【小5算数】偶数・奇数と倍数・約数を図解で総まとめ｜武蔵野個別指導塾

2個ずつ組にする図や倍数の数直線で、偶数・奇数から最大公約数まで学べます。ベルが同時に鳴る時刻と、お菓子を同じ内容の袋に分ける例題で、どちらを使うか見分ける目を養えます。

よくあるのは、祖父母の家の客間でお菓子を袋に分けながら、「12個と18個を同じ内容の袋に分けるなら、12と18をかければよいのかな」と手が止まる場面です。かけ算もわり算もできるのに、倍数と約数のどちらを使うかが決まらないと、計算を始めにくくなります。

この単元では、数を順に大きくしてそろえる見方と、数をあまりなく分ける見方を学びます。同じ間隔でくり返す予定が次に重なるときを調べたり、品物を残さず同じ内容に分けたりする場面で役立ちます。偶数と奇数も、2でわったときのあまりに目を向けると、倍数の考え方につながります。

言葉だけを一度に覚えようとせず、まずは丸を組にする、数を並べる、かけ算の組を探す、という動きで確かめましょう。答えの数が合っているかだけでなく、「何をそろえた数か」「何をわり切れる数か」まで説明できることを目指します。

この単元で身につけること

• 偶数と奇数を見分けます。2でわり切れる整数か、2でわると1あまる整数かを、一の位や2個ずつの組から判断します。
• 倍数を順に並べます。ある整数を1倍、2倍、3倍とした数を、かけ算や同じ数ずつのたし算で求めます。
• 公倍数と最小公倍数を求めます。2つの数の倍数に共通する数を探し、そのうち最も小さい数を選びます。
• 約数をもれなく求めます。ある整数をわり切れる整数を、かけ算の組にして調べ、最後に小さい順に並べます。
• 公約数と最大公約数を使います。2つの数をどちらもわり切れる数を探し、同じ内容に分ける袋の数などを考えます。

これまでに学んだ九九、整数のわり算、あまりのあるわり算が土台になります。多くの教科書では5年生で学びますが、九九を速く言うことより、かける数と答えの関係を確かめることが役立ちます。問題文を読んだら、求める数の単位も先に意識しておきましょう。

基本の考え方

偶数と奇数は2個ずつの組で考えます

2でわり切れる整数を偶数、2でわると1あまる整数を奇数といいます。8 ÷ 2 = 4なので8は偶数、9 ÷ 2 = 4あまり1なので9は奇数です。図1のように丸を2個ずつ囲むと、組から出る丸があるかどうかで違いが見えます。

図1の上段では4組できて、丸は残りません。下段でも4組できますが、最後に1個だけ残ります。「2でわれる」とだけ言うと、小数の答えまで考えて迷うことがあります。ここでは、整数のわり算であまりが0になるかを見ています。

一の位が0、2、4、6、8なら偶数、1、3、5、7、9なら奇数です。10のまとまりはいつも2個ずつに分けられるので、最後の一の位だけを調べればよいのです。たとえば146は一の位が6なので偶数です。0も0 ÷ 2 = 0とわり切れるため、偶数に入ります。

倍数は同じ数ずつ増やした数です

ある整数を整数倍した数を、その数の倍数といいます。この単元で倍数を並べるときは、0を除いて、1倍、2倍、3倍と正の整数倍した数を扱います。4の倍数なら4、8、12、16、20、24、…です。4個入りの箱を1箱、2箱、3箱と増やしたときの合計と考えられます。

4の倍数にも6の倍数にもなっている数を、4と6の公倍数といいます。4の倍数と、6、12、18、24、…を比べると、12や24が共通しています。そのうち最も小さい12が最小公倍数です。「公」は、ここでは共通しているという意味です。

4と6の公倍数は12、24、36、…と続き、最小公倍数12の倍数になります。数を増やし続けられるため、倍数や公倍数には最後の数がありません。「公倍数を全部書く」と言われたら終わらないので、問題では「小さい順に3つ」などの範囲を確かめます。

