を変えた例です。右下は音色を波形から考えるための例で、実際に耳で感じる大きさまで完全にそろえた比較ではありません。

「山の数が多いから高い」と判断するときは、横軸の時間幅が同じかを確かめます。また、複雑な波形では小さな山を一つずつ数えるのではなく、波形全体が同じ形へ戻るまでを 1 周期として読み取ります。

固有振動と共鳴は、端の条件から考える

物体が自由に振動するときに現れる、その物体に特有の振動を固有振動、その振動数を固有振動数といいます。弦や気柱には複数の固有振動があり、そのうち振動数が最も小さいものが基本振動です。基本振動数の整数倍の振動数をもつ固有振動を倍振動といいます。

ある物体へ周期的な外力を加え、その振動数が物体の固有振動数に近いとき、振幅が大きくなる現象が共振です。音に関する場合は共鳴ともいいます。音源の振動数を自由に変えるのではなく、音源と振動しやすい条件が合ったとき、振動が大きくなる点が要所です。

弦や気柱では、反射した波と進む波が重なり、節と腹の位置が動かない定常波ができます。節は振動しない位置、腹は振幅が最大になる位置です。隣り合う節どうし、または腹どうしの間隔は λ/2、隣り合う節と腹の間隔は λ/4 です。この距離の関係が、長さと波長を結びつける出発点になります。

両端を固定した弦の端は動けないため、両端が節です。気柱とは管の中の空気の柱のことです。両端が開いた開管では両端が空気の変位の腹、一端が閉じた閉管では閉じた端が変位の節、開いた端が変位の腹になります。ここでの節と腹は空気の変位についての言葉であり、圧力の変化については節と腹が逆になります。

実際の開口部では、変位の腹は管の端より少し外側にできます。このずれを扱うのが開口端補正です。以下の図と問題では開口端補正を無視し、管の端を腹として考えます。こうした条件を先にそろえることで、図から求めた長さをそのまま式に入れられます。

例題で解き方を確かめる

例題1　音の波長と周期を求める

音速が 3.4×10² m/s の空気中を、振動数 5.0×10² Hz の純音が伝わっています。この音の波長と周期を求めます。また、同じ空気中で振動数を 2 倍にすると、波長はどうなるでしょうか。

1. 求める量と与えられた量を対応させます。波長には v＝fλ、周期には T＝1/f を使います。音速と振動数を同じ「速さ」として混ぜないため、v と f を別々に書き出します。
2. 波長の式を λ＝v/f と変形します。λ＝340÷500＝0.68 m です。単位も、1 秒間に進む距離を 1 秒間の振動回数で割って、1 回分の長さになっています。
3. 周期を計算します。T＝1÷500＝0.0020 s＝2.0×10⁻³ s です。計算結果は、与えられた値に合わせて有効数字 2 桁で表します。
4. 同じ空気中なので音速を一定に保ちます。振動数が 2 倍なら、λ＝v/f の分母が 2 倍になるため、波長は半分の 0.34 m です。

答え：波長は 0.68 m、周期は 2.0×10⁻³ s、振動数が 2 倍のときの波長は 0.34 m です。

答えを確認するときは、500 回分の波長をつなぐと 340 m になるかを考えます。0.68×500＝340 なので、1 秒間に進む距離と一致します。この確かめ方は、割る順序を逆にしたミスの発見にも役立ちます。

例題2　両端固定の弦の基本振動と倍振動

長さ L＝0.60 m の弦を両端で固定します。弦を伝わる波の速さは 1.2×10² m/s です。基本振動、2 倍振動、3 倍振動の波長と振動数を求めます。弦の張り方などは変えないものとします。

