武蔵野個別指導塾の特徴

【数学II】指数関数・対数関数を図解で総まとめ—指数の拡張から対数の性質・常用対数・桁数まで｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学単元解説（数I・A・II・B・III・C）

【数学II】指数関数・対数関数を図解で総まとめ—指数の拡張から対数の性質・常用対数・桁数までのアイキャッチ武蔵野個別指導塾

負の指数と分数の指数から、真数条件を使う対数方程式、常用対数による桁数までを扱います。3枚のグラフと例題で、底の大きさによって不等号の向きが変わる理由を確かめられます。

よくあるのは、夏休みの課題の山から数学の冊子を取り出し、2³=8 までは読めるのに、log₂8=3 と書かれた次の行で手が止まるという場面です。終えたページに付箋を移そうとしても、底が 1/2 の不等式で「どこで不等号を逆向きにするのか」が曖昧になり、同じページを行き来してしまいます。残りの冊子が気になると規則だけを急いで覚えたくなりますが、指数と対数が扱っているのは、同じ数の関係です。記号の読み方をつなぐことが、解き進める手がかりになります。

指数は「何乗するか」を表し、累乗の値はその結果を表します。対数は、底と累乗の値から指数を求めたものです。たとえば、同じ大きさのデータを2倍、さらに2倍と増やすとき、何回増やしたかが決まれば結果を計算できます。反対に、結果が最初の8倍とわかれば、2倍にする操作を3回行ったと読み取れます。この往復を式とグラフで確かめると、方程式の解き方にも見通しが立ちます。

数学IIで学ぶこの単元では、指数を負の数や分数へ広げ、対数を使って大きな数の桁数も調べます。計算を始める前の条件確認まで含めて、一つずつつなげていきましょう。

この単元で身につけること

指数を0、負の整数、有理数へ広げます。指数法則を保つために、0乗を1、負の指数を逆数、分数の指数を累乗根で表すことを理解します。
指数関数のグラフを読みます。底が1より大きいときと、0より大きく1より小さいときで、増加と減少が入れ替わることを使います。
指数方程式・指数不等式を解きます。底をそろえる方法と、指数式を新しい文字に置き換える方法を使い分け、置き換えた文字の範囲も確認します。
対数の定義と性質を使います。底の条件、真数条件を押さえ、積・商・累乗の対数や底の変換公式を、使える範囲と一緒に覚えます。
対数関数をグラフと結びつけます。指数関数との対応、対数方程式・不等式の解法、常用対数による桁数の判定まで進みます。

これまでの平方根、因数分解、2次方程式、不等式が土台になります。新しい記号が出ても、最後は知っている計算へ戻す場面が多くあります。特に「計算で出た候補が、もとの式で使えるか」を確かめる習慣が、この単元全体を支えます。

基本の考え方

指数を広げても、計算の決まりを保ちます

まず、底を a、指数を m とする累乗を aᵐ と書きます。3⁴ なら底は3、指数は4です。指数が正の整数のとき、累乗は同じ数を繰り返しかけることでした。ここからは、実数の指数まで一貫して扱う準備として a>0 を基本にします。負の底でも整数乗は計算できますが、分数の指数を自由に使えるわけではありません。

指数法則は aᵐ×aⁿ=aᵐ⁺ⁿ、aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ、(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ です。積では指数を足し、商では指数を引き、累乗をさらに累乗すると指数をかけます。この違いを、2³×2²=2⁵ と (2³)²=2⁶ で比べてください。前者は2を合計5個かけ、後者は2を3個かけたものを2組かけています。

0乗を決めるには a³÷a³ を考えます。同じ数の商なので1ですが、指数法則では a³⁻³=a⁰ です。そこで a⁰=1 と定めれば、同じ決まりが使えます。続いて a²÷a⁵ を考えると、約分から 1/a³、指数法則から a⁻³ になるため、a⁻³=1/a³ です。負の指数の「負」は数全体を負にする印ではなく、逆数を表す印です。

たとえば 2⁻³=1/8 であり、-8 ではありません。また (1/2)⁻³=8 です。底が分数のときも「まず逆数にしてから正の指数で計算する」と整理できます。かっこも意味を持ち、(-2)²=4 に対して -2²=-4 です。指数がどこまでかかっているかを、底の範囲と一緒に見ます。