約数はあまりなく分けられる数です

ある整数をわり切ることのできる整数を、その数の約数といいます。ここでは1以上の整数について考えます。12 ÷ 3 = 4なので3は12の約数で、12 ÷ 4 = 3なので4も12の約数です。12個を同じ個数ずつ並べるとき、3列にしても4列にしても残りません。

12の約数は1、2、3、4、6、12です。1もその数自身も忘れずに入れます。約数はもとの数より大きくならないので、倍数と違って全部を書き出すことができます。0でわることはできないため、0は約数に入れません。

2つの数に共通する約数を公約数、そのうち最も大きい数を最大公約数といいます。12と18の公約数は1、2、3、6で、最大公約数は6です。1はどちらの数もわり切れるので、共通する約数が見つからないように見えても、まず1を確かめましょう。

「12は3の倍数」と「3は12の約数」は、同じ12 ÷ 3 = 4という関係を逆向きに読んだ言い方です。どちらの数について話しているかを確かめると、似た言葉を整理できます。

例題で解き方を確かめる

例題1　偶数と奇数に分けます

0、17、28、105、236を、偶数と奇数に分けましょう。数が大きくなっても、一の位で判断するきまりは変わりません。

1. 一の位を見ます。順に0、7、8、5、6です。10のまとまりは2個ずつ組にできるので、全体を2でわる筆算は必要ありません。
2. 一の位が0、8、6の数を偶数に分けます。0は「個数がないからどちらでもない」とせず、2でわり切れるという意味に戻ります。
3. 残る17と105を奇数に分けます。17 = 2 × 8 + 1、105 = 2 × 52 + 1と表せるので、どちらも1あまります。

答え：偶数は0、28、236、奇数は17、105です。

例題2　ベルが次に同時に鳴るときを求めます

4分ごとに鳴るベルと6分ごとに鳴るベルが、午前9時に同時に鳴りました。次に同時に鳴るのは何時何分でしょうか。どちらも同じ間隔で鳴り続けるものとします。

1. 午前9時から何分後に鳴るかを書きます。4分ごとのベルは4、8、12、16、20、24分後、6分ごとのベルは6、12、18、24分後です。くり返しの間隔を積み重ねるので、倍数を使います。
2. 2つの列に共通する数を探します。図2のように同じ数直線の位置を比べると、12と24で印がそろいます。初めの0分後は、すでに鳴った午前9時です。
3. 「次に」なので、0より大きい共通の数のうち最も小さい12を選びます。午前9時の12分後は午前9時12分です。12 ÷ 4 = 3、12 ÷ 6 = 2と、両方の間隔に合うことも確認します。

答え：午前9時12分です。

図2では、横の同じ長さが同じ時間を表しています。12分後の縦の線を見ると、上は4分を3回、下は6分を2回進んで着く場所です。24分後も同時ですが、求めているのは最初の重なりなので、答えにはしません。

例題3　24の約数を全部求めます

24をわり切れる整数を全部書きましょう。思いつく順に書くと抜けやすいため、かけて24になる2つの数を組にして調べます。

1. 小さい数から組を探します。1 × 24 = 24、2 × 12 = 24、3 × 8 = 24、4 × 6 = 24です。片方が見つかると、もう片方も約数だとわかります。
2. 5では24をわり切れません。6まで進むと6 × 4となり、4 × 6と同じ組に戻ります。これより先は左右が入れ替わった組になるため、調べ終わりです。
3. 組に出てきた数を、小さい順に並べ直します。1、2、3、4、6、8、12、24です。組の左右を別々に確認すれば、大きい約数も拾えます。

答え：1、2、3、4、6、8、12、24です。

例題4　同じ内容の袋をできるだけ多く作ります

あめ12個とクッキー18枚を、残さず袋に分けます。どの袋にも、あめを同じ個数、クッキーを同じ枚数ずつ入れます。袋は最も多くて何袋でき、1袋にはそれぞれいくつ入るでしょうか。