1. 両端を節にします。基本振動は途中に腹が 1 つだけある最も単純な形なので、弦の長さ L に半波長が入ります。したがって L＝λ₁/2、λ₁＝2L です。
2. 基本振動数を求めます。λ₁＝2×0.60＝1.2 m より、f₁＝120÷1.2＝1.0×10² Hz です。ここで使う速さは弦を伝わる波の速さであり、空気中の音速ではありません。
3. 弦の長さに半波長を 2 個入れます。これが 2 倍振動で、L＝2×λ₂/2 です。λ₂＝0.60 m、f₂＝120÷0.60＝2.0×10² Hz となります。
4. 半波長を 3 個入れます。3 倍振動では L＝3×λ₃/2 より、λ₃＝0.40 m、f₃＝120÷0.40＝3.0×10² Hz です。弦の波の速さが一定なので、波長が基本振動の 1/3 になると振動数は 3 倍になります。

答え：基本振動は 1.2 m・1.0×10² Hz、2 倍振動は 0.60 m・2.0×10² Hz、3 倍振動は 0.40 m・3.0×10² Hz です。

図2の実線と破線は、振動の向きが反対になる二つの時刻の形です。2 本の別々の弦ではありません。端を含めて基本振動には節が 2 個、2 倍振動には 3 個、3 倍振動には 4 個あります。腹の数は順に 1 個、2 個、3 個です。

一般に n 倍振動では、L＝nλₙ/2、λₙ＝2L/n、fₙ＝nv/(2L)＝nf₁ となります。n は 1、2、3、…の正の整数です。弦を強くはじくことは主に振幅を変える操作であり、この条件の下で基本振動数を整数倍にする操作ではありません。振動している部分を短くすると、同じ波の速さでは基本振動数が大きくなります。また、同じ弦をより強く張ると波の速さが増し、基本振動数も大きくなります。

例題3　同じ長さの開管と閉管を比べる

長さ 0.50 m の開管と閉管があります。音速は 3.4×10² m/s とし、開口端補正は無視します。それぞれの基本振動数と、基本振動の次に振動数の大きい固有振動の振動数を求めます。

1. 開管の両端に変位の腹を置きます。基本振動では内部に節が 1 個あり、腹から次の腹までの半波長が管の長さです。λ₁＝2L＝1.0 m なので、基本振動数は 340÷1.0＝3.4×10² Hz です。
2. 開管では半波長を一つずつ増やせます。次は 2 倍振動で、振動数は 2×340＝6.8×10² Hz です。端の条件は弦と異なりますが、長さに半波長の整数個が入る点は共通です。
3. 閉管では閉じた端を変位の節、開いた端を変位の腹にします。基本振動は隣り合う節と腹を結んだ形なので、L＝λ₁/4 です。λ₁＝4L＝2.0 m より、基本振動数は 340÷2.0＝1.7×10² Hz です。
4. 閉管の両端の条件を保ちながら途中の節と腹を増やします。次の形では管内に 3/4 波長が入り、L＝3λ₃/4 です。振動数は基本振動の 3 倍となり、3×170＝5.1×10² Hz です。

答え：開管は基本振動 3.4×10² Hz・次が 6.8×10² Hz、閉管は基本振動 1.7×10² Hz・次が 5.1×10² Hz です。

開管は基本振動数の 1、2、3、…倍、閉管は 1、3、5、…倍の固有振動をもちます。閉管の「低い方から 2 番目」を「2 倍振動」と呼ばないことが大切です。同じ長さなら閉管の基本振動数は開管の半分ですが、これは音速が半分になったからではなく、基本振動の波長が 2 倍になったからです。

例題4　うなりから未知の振動数を絞り込む

振動数 440 Hz の音と、これに近い振動数の音を同時に鳴らすと、10 s 間に 30 回のうなりが生じました。未知の音の振動数の候補を求めます。さらに、基準の音だけを 441 Hz に変えると、うなりが 1 秒間に 2 回になりました。未知の音の振動数はいくつでしょうか。この問題の周波数と回数は、計算上与えられた値として扱います。

