【小5算数】正多角形と円周の長さを図解で総まとめ—円周率3.14の意味｜武蔵野個別指導塾

円の中心の角を等分する正多角形のかき方から、円周率3.14の意味へ進みます。半径から円周を求める問題や、円周から直径を逆算する問題を、3枚の図と例題で練習し、3.14を使う場面を見分けます。

よくあるのは、工作の時間に丸い厚紙のふちへひもを付けようとして、定規で測った「真ん中を通る長さ」に3.14をかける理由がわからず、手が止まるという場面です。丸いふちと、まっすぐな線は別のものに見えます。それでも、円の大きさにかかわらず、2つの長さの間には同じきまりがあります。

また、円の中に正六角形をかくときも、見た目で6つの点を打つだけでは、辺がそろいません。円の中心のまわりを同じ大きさの角に分けると、点を置く場所が決まります。円は、整った形をかくための手がかりにもなるのです。

この単元では、円のどこを測るのか、何を等しく分けるのかを図で確かめます。式の数字を先に探すのではなく、求める部分を指でたどるところから始めましょう。多くの教科書では5年生で学びます。

この単元で身につけること

• 正多角形を見分けます。辺の長さがすべて等しく、角の大きさもすべて等しいかを、両方確かめます。
• 円を使って正多角形をかきます。中心のまわりの360°を辺の数で等しく分け、円周上の点を順につなぎます。
• 半径・直径・円周を区別します。中心からふちまで、中心を通ってふちからふちまで、ふちを1周した長さの違いを読み取ります。
• 円周率の意味を説明します。円周が直径の何倍かを表す数で、計算には3.14を使います。
• 円周と直径を求めます。直径から円周を出すかけ算と、円周から直径を出すわり算を使い分けます。

前に学んだ円の半径と直径、分度器で角を測る方法、小数のかけ算・わり算がつながる単元です。計算で迷ったときと、図の読み取りで迷ったときは、戻る場所が違います。まずは線の名前を言えるか、その次に式を立てられるかを順番に確かめましょう。

基本の考え方

正多角形は辺と角の両方がそろう形です

直線だけで囲まれた図形を多角形といいます。そのうち、辺の長さがすべて等しく、角の大きさもすべて等しいものが正多角形です。正三角形は辺が3本、正方形は辺が4本の正多角形で、正方形を正四角形と呼ぶこともあります。正五角形、正六角形という名前の数字は、辺の数を表しています。

「辺が同じ長さなら正多角形」と覚えると、見分けを間違えます。たとえば、正方形ではないひし形は4本の辺が等しくても、4つの角がすべて等しいわけではありません。反対に、縦と横の長さが異なる長方形は、4つの角は等しくても、4本の辺はそろいません。辺と角の条件を1つずつ調べます。

正多角形を円の中にかくときは、円の中心を利用します。図1のように中心から円周へ線を引き、中心のまわりを等しい角に分けます。隣り合う線が円周と出会う点を直線でつなぐと、正多角形になります。円周上の隣り合う点の間隔がそろうので、辺の長さも角の大きさもそろいます。

図1では、中心のまわりの360°を6等分しています。360 ÷ 6 = 60 なので、中心のところにできる角は1つ分が60°です。正八角形なら360 ÷ 8 = 45 で45°になります。この角は、多角形の頂点にある角とは場所が違います。分度器の中心を置くのは、円の中心です。

半径・直径・円周はどこの長さでしょうか

円の中心から円周上の点までの長さが半径です。同じ円では、どの方向に測っても半径は等しくなります。中心を通り、円周上の2点を結ぶ線分の長さが直径です。中心をはさんで半径が2本並ぶので、直径 = 半径 × 2、半径 = 直径 ÷ 2 という関係があります。

円のふちを1周した長さを円周の長さといいます。丸い缶にひもを1周巻き、そのひもをまっすぐ伸ばして測ると、円周のおよその長さを調べられます。直径は円の中を横切る長さ、円周は円のふちに沿う長さです。円の中の広さを表す面積とは区別しましょう。

円周を実際に測るときは、ひもを重ねた部分や、すき間の分まで数えないようにします。巻き始めと巻き終わりに印を付け、その印の間を測ると、1周の範囲がはっきりします。直径を測る定規も、中心を通っているか確認する必要があります。

