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【数学II】図形と方程式（円・軌跡・領域）を図解で総まとめ—円の方程式から軌跡・不等式の表す領域まで｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学単元解説（数I・A・II・B・III・C）

【数学II】図形と方程式（円・軌跡・領域）を図解で総まとめ—円の方程式から軌跡・不等式の表す領域までのアイキャッチ武蔵野個別指導塾

平方完成で円の中心を読む例題から、接線、距離の比で決まる軌跡、三角形の領域での最大最小まで扱います。3枚の座標図で、式と図形の対応や境界を含む条件を確かめていきましょう。

よくあるのは、健康相談の順番を待つ保健室の前の長椅子で、膝に載せたプリントの x²+y²≦9 を見て、円周だけを指でなぞったところで迷うという場面です。等号の式なら円になることは覚えていても、不等号が入ると内側なのか外側なのか、自信がなくなります。プリントを少し持ち上げて図を見直しても、円周だけでは答えが足りるのか決まりません。さらに「この領域で最大値を求めよ」と続けば、何を動かして考えるのかが見えにくくなります。

この単元では、座標の式を点の位置の条件として読みます。円の方程式は中心からの距離を指定し、軌跡は条件を満たす点を集め、不等式は点が動ける範囲を指定します。計算の途中で図を描くのは飾りのためではありません。式が表している範囲と、求めたい範囲が一致しているかを確かめるためです。

最初は、点 P の座標を (x,y) と置き、「P はどこからどれだけ離れているか」と言葉にしてみましょう。距離、交点、境界という言葉と式が結びつくと、円の問題から領域の最大最小まで、同じ座標平面の上で見通せるようになります。

この単元で身につけること

円の方程式から中心と半径を読み取ります。展開された式は平方完成し、距離の形に戻して判断します。
円と直線の共有点の個数を調べます。連立してできる2次方程式と、中心から直線までの距離の両方を使います。
接線を求め、2円の位置関係を区別します。接線は接点を通り半径と垂直になる直線で、2円は中心間の距離と半径で比較します。
条件を満たす点の軌跡を求めます。式を導くだけでなく、その式の表す点がもとの条件を満たすことも確認します。
不等式を領域として描き、式の最大値・最小値を求めます。境界を含むか、端の値を実際に取れるかまで調べます。

数学Iの平方完成と2次方程式、そして点と直線で学ぶ2点間の距離や点と直線の距離が土台です。新しい公式を増やす前に、何を距離として表しているかを整理すると、既に知っている計算がここでも使えるとわかります。

基本の考え方

円の方程式は「一定の距離」を表します

中心 C(a,b)、半径 r の円を考えます。ただし r>0 です。点 P(x,y) が円周上にある条件は CP=r なので、2点間の距離の公式から √((x-a)²+(y-b)²)=r となります。両辺は負ではないため、2乗しても条件は変わらず、円の方程式は (x-a)²+(y-b)²=r² です。

ここでいう円の方程式は円周を表します。中心からの距離が半径より小さい点まで含めたいときは、等号を ≦ に変えます。公園のある地点から3の距離にある場所だけを選ぶのか、3以内で行ける場所をすべて選ぶのか、という違いです。前者は線、後者は面の広がりになります。

図1の円は (x-2)²+(y+1)²=9 です。中心は (2,-1)、半径は3で、中心から右へ3進んだ P(5,-1) が円周上にあります。y+1 は y-(-1) と読むので、中心の y 座標は1ではなく -1 です。

図1のように、中心から上下左右へ半径の分だけ進んだ4点を取ると、円の位置を描きやすくなります。この円なら (5,-1)、(-1,-1)、(2,2)、(2,-4) です。どの点を代入しても左辺は9になります。中心そのものを代入した値は0なので、中心は円周上の点ではありません。

展開された x²+y²+Dx+Ey+F=0 は、平方完成によって (x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²)/4-F と直せます。右辺が正なら円、0なら1点、負なら条件を満たす実数の点はありません。x² と y² の係数が等しくても、ただちに円と決めず、半径の2乗に当たる値を調べる必要があります。たとえば x²+y²+2x-4y+6=0 は (x+1)²+(y-2)²=-1 となるため、実際の円を表しません。