1. うなりの振動数を求めます。うなりとは、振動数がわずかに異なる二つの音を重ねたときに、音の大きさが周期的に変化する現象です。1 秒間のうなりの回数は、30÷10＝3 Hz です。
2. 二つの音の振動数の差を使います。うなりの振動数は、大きい方の振動数から小さい方を引いた値です。440 Hz との差が 3 Hz なので、未知の振動数は 437 Hz または 443 Hz です。
3. 基準を 441 Hz にした条件で候補を調べます。437 Hz なら差は 4 Hz、443 Hz なら差は 2 Hz です。観測された 2 Hz に合うのは 443 Hz です。

答え：最初の候補は 437 Hz と 443 Hz、追加条件から未知の振動数は 443 Hz です。

うなりは、二つの振動が強め合う状態と弱め合う状態をゆっくり繰り返すために起こります。振動数の差が 3 Hz というのは、音そのものが毎秒 3 回しか振動していないという意味ではありません。耳に届く速い振動に、毎秒 3 回の大きさの変化が重なっています。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　大きな音を高い音と同じ式で扱う

誤った書き方は「振幅が 2 倍になったので、振動数も 2 倍になる」です。振幅は振動の中心からの最大のずれであり、振動数は時間あたりの繰り返しの回数なので、表している性質が違います。縦軸方向の広がりが変わったことだけから、横軸方向の周期が変わったとはいえません。

正しい書き方は「振動数などの条件が同じなら、振幅が大きいほど大きな音になる」です。図1で左右や上下を比べるときも、まず何をそろえ、何を変えたかを書きます。「強く鳴らした」という日常の表現だけで高低まで判断せず、波形の周期を根拠にすると修正できます。

誤り2　開管の端を節にし、閉管に 2 倍振動を描く

誤った書き方は「管の壁があるから開管も両端が節」「閉管の次の振動は 2 倍振動」です。気柱では、管の開口部の空気は軸方向に動けるため、変位の腹と考えます。一方、閉じた端では空気は壁を突き抜けて動けないため、変位の節です。壁が周囲にあることと、端がふさがれていることを分ける必要があります。

図3の曲線は、管の軸に沿った各位置での空気の変位を、見やすいよう縦方向に表したものです。空気の実際の往復運動は管の軸に沿う方向であり、曲線のように管内を上下へ曲がって進むわけではありません。4 本の管の長さと横方向の縮尺は同じです。紺が開管、赤が閉管で、実線と破線は逆向きの変位の形を表しています。

正しい書き方は「開管は腹と腹、閉管は節と腹から描き始める」です。図3の閉管の下段では、左の節から右の腹までに λ/4 が 3 個入っています。閉管に半波長だけを入れると、左が節なら右も節になり、開いた端が腹という条件を満たせません。したがって閉管には 2 倍振動がなく、次は 3 倍振動です。

空気の変位と圧力変化の図を取り違えると、端の判定が丸ごと逆になります。問題の縦軸に「圧力」とあれば、開いた端は圧力変化の節です。図を読む最初の作業として、何の節と腹なのかを言葉で添えておきます。

誤り3　うなりの回数を音の振動数の和にする

誤った書き方は「440 Hz と 443 Hz を重ねたので、うなりは 883 Hz」です。振動が重なることは、振動数という数字を足して別の純音に置き換えることではありません。うなりで数えているのは強弱の繰り返しで、その回数は二つの振動のずれが増える速さに対応します。

正しい書き方は「うなりの振動数＝大きい振動数−小さい振動数＝3 Hz」です。差がわかっても、未知の音が基準より高いか低いかまでは決まりません。追加条件がない問題では、二つの候補を残すところまでが答えです。また、山から次の山までを 1 回と数え、強い状態と弱い状態を別々に 1 回ずつ数えないようにします。

練習問題

ここでは音速を 3.4×10² m/s とし、気柱の開口端補正は無視します。計算前に使う式を一つ書き、弦と気柱の問題では端の節・腹も添えてみましょう。うなりの問題で与える振動数と回数は、計算上の値として扱います。

練習1

振動数 6.8×10² Hz の音の波長と周期を求めてください。また、同じ音を振動数一定のまま振幅だけ大きくしたとき、主に変わるのは音の高さ・大きさ・音色のどれでしょうか。波形の形は変わらないものとします。