円周率は円周が直径の何倍かを表します

大小いくつかの円で「円周 ÷ 直径」を計算すると、およそ3.14という数になります。この、円周が直径の何倍かを表す数が円周率です。円周率そのものは3.14で終わらず、その先も続く数ですが、ここからの問題では3.14を使います。円周率は長さではないため、3.14にcmは付けません。

円周が直径の約3.14倍なので、円周 = 直径 × 3.14 と求められます。半径がわかっている場合は、先に2倍して直径に直します。反対に円周から直径を求めるなら、直径 = 円周 ÷ 3.14 です。何倍かされたあとの長さを、その倍の数でわると、もとの長さに戻ります。

同じ円周率を使うため、直径が2倍なら円周も2倍になります。また、円周は直径の3倍より少し長いと見当を付けられます。この見当があれば、小数点の位置や、半径と直径の取り違えに気づきやすくなります。

例題で解き方を確かめる

例題1　円を使って正五角形をかきましょう

半径4cmの円を使って正五角形をかきます。中心のまわりを何度ずつに分ければよいでしょうか。角度を求めてから、かき方を確かめましょう。

1. 正五角形の辺は5本なので、中心のまわりを5等分します。同じ円の上に、等しい間隔で5つの頂点を置くためです。
2. 360 ÷ 5 = 72 と計算します。1周の角を5つに分けるので、1つ分は72°です。
3. コンパスで半径4cmの円をかき、中心から円周まで1本の線を引きます。分度器の中心を円の中心に重ね、そこから72°ずつ測って線を引き、円周上に5つの点を取ります。
4. 隣り合う点を定規で順につなぎ、最後の点と最初の点もつなぎます。正多角形の辺は曲線ではなく直線なので、円のふちをなぞらないようにします。

答え：中心のまわりを72°ずつに分けます。

半径4cmは円の大きさを決める数で、5等分する角度の計算には使いません。かいたあとには、辺が5本あるか、どれか1本だけ長くなっていないかを見ます。ずれている場合は、分度器の中心や0°の線を置いた場所に戻りましょう。

例題2　半径から円周を求めましょう

半径5cmの円の円周は何cmでしょうか。図2のように、半径が2本で直径になることを先に確かめます。

1. 5 × 2 = 10 として、直径を求めます。円周を求める式に入れる長さは半径ではなく直径だからです。
2. 10 × 3.14 = 31.4 と計算します。直径10cmの約3.14倍が円周の長さです。
3. 10 × 3 = 30 と比べます。31.4cmは30cmより少し長いので、答えの大きさも合っています。

答え：円周は31.4cmです。

図2の緑の線は中心から上のふちまで、赤い線は左のふちから中心を通って右のふちまでです。式をまとめれば5 × 2 × 3.14になりますが、慣れるまでは「直径10cm」と途中に書くと、何を求めたかを見失いません。求めているのは長さなので、単位はcmです。

例題3　丸い花だんの周りにロープを張ります

直径2.5mの円形の花だんに沿って、ロープを1周張ります。結び目などに使う分として、さらに0.5m必要です。ロープは全部で何m必要でしょうか。

1. 求める長さを「花だんの1周分」と「追加する分」に分けます。追加の0.5mは円の直径ではなく、最後に足す長さです。
2. 2.5 × 3.14 = 7.85 として、円周を求めます。小数の直径でも、直径と円周の関係は変わりません。
3. 7.85 + 0.5 = 8.35 と計算します。必要なロープには、円周に加えて結び目などに使う分も含まれるためです。

答え：ロープは全部で8.35m必要です。

2.5 × 3 = 7.5 なので、1周分の7.85mは見当にも合っています。「全部で」と聞かれたら、円周を求めただけで終わらないようにします。数字の横に「直径」「追加」と短く書き添えると、どの数字を3.14にかけるか整理できます。

例題4　円周から直径を求めましょう

円周が37.68cmの円があります。この円の直径と半径は、それぞれ何cmでしょうか。円周からもとになる直径へ戻る問題です。

1. 37.68 ÷ 3.14 = 12 として直径を求めます。直径を3.14倍した長さが円周なので、その3.14でわります。
2. 12 ÷ 2 = 6 として半径を求めます。直径は半径2本分だからです。
3. 12 × 3.14 = 37.68 と計算し直します。求めた直径から問題の円周に戻れば、逆算が合っていると確かめられます。