次に、n を正の整数として、n乗すると a になる数を a のn乗根といいます。a>0 のとき、その正のn乗根を ⁿ√a と表します。n が偶数なら実数のn乗根は正負2つありますが、記号 ⁿ√a が表すのは正のほうです。たとえば16の4乗根は ±2、⁴√16 は2です。平方根でも「9の平方根は ±3、√9 は3」という区別がありました。

a¹⁄ⁿ=ⁿ√a、aᵐ⁄ⁿ=(ⁿ√a)ᵐ と定めます。以後、分数の指数は全体を上付きで示します。8²⁄³ は8の「2/3乗」であり、8²を3で割る意味ではありません。まず3乗根を取ると2、さらに2乗して4になります。16⁻³⁄⁴ なら、4乗根が2なので、その3乗の逆数を取り 1/8 です。有理数の指数でも、先ほどの指数法則が成り立ちます。

無理数の指数も、近い有理数の指数による値から自然につながるように定められます。ここでは細かな定義に踏み込まず、a>0 のもとで実数の指数にも同じ指数法則が使えると押さえます。この広がりによって、グラフが点の集まりではなく、途切れない曲線として描けます。

指数関数は、底によって増え方が変わります

a>0、a≠1 のとき、y=aˣ を指数関数といいます。x はすべての実数を取り、y は必ず正になります。x=0 では a⁰=1 なので、底にかかわらずグラフは (0,1) を通ります。a=1 なら常に y=1 となり、ここで扱う増減の性質を持たないため除いています。

図1のように、y=2ˣ は右へ進むほど上がり、y=(1/2)ˣ は右へ進むほど下がります。x が -2、-1、0、1、2 のとき、前者の y は 1/4、1/2、1、2、4、後者では 4、2、1、1/2、1/4 です。同じ x における2つの値は互いに逆数です。また (1/2)ˣ=2⁻ˣ なので、2つのグラフは y 軸について対称になります。

図1で曲線が x 軸に近づく側を見ても、曲線は x 軸に触れません。指数関数の値は0より大きく、負にもなりません。この x 軸を漸近線といいます。「0に近づく」と「0になる」は違うため、2ˣ=0 を満たす実数 x はありません。

a>1 の場合、aᵘ<aᵛ と u<v は同じ意味です。一方、0<a<1 の場合は aᵘv が同じ意味になります。後者で不等号が逆になるのは、負の数をかけたからではなく、関数が減少するからです。ただし等式ならどちらの底でも、aᵘ=aᵛ から u=v とできます。同じ高さになる x が1つだけだからです。

対数は指数を読み取り、積を和に直します

a>0、a≠1、M>0 のとき、aᵖ=M を満たす p を、a を底とする M の対数といい、p=logₐM と書きます。M は真数です。たとえば 2³=8 と log₂8=3 は同じ関係を別の向きから表しています。対数の値は負でもよく、2⁻²=1/4 から log₂(1/4)=-2 です。正でなければならないのは対数の値ではなく、真数です。

基本値は logₐ1=0、logₐa=1 です。また、a の logₐM 乗は M、logₐ(aˣ) は x となります。指数と対数が互いの操作を元に戻すことを表す式です。y=logₐx の定義域は x>0、値域はすべての実数で、必ず (1,0) を通ります。a>1 なら増加し、0<a<1 なら減少します。どちらも y 軸が漸近線です。

M>0、N>0 のもとで、logₐ(MN)=logₐM+logₐN、logₐ(M/N)=logₐM-logₐN が成り立ちます。さらに実数 r に対して logₐ(Mʳ)=r logₐM です。積が和になり、商が差になり、真数の指数が対数の前に出ます。ただし、真数の和に同じ規則はありません。

積の公式の理由も確認しましょう。M=aᵖ、N=aᑫ とすれば、MN=aᵖ⁺ᑫ です。積 MN を作る指数が p+q なので、その対数は logₐM+logₐN になります。たとえば log₂4+log₂8=log₂32=5 です。公式の丸暗記だけでなく、指数法則に戻して説明できると、和の対数との混同を防げます。

底をそろえるには、c>0、c≠1 として、底の変換公式 logₐM=log꜀M/log꜀a を使います。分母は「もとの底 a の対数」です。p=logₐM と置き、aᵖ=M の両辺の底 c の対数を取ると、p log꜀a=log꜀M なので導けます。たとえば log₄8=log₂8/log₂4=3/2 です。底を2に直すことで、計算しやすい既知の値にそろえられます。

