【物理基礎】運動の表し方を図解で総まとめ—速度・加速度・等加速度直線運動の3公式｜武蔵野個別指導塾

往復運動の位置のグラフや投げ上げの速度のグラフから、符号・傾き・面積の意味を読み取ります。停止距離と自由落下を含む4つの例題で、等加速度直線運動の公式を使い分ける手順を確かめましょう。

よくあるのは、返されたテストの余白に「向きに注意」と書かれていて、速さの計算は合っているのに、なぜ速度の答えには負号が必要なのかと手が止まる場面です。公式に数字を入れることはできても、物体がどちらへ動いているのか、グラフの高さは何を表すのかを説明しようとすると、答えがつながらなくなることがあります。

運動の問題では、物体の位置、位置の変わり方、速度の変わり方を順番に調べます。この順序が見えると、負の速度も負の加速度も、特別な例外ではなくなります。まず正の向きと出発点を決め、次に図や式へ移すだけです。

直線上を行って戻る運動から始め、等加速度直線運動、自由落下、鉛直投げ上げまでを追っていきましょう。計算の答えだけでなく、グラフの傾きや面積からも確かめられるようになると、余白の「向きに注意」を、自分で直せる具体的な手順に変えられます。

この単元で身につけること

• 位置と変位を区別します。位置は原点から見た場所、変位は終わりの位置から初めの位置を引いた量です。移動距離とは計算のしかたが異なります。
• 速さと速度を使い分けます。速さは移動の程度を表す大きさで、速度には向きもあります。直線上では正負の符号で向きを表せます。
• 平均と瞬間の違いを説明します。ある時間全体の変化をまとめた値と、ある時刻での運動の状態を、同じものとして扱わないようにします。
• x-tグラフとv-tグラフを読みます。横軸はどちらも時刻ですが、縦軸が違うため、傾きの意味も異なります。v-tグラフでは面積から変位を求めます。
• 等加速度直線運動の3公式を選びます。与えられた量、求める量、式に含まれない量を整理し、自由落下や鉛直投げ上げにも同じ考え方を使います。

中学校で学んだ「速さ＝距離÷時間」や比例のグラフが出発点になります。そこへ向きと符号、さらに時間とともに速度が変わるという見方を加えるのが、この単元です。

基本の考え方

位置・変位・移動距離を分ける

物体の大きさや回転を考えず、1つの点の動きとして扱います。直線上に原点を定め、右向きを正としたとき、原点の右側の位置は正、左側の位置は負です。位置をxと書き、初めの位置をx₀、後の位置をxとすると、変位はΔx＝x−x₀です。Δは「後の値から初めの値を引いた差」を表す記号として使います。

変位は出発点と到着点で決まります。一方、移動距離は実際に通った道のりの長さを合計した量です。右へ進んでから左へ戻った場合、変位を求めるときは戻った分を差し引きますが、移動距離ではどちらの区間も正の長さとして足します。原点に戻れば変位は0でも、動いていた間の移動距離は0にはなりません。

時刻をtとして、横軸にt、縦軸にxをとったものがx-tグラフです。図1のように、位置が増える区間は右上がり、位置が減る区間は右下がりになります。この折れ線は、物体が山形の道を移動したという意味ではありません。横方向に並んでいるのは空間の場所ではなく、経過した時間だからです。

図1では、時刻0 sの位置0 mから、3 sで位置6 mへ進み、5 sで位置2 mへ戻ります。折れ曲がる時刻で向きを瞬時に変えるように描いているのは、各区間の関係を読み取りやすくした理想化です。実際の折り返しには短い時間がかかりますが、ここでは折れ曲がる点そのものの瞬間の速度を求めません。

平均の速度・瞬間の速度・加速度

時間の間隔をΔtとすると、平均の速度はΔx÷Δtです。単位はm/sで、正なら正の向きへの変位、負なら負の向きへの変位が生じたことを表します。これに対し、平均の速さは移動距離÷Δtです。途中で向きを変える運動では、平均の速度の大きさと平均の速さは一致しないことがあります。