答え：直径は12cm、半径は6cmです。

わり算を筆算するときは、37.68 ÷ 3.14 を3768 ÷ 314として計算できます。わる数だけでなく、わられる数も100倍するのが決まりです。計算の答え12に、問題で使っている長さの単位cmを付けます。

つまずきやすいところと直し方

辺の長さだけで正多角形と判断してしまう

間違った書き方は「ひし形は4本の辺が等しいので、必ず正多角形」です。足りないのは角の確認です。正方形でないひし形には、開きの大きい角と小さい角があります。

正しい書き方は「辺の長さと角の大きさが、それぞれすべて等しいときに正多角形」です。辺を定規で測るだけで終わらず、角も分度器で確かめます。正方形はひし形の仲間でもありますが、どのひし形でも正方形になるわけではありません。

中心の角を頂点の角と取り違える

間違った書き方は「正六角形の頂点の角は360 ÷ 6 = 60°」です。このわり算で求めているのは、円の中心のまわりを6等分した角です。多角形の辺と辺が出会う頂点の角とは、測る場所が違います。

図3のように、中心の角は60°、正六角形の頂点の内側の角は120°です。正しい書き方は「正六角形をかくときは、中心のまわりを60°ずつに分ける」です。この円を中心から分けた6つの三角形は正三角形になり、頂点の内側には60°が2つ並びます。角の数字だけでなく、角をはさむ2本の線を指で確認しましょう。

半径をそのまま3.14倍してしまう

間違った書き方は「半径5cmだから、円周は5 × 3.14 = 15.7cm」です。式の5は半径ですが、円周率をかける相手は直径です。このままでは円周の半分の長さになってしまいます。

正しい書き方は「直径は5 × 2 = 10cm、円周は10 × 3.14 = 31.4cm」です。計算前に、与えられた線が中心で止まっているのか、中心を通って反対側まで続くのかを見ます。図のない問題でも円を1つかき、半径か直径かを書き込むと判断できます。

練習問題

円周率は3.14として計算します。答えだけでなく、角を分ける式や直径を求める式も残しましょう。円周の問題では、計算する前に直径の3倍を目安にします。

練習1

円を使って正八角形をかきます。中心のまわりを何度ずつに分ければよいでしょうか。

練習2

半径3cmの円の円周は何cmでしょうか。

練習3

円周が25.12cmの円の直径と半径を求めましょう。

練習4

直径1.2mの円形の板のふちに、テープをちょうど1周貼ります。同じ板3枚に貼るとき、テープは全部で何m必要でしょうか。重ねる分は考えません。

答えと解説

練習1：45°です。360 ÷ 8 = 45 として、中心のまわりの1周を8等分します。

練習2：18.84cmです。3 × 2 = 6 で直径を出し、6 × 3.14 = 18.84 と求めます。

練習3：直径8cm、半径4cmです。25.12 ÷ 3.14 = 8、8 ÷ 2 = 4 と順番に求めます。

練習4：11.304mです。1枚分は1.2 × 3.14 = 3.768 で3.768m、3枚分は3.768 × 3 = 11.304 です。枚数の3と円周率の3.14は、役目の違う数です。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

円周の長さは、円柱の側面を開いた長方形の横の長さを考えるときに使います。円の面積を学ぶときにも、円周と半径の関係が手がかりになります。長さと広さの区別を、今のうちに付けておきましょう。

家庭では、5分ほどで次の2つを試せます。1つ目は丸い容器のふたにひもを巻き、円周が直径の約何倍か調べることです。測り方によって少しずれるので、3.14とぴったり一致しなくても、印や定規の位置を見直して比べます。2つ目は紙に円をかき、中心から90°ずつ線を引いて、円周上の4点をつなぐことです。できた正方形の辺と角を確かめます。

個別指導では、式を直す前に、半径・直径・円周を図で指せるかまで戻って確かめます。保護者の方も、お子さまに「この数字はどこの長さですか」と尋ねると、迷っている場所を一緒に探せます。

まとめ

答えが出ても、式にある数字が図のどこを表すか、もう一度たどってみましょう。360は中心のまわりの角、2は半径から直径へ直すための倍の数、3.14は直径から円周へ進むための倍の数です。数字の役目が言えれば、形や大きさが変わっても、同じ考え方で進めます。

ノートには答えと一緒に、使った線や角に印を残しておきましょう。円周の式の出発点は、円の中心を通る1本の直径です。