底が10の対数を常用対数といいます。log₁₀1000=3、log₁₀0.01=-2 です。正の数 N の大きさを10の何乗に相当するかで表すため、数をすべて書き出さなくても桁数を調べられます。問題文で底10を省略して log N と書く場合もありますが、ここでは底を明示して進めます。

例題で解き方を確かめる

例題1　指数式を置き換えて方程式を解きます

方程式 4ˣ-5×2ˣ+4=0 を解きます。4と2という異なる底が並んでいますが、4は2の2乗なので、2ˣ を中心に整理できそうです。

4ˣ=(2²)ˣ=(2ˣ)² と直します。同じ指数式の2乗と1乗にそろえると、2次方程式の形が見えてくるためです。
t=2ˣ と置き、t²-5t+4=0 にします。このとき t>0 も書きます。指数関数の値が必ず正であることを、置き換え後にも引き継ぐためです。
(t-1)(t-4)=0 と因数分解し、t=1、4 を得ます。どちらも t>0 を満たすので、今回は両方を残します。
2ˣ=1=2⁰ または 2ˣ=4=2² に戻し、x=0、2 を得ます。求める文字は t ではなく x なので、置き換えを戻すまでが解答です。

x=0 では 1-5+4=0、x=2 では 16-20+4=0 となり、どちらももとの式を満たします。もし置き換え後に t=-1 が出ても、2ˣ=-1 を満たす実数はないので、その候補は捨てます。因数分解が終わった段階で答えとせず、指数関数の値域と元の文字を確認することが重要です。

答え：x=0、2 です。

例題2　底をそろえて指数不等式を解きます

不等式 (1/2)ˣ⁻¹≧8 を解きます。底が1より小さいので、指数の大小を比べる段階で向きが変わることに注意します。

8=(1/2)⁻³ と書き換えます。両辺を同じ底の累乗にすると、関数の増減を利用して指数を比べられるためです。
(1/2)ˣ⁻¹≧(1/2)⁻³ から x-1≦-3 とします。底が 0<1/2<1 で関数が減少するため、大きい関数値に対応する指数は小さくなります。
両辺に1を足し、x≦-2 を得ます。ここでは単に同じ数を加えるだけなので、不等号の向きは変わりません。

境目の x=-2 では、左辺は (1/2)⁻³=8 で等号が成り立ちます。その左側の x=-3 では16となり条件を満たし、右側の x=-1 では4となり満たしません。境目だけでなく、その両側も一つずつ試すと、求めた範囲の向きを確かめられます。

別の方法として、左辺を 2¹⁻ˣ と直すこともできます。この場合は底が2なので 1-x≧3 となり、-x≧2 の両辺に -1 をかける段階で向きを変え、x≦-2 になります。「減少する関数で比べる」と「負の数をかける」は別の理由です。どちらの方法でも、自分がどの規則を使ったかを説明できるようにします。

答え：x≦-2 です。

例題3　真数条件を先に書いて対数方程式を解きます

方程式 log₂(x-1)+log₂(x-3)=3 を解きます。対数をまとめる前に、それぞれの真数が正であることを確認します。

x-1>0、x-3>0 より、真数条件を x>3 とします。もとの2つの対数がどちらも定義される範囲でだけ、式を変形するためです。
積の公式を使い、log₂((x-1)(x-3))=3 とします。対数の和は、真数どうしの積の対数にまとめられるためです。
定義に戻して (x-1)(x-3)=2³=8 とします。「底2で何乗するとこの積になるかが3」と読めば、指数の式へ戻せます。
x²-4x-5=0、(x-5)(x+1)=0 より、候補は x=5、-1 です。真数条件 x>3 を満たす x=5 だけを残します。

図2のように、y=2ˣ 上の点 (3,8) と y=log₂x 上の点 (8,3) は、座標が入れ替わっています。指数と対数の行き来は、この入れ替えに対応します。2つのグラフは直線 y=x について対称で、この関係を互いに逆関数であるといいます。