ある時刻のごく近くの短い時間に注目して考える速度を、瞬間の速度といいます。ふつう問題文に単に「速度」とある場合は、各時刻の瞬間の速度を指します。その大きさが瞬間の速さです。x-tグラフで2点を結ぶ直線の傾きはその時間区間の平均の速度を表し、曲線のある点での接線の傾きはその時刻の瞬間の速度を表します。接線は、その点のごく近くで曲線の進む方向に沿う直線です。

等速直線運動とは、向きも速さも変えずに直線上を動く運動です。位置の変化は経過時間に比例するため、x-tグラフは直線になります。水平な部分なら位置が変わっておらず、物体は静止しています。位置が高いところに描かれているから速いのではなく、傾きの絶対値が大きいほど速いと読みます。

加速度は、速度が単位時間あたりにどれだけ変化するかを表す量です。ある区間の平均の加速度はΔv÷Δtで、単位はm/s²です。たとえば加速度が＋2.0 m/s²で一定なら、1.0 s経過するごとに速度の値が2.0 m/sずつ増えます。速度が一定なら、動いていても加速度は0です。

加速度の正負は、速さが増えるか減るかだけでは決まりません。速度と加速度が同じ向きなら速さが増え、逆向きなら速さが減ります。負の向きに動く物体に負の加速度がはたらく場合、速度はさらに負になりますから、速さは増します。符号を読むときは、速度と加速度を必ず組にして考えます。

v-tグラフと等加速度直線運動の3公式

横軸を時刻t、縦軸を速度vとしたものがv-tグラフです。このグラフの傾きは加速度を表します。加速度aが一定の直線運動を等加速度直線運動といい、そのv-tグラフは直線になります。時刻0での速度を初速度v₀とすると、t秒後の速度は次の式で求められます。

v＝v₀＋at

初速度に、その後の速度の変化atを加えた式です。aが一定という条件を先に確かめてから使います。途中で加速度の値が変わる場合は、同じ式を全時間にまとめて使わず、一定とみなせる区間ごとに分けます。

v-tグラフと時間軸で囲まれた部分の面積は、符号をつけて足すと変位になります。時間軸より上側を正、下側を負として扱います。速度が一定なら「速度×時間」の長方形、速度が一定の割合で変わるなら台形や三角形で面積を求められます。単位も、m/sにsを掛けるのでmになります。

時刻0からtまでの変位をΔxとすると、等加速度直線運動の残りの2公式は次のとおりです。

Δx＝v₀t＋at²/2

v²−v₀²＝2aΔx

2つ目の式のv₀tは初速度のまま進むときの変位、at²/2は加速度によって加わる変位です。3つ目は前の2式から時間tを取り除いた関係なので、時間が与えられていないときに便利です。ただし速度が2乗されているため、速度の向きはこの式だけでは決まりません。

教科書でx＝v₀t＋at²/2という形を見たときは、xが変位を表しているのか、初めの位置を0とした位置なのかを確かめましょう。初めの位置がx₀なら、位置はx＝x₀＋v₀t＋at²/2です。同じ運動でも原点を移せば位置の値は変わりますが、同じ時間区間の変位や速度は変わりません。

等加速度直線運動の平均の速度は、初めと終わりの速度を使って（v₀＋v）/2とも書けます。これはv-tグラフが直線だから成り立つ関係です。途中の変化のしかたが不明な運動で、最初と最後の速度だけを平均することはできません。また、この値は符号を含む平均の速度であり、往復したときの平均の速さとは区別します。

例題で解き方を確かめる

以下の計算では、問題に示した理想的な運動を考えます。測定値として与えた数値から求める答えは原則として有効数字2桁にそろえ、途中の計算では丸めずに進めます。グラフの目盛りや原点を表す0は、測定値の有効数字を制限する数ではありません。

例題1　往復運動の平均の速度と平均の速さ

物体が原点から正の向きへ6.0 m進むのに3.0 sかかり、その後、負の向きへ4.0 m戻るのに2.0 sかかりました。全体の平均の速度と平均の速さを求めます。図1の位置の変化に対応する問題です。