練習2

両端固定の長さ 0.80 m の弦を、速さ 1.6×10² m/s で波が伝わります。基本振動数と 3 倍振動の振動数、3 倍振動の腹の数を求めてください。

練習3

長さ 0.25 m の閉管について、基本振動数と、その次の固有振動の振動数を求めてください。また、この閉管と基本振動数が同じ開管の長さを求めてください。

練習4

振動数 256 Hz の音と未知の音を重ねると、5 s 間に 20 回のうなりが生じました。未知の音の振動数の候補を求めてください。基準だけを 258 Hz に変えたところ、うなりが毎秒 6 回になった場合、未知の振動数はいくつでしょうか。

答えと解説

練習1の答えは、波長 0.50 m、周期 1.5×10⁻³ s、主に変わる要素は音の大きさです。λ＝340÷680＝0.50 m、T＝1÷680 を有効数字 2 桁にすると 1.5×10⁻³ s です。振幅が変わっても、振動数が一定なら音の高さは変わりません。

練習2の答えは、基本振動数 1.0×10² Hz、3 倍振動の振動数 3.0×10² Hz、腹は 3 個です。基本振動の波長は 2×0.80＝1.6 m なので、f₁＝160÷1.6＝100 Hz です。3 倍振動はその 3 倍で、図2と同じく両端を含む節は 4 個になります。

練習3の答えは、基本振動数 3.4×10² Hz、次の固有振動の振動数 1.0×10³ Hz、開管の長さ 0.50 m です。閉管の基本振動の波長は 4×0.25＝1.0 m で、基本振動数は 340 Hz です。次は 3 倍振動なので、丸める前の値は 1020 Hz、有効数字 2 桁では 1.0×10³ Hz となります。同じ振動数なら波長も同じで、開管にはその半分の長さが必要です。

練習4の答えは、候補が 252 Hz と 260 Hz、追加条件から 252 Hz です。うなりは 20÷5＝4 Hz なので、256 Hz から上下に 4 Hz 離れた値を考えます。基準を 258 Hz にしたとき、252 Hz との差は 6 Hz、260 Hz との差は 2 Hz ですから、前者を選びます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

音で学ぶ「物体には振動しやすい条件がある」という考え方は、これから扱うさまざまな振動現象にもつながります。また、楽器の音色を複数の振動の重ね合わせとして見る視点は、波形から現象を読み取る土台になります。式だけでなく、何が振動しているかを常に確かめる姿勢を残しましょう。

家庭での確かめ方の一つ目は、紙に同じ幅の枠を二つ描き、片方に 2 周期、もう片方に 4 周期の波形を入れることです。同じ時間の記録だとしたらどちらの振動数が大きいか、次に振幅だけ変えたらどの要素が変わるかを説明します。音を実際に出さなくても、5 分で高さと大きさの区別を確かめられます。

二つ目は、紙に同じ長さの弦・開管・閉管を並べ、端に節か腹を書いてから基本振動を描くことです。L に λ/4 が何個入るかを数え、弦と開管は 2 個、閉管は 1 個になることを確認します。余裕があれば閉管の次の形も描き、なぜ 2 倍振動にならないかを言葉にしてみましょう。

個別指導で式が出てこない場合は、節と腹の意味、隣り合う節と腹の距離、横軸が時間か位置かという順に戻って確かめます。計算だけの誤りなら、音速と弦の波の速さを取り違えていないか、単位と代入した値を確認します。

まとめ

問題を解いたあとに図を隠して、端の条件からもう一度同じ図を描けるか試すと、理解の状態が見えてきます。描けないところがあれば、公式を増やす前に「その端の空気や弦は動けるか」という問いへ戻れます。答えの数字が合っていても、閉管の端に腹と節を置けなければ、条件の変わった問題には不安が残ります。

閉管の式に現れる 4 は暗記の飾りではなく、動けない端から動ける端までに収まる 1/4 波長の印です。