図2では両軸を同じ縮尺にしているため、対称性をそのまま見ることができます。方程式で行った log₂M=3 から M=8 への変形も、点 (8,3) と (3,8) の対応そのものです。対数記号を消す操作を、意味のある座標の対応として押さえましょう。

x=5 をもとの式に入れると log₂4+log₂2=2+1=3 です。一方 x=-1 では真数が -2、-4 となり、どちらの対数も実数の範囲では定義されません。積は正の8になりますが、そのことだけではもとの式は使えません。式をまとめた後の真数条件だけに置き換えないことが、余分な候補を除く決め手です。

答え：x=5 です。

例題4　常用対数で整数の桁数を求めます

2⁴⁰ は何桁の整数かを求めます。ただし、log₁₀2=0.3010 として計算します。巨大な整数を直接求める代わりに、10の累乗のどの間にあるかを判定します。

N=2⁴⁰ と置き、log₁₀N=40 log₁₀2≒40×0.3010=12.04 とします。累乗の対数を取ると、指数を前に出して小さな計算にできるためです。
12<log₁₀N<13 より、10¹²<N<10¹³ と読みます。底10は1より大きいため、指数に戻すときも大小の向きは保たれます。
10¹² は1の後ろに0が12個続く13桁の整数なので、N は13桁と判断します。対数の整数部分をそのまま桁数にせず、1を足す理由がここにあります。

一般に、正の整数 N が k 桁である条件は 10ᵏ⁻¹≦N<10ᵏ です。常用対数で書けば k-1≦log₁₀N<k となります。左端は含み、右端は含みません。1000を考えると、log₁₀1000=3 ですが1000は4桁なので、整数部分に1を足す規則と一致します。

今回は対数の値が整数の境目から離れているため、指定された近似値で判定できます。近似結果が整数に非常に近いときは、丸め誤差によって境目のどちら側か変わらないかを確かめる必要があります。直接計算しても 2⁴⁰=1099511627776 で13桁ですが、対数の方法なら各桁の数字まで求めずに結論へ進めます。

答え：13桁です。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　負の指数を負の値にしてしまいます

誤った書き方は「2⁻³=-8」です。どこが違うかというと、指数の負号を、値全体の符号として読んでいます。2⁻³ は2の逆数を3乗することなので、正しい書き方は「2⁻³=1/2³=1/8」です。

2³、2²、2¹、2⁰、2⁻¹ と順に並べ、値を 8、4、2、1、1/2 と書くと、指数が1減るたびに2で割るつながりが見えます。途中で負の値へ飛ぶことはありません。分数の指数でも同じで、9⁻¹⁄² は -3 ではなく 1/3 です。平方根を取る操作と逆数にする操作を、順番に分けて書き直します。

誤り2　和の対数を、対数の和に分けてしまいます

誤った書き方は「log₂(4+4)=log₂4+log₂4」です。どこが違うかというと、積に使う公式を和にも使っています。左辺は log₂8=3、右辺は 2+2=4 なので一致しません。正しい書き方は「log₂(4×4)=log₂4+log₂4=4」です。

対数が分解できるか迷ったら、真数の中をつないでいる記号が積なのか和なのかを確認します。log₂(x+1) を log₂x+log₂1 に分けることもできません。また、log₂(x²)=2 log₂x と書くには x>0 が必要です。左辺だけなら x≠0 で定義できますが、右辺は x<0 では定義できません。公式の形だけでなく、両辺が意味を持つ範囲も比べてください。

誤り3　対数不等式で向きと真数条件を見落とします

誤った書き方は「log₁⁄₂(x-1)≧-1 より x-1≧2、したがって x≧3」です。どこが違うかというと、底 1/2 の対数関数が減少することと、真数条件 x-1>0 の両方を見落としています。正しい書き方は「0<x-1≦2、したがって 1<x≦3」です。ここで log₁⁄₂ は、底が 1/2 の対数を表します。

図3のように、y=log₁⁄₂u と y=-1 の交点は (2,-1) です。曲線が水平線以上の高さにあるのは 0<u≦2 の部分で、u=0 は含まれません。u=x-1 と置いて見れば、上の正しい範囲と対応します。等号の境目にある点だけを含め、対数が定義されない端は含めないようにします。

図3で右へ進むほど曲線が低くなることを確認してから、不等号を指数や真数の比較へ移します。「log を外す」という一言で済ませず、「底が1より小さく減少するから向きを変える」と理由を書けば、底が2の問題にも同じ手順で対応できます。