1. 出発点と到着点を先に決めます。全体の変位には、途中の道筋ではなく両端の位置が必要だからです。到着点は6.0−4.0＝2.0 mなので、変位は＋2.0 mです。
2. 移動距離を別に求めます。平均の速さには実際に進んだ長さを使うため、6.0＋4.0＝10.0 mと足します。戻る区間にも4.0 mの道のりがあります。
3. どちらも全時間で割ります。全体について尋ねられているので、分母は3.0＋2.0＝5.0 sです。平均の速度は2.0÷5.0＝＋0.40 m/s、平均の速さは10.0÷5.0＝2.0 m/sです。

行きの速度は＋2.0 m/s、帰りの速度は−2.0 m/sですが、両者を単純に足して2で割ってはいけません。それぞれの速度で動いた時間が違うからです。全体を表す平均を求めるときは、まず全体の変位または移動距離に戻ります。

答え：平均の速度は＋0.40 m/s、平均の速さは2.0 m/sです。

例題2　加速する運動を式と面積で確かめる

初速度＋2.0 m/sの物体が、加速度＋2.0 m/s²で4.0 s間進みます。4.0 s後の速度と、その間の変位を求めます。正の向きは初速度の向きとし、加速度は一定とします。

1. 既知の量を記号と対応させます。v₀＝＋2.0 m/s、a＝＋2.0 m/s²、t＝4.0 sです。符号を含めて書くことで、式に入れる段階で向きを失わずにすみます。
2. 速度を求める式を選びます。v＝v₀＋atには既知の3量が入っているので、v＝2.0＋2.0×4.0＝10 m/sとなります。速度は正の向きです。
3. 変位を求めます。Δx＝v₀t＋at²/2を使うと、Δx＝2.0×4.0＋2.0×4.0²/2＝8.0＋16＝24 mです。初速度による項を落とさないようにします。
4. グラフの面積でも調べます。図2の台形の面積は（2.0＋10）×4.0/2＝24 mです。式と図で同じ変位が得られ、代入や計算の間違いを見つけやすくなります。

図2のように、時刻0ですでに速度がある場合、時間軸との間の図形は三角形だけにはなりません。下の長方形が初速度のまま進む分、上の三角形が速度の増加による分です。速度のグラフが右上がりの直線でも、位置のグラフは直線ではなく、時間とともに傾きが大きくなる曲線になります。

答え：速度は＋1.0×10¹ m/s、変位は＋24 mです。

例題3　停止距離を時間を使わずに求める

正の向きへ10 m/sで進む物体が、一定の加速度−2.0 m/s²で減速します。10 m/sは有効数字2桁の値とし、減速を始めてから最初に停止するまでの移動距離と時間を求めます。

1. 停止の条件をv＝0と書きます。止まるとは位置が0になることではなく、速度が0になることだからです。初速度は＋10 m/s、加速度は−2.0 m/s²です。
2. 時間を含まない式を使います。v²−v₀²＝2aΔxに代入すると、0−10²＝2×（−2.0）×Δxです。両辺が負になる関係から、Δx＝25 mと求められます。
3. 停止時刻を求めます。0＝10−2.0tより、t＝5.0 sです。この時間までは速度が正で、途中で向きを変えていないため、変位の大きさと移動距離が一致します。

この結果は、平均の速度が（10＋0）/2＝5.0 m/sだから、5.0×5.0＝25 mと確認することもできます。計算に使った式は異なっていても、速度が一定の割合で減るという同じ条件を表しています。

「止まった後も同じ加速度が続く」とされれば、物体は負の向きへ動き始めます。今回は最初に停止するまでが対象なので、その後の運動は足しません。式をどの時間区間に使っているかも、解答の一部です。

答え：停止までの移動距離は25 m、時間は5.0 sです。

例題4　自由落下と鉛直投げ上げを同じ公式で扱う

空気抵抗を無視し、重力加速度の大きさを教科書で用いるg＝9.8 m/s²とします。静かに放した物体の1.0 s後の速度と落下距離を求め、次に、別の物体を上向きに9.8 m/sで投げ上げたときの最高点までの時間・高さ・元の高さへ戻る時間を求めます。物体を放した後や投げた後には、重力だけがはたらくとします。