円と直線、接線、2円の位置関係

円と直線の共有点を求めるときは、それぞれの式を連立します。直線を y=mx+n と書けるなら円の式に代入し、x の2次方程式を作ります。判別式が正なら2点で交わり、0なら1点で接し、負なら共有点はありません。x=k のような縦の直線は y の式に直せないので、x=k を直接円の式に入れて y を求めます。

共有点の個数だけが知りたいなら、中心から直線までの距離 d と半径 r の比較が便利です。d<r なら2点、d=r なら接する1点、d>r なら0点です。直線 Ax+By+C=0 に対する中心 (a,b) からの距離は d=|Aa+Bb+C|/√(A²+B²) です。ただし A と B が同時に0でないことが必要です。距離は負にならないので、分子の絶対値を落とさないようにします。

接点を T とすると、接線は半径 CT と垂直です。原点を中心とする円 x²+y²=r² の点 T(p,q) における接線は px+qy=r² です。p²+q²=r² だから T を通り、p と q がともに0でない範囲で半径と垂直になります。p と q がどちらも0でなければ、半径の傾き q/p と接線の傾き -p/q の積は -1 です。q=0 なら接線は x=p、p=0 なら y=q となり、縦や横の接線も含めて扱えます。

中心が (a,b) の場合は、点 (p,q) における接線が (p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r² になります。先に接点が円周上にあるかを確かめて使います。円の外の点をこの公式にそのまま代入しても、その点を通る接線を求めたことにはなりません。

円の外の点から引く接線では、その点を通る直線を文字で表し、中心からの距離が半径と等しい条件を立てます。たとえば x²+y²=1 に点 (2,0) から引く接線を y=m(x-2) と置くと、距離の条件は |2m|/√(m²+1)=1 です。2乗して 4m²=m²+1、つまり m=±1/√3 となります。縦の直線 x=2 はこの置き方に含まれませんが、中心からの距離が2なので接線ではありません。この別確認まで行うと、傾きを使ったために解を落とす心配がなくなります。

2円では、半径を r、s、中心間の距離を d とします。d>r+s なら外側に離れ、d=r+s なら外接し、|r-s|<d<r+s なら2点で交わります。d=|r-s|>0 なら内接し、d<|r-s| なら一方が他方の内側に入っていて共有点はありません。d=0 かつ r=s のときは同じ円で、接する1点という分類には入りません。同心で半径が異なる2円にも共有点はありません。

2円の交点を計算するときは、式を引くと x² と y² が消えることを利用します。x²+y²=25 と (x-6)²+y²=25 なら、後者から前者を引いて -12x+36=0、したがって x=3 です。元の円の式に戻すと y=±4 なので、交点は (3,4)、(3,-4) です。半径はともに5、中心間の距離は6なので、0<6<10 という位置関係とも一致します。引いて得た直線だけでは答えにならず、円との連立が必要です。

軌跡と領域は点を集めて考えます

軌跡とは、ある条件を満たしながら動く点の通り道、つまり条件を満たす点全体の図形です。点を P(x,y) と置いて条件を式に直し、x と y の関係を導きます。ただし、条件から式が出ることと、式を満たすすべての点が条件に合うことは別です。計算の最後に逆向きも確かめて、余分な点や欠けた点がないことを示します。

動く点 Q(s,t) から別の点 P(x,y) を作る問題もあります。たとえば Q が s²+t²=16 上を動き、P が原点と Q の中点なら x=s/2、y=t/2 です。s=2x、t=2y と戻して代入すると x²+y²=4 となります。逆にこの円周上の P から Q(2x,2y) を作れば元の円周上に戻るので、軌跡は円周全体です。Q が上半分だけを動くなら t≧0 から y≧0 も残り、軌跡は上半円だけになります。