練習問題

計算を始める前に、底の条件や真数条件、置き換え後の文字の範囲を余白に書いてください。答えが出たら、方程式は代入、不等式は境目とその両側の値で確かめます。

練習1

27²⁄³ と 16⁻³⁄⁴ の値を求めてください。また、log₄8 の値を、底を2に変えて求めてください。分数の指数では、分母が何乗根に当たるかを先に読み取ります。

練習2

方程式 9ˣ-10×3ˣ+9=0 を解いてください。次に、不等式 (1/3)ˣ⁺¹<9 を解いてください。方程式では t=3ˣ と置き、不等式では両辺の底を 1/3 にそろえて考えます。

練習3

方程式 log₃(x-1)+log₃(x+1)=1 と、不等式 log₁⁄₂(x-1)≧-1 を、それぞれ解いてください。2つの問題で共通する最初の作業は、各対数の真数が正になる条件を書くことです。

練習4

log₁₀2=0.3010 として、2³⁰ が何桁の整数かを求めてください。また、2⁻²⁰ を小数で表すと、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求めてください。後半は整数の桁数と区別し、10の負の累乗にはさんで考えます。

答えと解説

練習1の答えは、9、1/8、3/2 です。27の3乗根は3なので 27²⁄³=3²=9 です。16の正の4乗根は2なので 16⁻³⁄⁴=2⁻³=1/8 です。また log₄8=log₂8/log₂4=3/2 となり、4の3/2乗が8になることでも確かめられます。

練習2の方程式の答えは x=0、2 です。t=3ˣ>0 と置くと t²-10t+9=(t-1)(t-9)=0 より t=1、9、したがって x=0、2 です。代入すると、それぞれ 1-10+9=0、81-90+9=0 になります。不等式の答えは x>-3 です。9=(1/3)⁻² とそろえ、減少する関数なので x+1>-2 とします。x=-3 は等号となるため含みません。

練習3の方程式の答えは x=2 です。真数条件は x>1 であり、log₃((x-1)(x+1))=1 から x²-1=3、x²=4 となります。候補 ±2 のうち x>1 を満たす2だけを残します。実際に log₃1+log₃3=0+1=1 です。不等式の答えは 1<x≦3 です。真数条件 x>1 と、減少することから得られる x-1≦2 を共通範囲にまとめます。

練習4の前半の答えは10桁です。log₁₀(2³⁰)≒9.03 より、10⁹<2³⁰<10¹⁰ となります。後半の答えは小数第7位です。log₁₀(2⁻²⁰)≒-6.02 より -7<-6.02<-6 なので、10⁻⁷<2⁻²⁰<10⁻⁶ です。0.0000001 と 0.000001 の間にあるため、最初の0でない数字は小数第7位に現れます。

負の数では、小数部分をただ取り去った値と、その数以下で最大の整数を混同しやすくなります。-6.02 は -6 より小さいため、はさむ整数は -7 と -6 です。小数の位置を調べるときは、整数の桁数の規則を機械的に使わず、10の累乗の区間へ戻して確認します。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

指数関数は、一定の割合で増減する数量を表すときに登場し、等比数列ともつながります。等比数列が項番号ごとの値を調べるのに対し、指数関数では変数を実数へ広げて変化を見ます。数学IIIでは指数関数・対数関数の微分や積分を学ぶため、ここで定義域とグラフの形を押さえておくと、その後の式変形にも意味を持たせられます。

家で5分使うなら、1つ目は「指数と対数の往復」です。3²=9、3⁻¹=1/3 の2本を書き、それぞれ log₃9=2、log₃(1/3)=-1 に直します。お子さまの学習を見守るときも、答えの速さより「何乗を求めているのか」を説明できるか確かめると、理解の位置が見えます。

2つ目は、y=2ˣ と y=(1/2)ˣ について x=-1、0、1 の値を書き、増減を言葉で説明することです。その後で (1/2)ˣ>1 の範囲を答えれば、数表と不等式を結びつけられます。個別指導では、負の指数で止まったら分数の割り算まで、置き換えで止まったら2次式の因数分解まで戻って確かめます。対数の式変形ができても条件を落とす場合は、計算を増やす前に、もとの真数を書き出す段階を確認します。