1. 自由落下では下向きを正にします。自由落下は初速度0で重力だけによって落ちる運動なので、v₀＝0、a＝＋9.8 m/s²です。v＝gtより速度は下向き9.8 m/s、落下距離はgt²/2＝9.8×1.0²/2＝4.9 mとなります。
2. 投げ上げでは上向きを正に選び直します。出発点を位置0とすると、v₀＝＋9.8 m/s、a＝−9.8 m/s²です。上へ動いている間も加速度は下向きなので、v＝9.8−9.8tとなります。
3. 最高点の条件v＝0を使います。9.8−9.8t＝0からt＝1.0 sです。この時刻を変位の式に入れると、Δx＝9.8×1.0−9.8×1.0²/2＝4.9 mで、出発点からの最高点の高さが求められます。
4. 元の高さに戻る条件Δx＝0を使います。0＝9.8t−4.9t²＝t（9.8−4.9t）です。t＝0は投げた瞬間を表すため、求める戻りの時刻はt＝2.0 sです。そのときの速度は9.8−9.8×2.0＝−9.8 m/sとなります。

投げ上げでは、最高点に達する瞬間だけ速度が0になります。重力加速度が0になるわけではありません。上昇中も下降中も同じ下向きの加速度であるため、最高点で公式を取り替えなくても、符号を一貫させれば全体を表せます。

答え：自由落下は下向き9.8 m/s・落下距離4.9 m、投げ上げは最高点まで1.0 s・高さ4.9 m・元の高さへ戻るまで2.0 sです。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　変位をそのまま移動距離と呼ぶ

誤った書き方は「元の高さへ戻ったので、移動距離は0 m」です。これは、出発点と到着点だけで決まる変位を、途中の道のりまで表す量だと扱っている点が違います。正しい書き方は「変位は0 m、移動距離は上がった高さと下がった高さの合計」です。

図3は例題4の鉛直投げ上げを、上向きを正としたv-tグラフで表したものです。図3のように、上昇中の三角形の面積は＋4.9 m、下降中は−4.9 mに対応します。符号つきで合計すると変位は0 m、面積の大きさを足すと移動距離は9.8 mです。面積を読むときは「変位を求めるのか、移動距離を求めるのか」を先に書き添えます。

誤り2　負の加速度なら必ず減速すると考える

誤った書き方は「加速度が−9.8 m/s²なので、落下中も速さが減る」です。加速度が負であることは、速度の値が負の方向へ変化することを示しますが、速さが減ることを直接示してはいません。正しい書き方は「上昇中は正の速度が0に近づくので減速し、下降中は負の速度の絶対値が増えるので加速する」です。

図3の直線は最高点にあたる1.0 sの前後で、傾きが変わっていません。速度の値は減り続けていますが、速さは一度0になった後、再び増えます。また、最高点で静止したように見える瞬間を「加速度も0」と書くのも誤りです。速度はその瞬間の状態、加速度は速度の変わり方なので、別々に判断します。

誤り3　グラフの縦軸を確かめずに傾きを読む

誤った書き方は「v-tグラフの傾きが大きいので、速度が大きい」です。傾きが表すのは縦軸の変化を横軸の変化で割った量なので、v-tグラフでは加速度になります。正しい書き方は「速度は縦軸の値、加速度は傾き、変位は符号つき面積から読む」です。

x-tグラフなら、傾きは位置の変化÷時間の変化で、単位はm/sです。v-tグラフなら、傾きは速度の変化÷時間の変化で、単位はm/s²です。読み取りに迷ったら単位を割り算してみると、何の量を求めたかを確かめられます。線が右下がりという見た目だけで「負の向きに動く」と決めず、まず縦軸を読み直しましょう。

練習問題

どの問題でも、初めに正の向き、初速度、加速度を書き出してから計算してください。公式の名前を思い出すよりも、与えられた量と求める量を整理するほうが、使う式を選びやすくなります。

練習1

直線上の位置−2.0 mから、2.0 sで位置＋4.0 mへ進み、さらに1.0 sで位置＋1.0 mへ戻りました。各区間では向きを変えていません。全体の変位、移動距離、平均の速度、平均の速さを求めてください。