不等式の表す領域では、まず等号にして境界を描きます。y≧2x-1 なら直線 y=2x-1 の上側、x²+y²≦9 なら円 x²+y²=9 の内部と周を合わせた範囲です。向きに迷ったら境界上でない点を代入します。原点を前者に入れると 0≧-1 は正しいので、原点を含む側を選びます。原点が境界上にある式では、原点以外の点を選ばなければ判定できません。

「かつ」で結ばれた条件は領域の重なり、「または」は少なくとも一方に入る範囲です。≦ や ≧ の境界は含め、< や > の境界は含めません。実線と破線を使い分けると、図を見返したときにも区別できます。境界を含むかどうかは見た目だけの問題ではなく、最大値や最小値が存在するかを左右します。

例題で解き方を確かめる

例題1　平方完成して円の中心と半径を求める

x²+y²-4x+2y-4=0 の表す円の中心と半径を求めます。x と y が混じったまま覚えた公式に当てはめるより、それぞれの平方のまとまりを作ると符号を確かめやすくなります。

x の項と y の項をまとめ、x²-4x+y²+2y=4 とします。定数を右辺へ移すと、左右でどれだけ補うかが見えます。
x²-4x=(x-2)²-4、y²+2y=(y+1)²-1 と直します。平方を作ったときに増えた分を引くので、元の式と値が変わりません。
(x-2)²+(y+1)²=9 と整理します。中心からの距離の2乗が9という意味になり、半径は9ではなく √9=3 です。
中心と半径を図1の位置に照らして確かめます。たとえば右端 (5,-1) を元の式に入れると 25+1-20-2-4=0 となり、位置が一致します。

答え：中心は (2,-1)、半径は3です。

平方完成の後に右辺が正とわかって初めて、円と判断できます。また、中心の符号は括弧の見た目と逆になりますが、「逆にする」とだけ覚えるより x-2=0、y+1=0 になる場所を考えると、中心の意味に戻って判断できます。

例題2　円と直線が接することを示して接点を求める

円 x²+y²=25 と直線 3x+4y=25 が接することを示し、接点を求めます。図2では、円の中心 O から接点 T に引いた半径と直線が垂直になっています。

円の中心と半径を読み、中心を (0,0)、半径を5とします。位置関係を調べるには円の大きさが必要だからです。
中心から直線 3x+4y-25=0 までの距離を求めます。d=|-25|/√(3²+4²)=25/5=5 となり、半径と等しいので接するとわかります。
接点の座標のために y=(25-3x)/4 を円の式へ代入します。16x²+(25-3x)²=400、整理して 25x²-150x+225=0、つまり 25(x-3)²=0 です。
x=3 から y=4 を得ます。3²+4²=25 と 3×3+4×4=25 の両方を満たすので、確かに共有点です。x の解が1つに重なることも、接するという判定と一致します。

答え：円と直線は接し、接点は (3,4) です。

図2の接線は、円周上の点 (3,4) に対して px+qy=r² を使っても得られます。距離の方法は「接するかどうか」、連立の方法は「接点はどこか」に向いています。同じ問題で両方を使うと、結論だけでなく理由も確認できます。

例題3　2点からの距離の比で決まる軌跡

A(0,0)、B(3,0) とします。PA=2PB を満たす点 P の軌跡を求めます。「A からの距離が B からの距離の2倍」という条件なので、線分 AB を2対1に分ける点だけを探す問題ではありません。P は座標平面全体を動けます。

P(x,y) と置き、距離の2乗を PA²=x²+y²、PB²=(x-3)²+y² と表します。距離の条件を座標の式へ変えるためです。
PA=2PB の両辺を2乗し、x²+y²=4((x-3)²+y²) とします。右辺の係数は2ではなく4になります。
展開して 3x²+3y²-24x+36=0、3で割って x²+y²-8x+12=0 とします。平方完成すると (x-4)²+y²=4 なので、円が候補になります。
逆に、この円周上の点なら変形を戻して PA²=4PB² が成り立ちます。PA、PB はともに0以上なので平方根を取って PA=2PB を得ます。B(3,0) は円の式を満たさず、距離が0になる点を誤って含めることもありません。

答え：中心 (4,0)、半径2の円 (x-4)²+y²=4 です。

たとえば (2,0) では PA=2、PB=1、(6,0) では PA=6、PB=3 で、どちらも条件を満たします。この2点を結ぶ線分だけが軌跡なのではありません。(4,2) でも PA=√20=2√5、PB=√5 です。横方向以外にも条件を満たす点があることを確かめると、円全体という答えが読みやすくなります。

例題4　領域の中で式の最大値・最小値を求める

x≧0、y≧0、x+y≦4 を満たす点 (x,y) について、2x+y の最大値と最小値を求めます。動くのは点で、調べるのはその点での式の値です。x だけを先に最大にしてから y を別に最大にすると、同時に満たせない座標を選ぶおそれがあります。

境界 x=0、y=0、x+y=4 を描きます。3条件の共通部分は頂点 (0,0)、(4,0)、(0,4) の三角形の内部と周です。領域を確定してから値を調べます。
2x+y=k と置き、y=-2x+k と直します。k が変わると傾き -2 の直線が平行に動くため、領域と共有点を持つ k の範囲を探す問題になります。
3頂点で値を計算すると、(0,0) で0、(4,0) で8、(0,4) で4です。直線を平行移動すると、最初と最後に接する頂点が候補になるためです。
領域内のすべての点についても 2x+y≧0、2x+y=2(x+y)-y≦8-y≦8 が成り立ちます。0は (0,0)、8は (4,0) で実際に取れるので、候補が本当の最小値・最大値と確定します。

答え：最大値は8でそのとき (x,y)=(4,0)、最小値は0でそのとき (x,y)=(0,0) です。

「頂点を代入する」方法は、今回のような三角形の領域と1次式の組合せで有効です。目的の直線が辺と平行なら、頂点1つだけでなく辺全体で同じ最大値や最小値を取ることもあります。また、円の領域には頂点がないため、接線や距離を使う必要があります。方法の名前だけでなく、何を平行に動かしているかを理解しておきましょう。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　平方完成で足した数を右辺に反映しない

誤った書き方は、x²+y²-4x+2y=4 から (x-2)²+(y+1)²=4 とする形です。どこが違うかというと、左辺に平方を作るための4と1を加えているのに、右辺が変わっていません。これは同じ条件を表す式ではなくなります。

正しい書き方は (x-2)²+(y+1)²=4+4+1=9 です。括弧を展開して元に戻せるかを確認すると、暗算で中心が読めても途中式の誤りを発見できます。半径は右辺の平方根なので、中心だけでなく半径まで確認してください。

誤り2　軌跡の式が出たら点の範囲を確認せず終える

誤った書き方は、「Q(s,t) は s²+t²=16、t>0 上を動き、P は原点と Q の中点だから、P の軌跡は x²+y²=4 の円全体」とするものです。どこが違うかというと、t>0 という移動範囲が途中で消えています。円の下半分の点を取ると、対応する Q も下半分に来るので条件に合いません。

正しい書き方は「x²+y²=4、y>0 の上半円。ただし両端 (2,0)、(-2,0) を含まない」です。逆に y>0 の点から作る Q(2x,2y) は t>0 を満たします。条件を式の横に残すことと、逆向きに点を作れることの2つを確かめれば、軌跡を必要以上に広げずに済みます。

誤り3　境界を含まないのに境界上の値を最大値とする

図3は例題4の領域です。図3の緑の実線は x+y=4 を含むことを示し、赤い直線 2x+y=8 は頂点 (4,0) で領域に接しています。円に対する接線と違い、ここでは半径との垂直を使うのではなく、領域と直線が共有点を持つ限界を見ています。

誤った書き方は、条件を x≧0、y≧0、x+y<4 に変えても「最大値は8」とするものです。どこが違うかというと、8を取る (4,0) が領域から除かれています。図3の斜めの辺を破線に変える状況であり、以前の最大値を取る点が残っているとは限りません。