練習2

初めの位置が＋5.0 m、初速度が＋1.0 m/s、一定の加速度が＋2.0 m/s²の物体があります。3.0 s後の速度、その間の変位、3.0 s後の位置を求めてください。位置と変位を分けて答えます。

練習3

物体が初速度＋6.0 m/s、加速度−2.0 m/s²で4.0 s間動き続けます。4.0 s後の速度、0 sから4.0 sまでの変位と移動距離を求めてください。途中で速度が0になる時刻を調べるのが手がかりです。

練習4

物体を上向きに9.8 m/sで投げ上げます。空気抵抗を無視し、g＝9.8 m/s²とします。投げてから1.5 s後の速度と出発点からの高さを求め、その時刻に上昇中か下降中かを答えてください。上向きを正とします。

答えと解説

練習1：変位は＋3.0 m、移動距離は9.0 m、平均の速度は＋1.0 m/s、平均の速さは3.0 m/sです。変位は1.0−（−2.0）＝3.0 m、移動距離は6.0＋3.0＝9.0 mと求め、平均の2量はそれぞれ全時間3.0 sで割ります。出発点が原点でなくても、終わりの位置から初めの位置を引く手順は同じです。

練習2：速度は＋7.0 m/s、変位は＋12 m、位置は＋17 mです。速度は1.0＋2.0×3.0、変位は1.0×3.0＋2.0×3.0²/2で求めます。最後に初めの位置5.0 mを変位に足すと、その時刻の位置になります。初めの位置を速度の式へ入れる必要はありません。

練習3：速度は−2.0 m/s、変位は＋8.0 m、移動距離は10 mです。最後の10 mは有効数字2桁で1.0×10¹ mを表します。速度は6.0−2.0×4.0、変位は6.0×4.0−2.0×4.0²/2で求めます。停止時刻は3.0 sで、それまでに9.0 m進み、残りの1.0 sで1.0 m戻るため、移動距離は両者を足します。

練習4：速度は−4.9 m/s、高さは3.7 mで、下降中です。速度は9.8−9.8×1.5＝−4.9 m/s、高さは9.8×1.5−9.8×1.5²/2＝3.675 mを有効数字2桁に丸めます。位置が正でも速度は負になりえますから、「出発点より上にいる」と「上昇している」を混同しないようにします。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

次の「力と運動の法則」では、速度が変わる原因を力と結びつけて考えます。そのとき必要なのは、物体がどちらへ動いているかだけでなく、加速度がどちらを向くかという判断です。投げ上げで速度が上向きでも加速度が下向きだったことが、力の向きと運動の向きを区別する土台になります。

家庭では、紙と筆記具だけで次の2つを、それぞれ5分で確かめられます。物を高いところから落としたり、室内で投げたりする必要はありません。

1. 図1を見て、横軸と縦軸の名前を隠し、「位置のグラフなら何が読めるか」を説明します。名前を戻したら、行きと帰りの傾きから速度を求め、全体の平均の速度と比べます。
2. 図3を写して、時間軸の上と下にそれぞれ「正の変位」「負の変位」と書きます。続けて最高点の時刻に印をつけ、速度が0でも加速度が0でない理由を、直線の傾きから説明します。

個別指導で解答を確かめる際は、公式への代入より前に、正の向きと出発点をどう決めたかまで戻ります。保護者の方がお子さまの説明を聞くなら、「その負号は何の向きを表すの」と尋ねると、符号だけの間違いか、速度と加速度の取り違えかを見つけやすくなります。

まとめ

返されたテストを直すときは、消して正答だけを書き込む前に、もとの式のどこで位置・変位・速度・加速度が入れ替わったかを探してみましょう。計算が合わなかった原因を1つの言葉で説明できれば、次の問題では計算を始める前に立ち止まれます。

運動の答えには、数値だけでは見えない向きと時間の情報があります。式の符号を図の動きと照らす習慣があれば、正しい答えにも理由を添えられます。負号は失点の印ではなく、物体が進む向きを語る情報です。