正しい書き方は「最大値は存在しない。最小値は (0,0) で0」です。2x+y=2(x+y)-y<8 なので8は取れません。一方、y=0 として x を4より小さいまま4へ近づけると、値は8へいくらでも近づきます。単に「8より小さい」と示すだけでなく、8より小さい特定の値が最大になるわけでもないと確認することが必要です。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。武蔵境の数学塾（1 対 1）／お問い合わせ

練習問題

式を整理した後には、元の条件への代入と境界の確認を行いましょう。練習4では、最大値を取る点が領域の内側か周上かも言葉にしてください。

練習1

x²+y²+6x-4y+9=0 が表す円の中心と半径を求めてください。また、点 (-1,2) が円周上にあるか判定してください。

練習2

円 x²+y²=25 と直線 y=3 の共有点を求めてください。また、直線 y=5 との共有点を求め、位置関係を答えてください。

練習3

A(-2,0)、B(2,0) に対し、PA=PB を満たす点 P(x,y) の軌跡を求めてください。得られた図形上の点がすべて条件を満たすことも説明してください。

練習4

x²+y²≦4 のとき、2x+y の最大値と最小値、およびそれぞれの値を取る点を求めてください。必要なら (2x+y)²+(x-2y)²=5(x²+y²) を使ってください。

答えと解説

練習1の答え：中心は (-3,2)、半径は2で、(-1,2) は円周上にあります。平方完成すると (x+3)²+(y-2)²=4 です。(-1,2) を代入すると 2²+0²=4 となり、中心から右へ2進んだ円周上の点だと確認できます。

練習2の答え：y=3 との共有点は (-4,3)、(4,3) です。x²+9=25 より x²=16、したがって x=±4 となります。y=5 では x²+25=25 から x=0 となり、共有点は (0,5) です。中心から直線までの距離が半径5と等しいので、円と直線は接します。

練習3の答え：軌跡は直線 x=0、つまり y 軸です。(x+2)²+y²=(x-2)²+y² から 8x=0 が得られます。逆に x=0 上では PA²=4+y²=PB² であり、距離は0以上なので PA=PB です。これは線分 AB の垂直二等分線を、座標を使って求めたことになります。

練習4の答え：最大値は 2√5 で、その点は (4/√5,2/√5)、最小値は -2√5 で、その点は (-4/√5,-2/√5) です。与えられた等式から (2x+y)²≦5(x²+y²)≦20 となり、-2√5≦2x+y≦2√5 が得られます。端の値を取るには x-2y=0 と x²+y²=4 が同時に必要です。x=2y を代入して 5y²=4 を解くと、答えの2点が得られ、いずれも領域の周上にあります。

練習4では、円の内側まで動けても、端の値を取る点は円周上でした。直線 2x+y=k と原点の距離は |k|/√5 なので、この距離が半径2になる場合を求めても同じ端の値が出ます。ただし、値の範囲を求めただけで終わらず、等号を満たす点が本当に領域内にあることまで確認します。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

方程式を図形として読む力は、三角関数で円周上の点を考える場面や、数学Cで曲線・ベクトルを扱う場面にもつながります。領域の中で動ける範囲を整理する考え方は、微分を使って最大値・最小値を求めるときにも必要です。計算の方法が増えても、条件を満たす点でその値を取れるかという確認は変わりません。

家庭では5分でできる確認を2つ試せます。1つ目は、円の式を1つ書き、中心と半径、上下左右の4点を記し、そのうち1点を式へ代入することです。2つ目は、x+y≦4 を x+y<4 に変え、三角形のどの辺のどの点が消えるかを図に描くことです。お子さまの学習を見守るときも、答えの数字だけでなく「この点はまだ使えるか」と聞くと、境界の理解を確かめられます。

個別指導では、平方完成が崩れているなら展開との往復まで、軌跡の範囲が抜けるなら元の点と移った点の対応まで戻って確かめます。図が苦手という一括りにせず、式の変形と点の条件のどちらで止まっているかを分けると、直す箇所が具体的になります。