1. 袋の数は12も18もわり切る数だと考えます。あまりを出さずに分けるので、公約数を探します。「同じ内容」は、あめとクッキーの個数を互いに同じにする意味ではありません。
2. 12の約数は1、2、3、4、6、12、18の約数は1、2、3、6、9、18です。共通する1、2、3、6のうち最大の6を選びます。袋をできるだけ多く作るという条件に合います。
3. 1袋分を求めます。12 ÷ 6 = 2、18 ÷ 6 = 3です。2 × 6 = 12、3 × 6 = 18と戻せるので、どちらも残りません。

答え：6袋でき、1袋にあめ2個とクッキー3枚が入ります。

つまずきやすいところと直し方

倍数と約数の向きを入れ替えてしまいます

間違った書き方は「6の約数は6、12、18」です。12や18で6をわっても整数の商にならないため、この並びは約数ではありません。6を1倍、2倍、3倍にした数なので、正しくは「6の倍数は6、12、18、…」です。

6の約数なら1、2、3、6と書きます。迷ったら「6 ÷ □がわり切れる数を探す」と言い直しましょう。倍数にも約数にも6自身が入るので、最初の数だけを見て決めず、ほかの数との関係を確かめます。

最小公倍数をいつも2つの数の積にしてしまいます

間違った書き方は「4と6の最小公倍数は4 × 6 = 24」です。24は公倍数ですが、図2にはそれより手前の12にも重なりがあります。正しくは「4と6の最小公倍数は12」です。

2つの数をかけると公倍数にはなりますが、最小とは限りません。片方の倍数を小さい順に並べ、もう片方でわり切れるかを調べれば、最初に見つかった数を選べます。答えを見つけた後も、両方の数でわり切れるかを確かめましょう。

約数を小さい方だけ書いてしまいます

間違った書き方は「12の約数は1、2、3」です。1 × 12、2 × 6、3 × 4の右側にある数も12をわり切れるので、これでは半分が抜けています。正しくは「1、2、3、4、6、12」です。

図3のように、かけて12になる組を1行ずつ書き、左右両方の数を拾います。大きい数だけ別に思い出そうとするより、組にした方が抜けを見つけやすくなります。なお、同じ数どうしの組ができたときは、約数の一覧に同じ数を2回書く必要はありません。

練習問題

紙に数の並びやかけ算の組を書いてから、答えと比べましょう。文章題では、最初に倍数と約数のどちらを使ったかを短く書くと、自分の考えを振り返れます。

練習1

0、39、54、101を偶数と奇数に分けましょう。

練習2

6と8の公倍数を小さい順に3つ書き、最小公倍数も答えましょう。

練習3

16の約数を全部書きましょう。同じ数どうしのかけ算の組に注意します。

練習4

赤い折り紙20枚と青い折り紙30枚を、どの組も同じ内容になるように残さず分けます。組の数を最も多くすると何組でき、1組には各色何枚入りますか。

答えと解説

練習1：偶数は0、54、奇数は39、101です。一の位を見て分けます。0も2でわり切れます。

練習2：公倍数は24、48、72、最小公倍数は24です。8の倍数8、16、24、…のうち、初めて6でわり切れるのが24です。その倍数も6と8のどちらでもわり切れます。

練習3：1、2、4、8、16です。1 × 16、2 × 8、4 × 4の組から集めます。4は2回出てきますが、一覧には1回だけ書きます。

練習4：10組でき、1組は赤2枚、青3枚です。20と30の公約数は1、2、5、10で、最大公約数が10です。20 ÷ 10 = 2、30 ÷ 10 = 3で中身を求めます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

公倍数は分数の分母をそろえる通分、公約数は分数を簡単にする約分につながります。先に計算の形だけを覚えるより、「共通する倍数でそろえる」「共通する約数でわる」と意味を結びつけておくと、分数でも考えを使えます。

家庭では5分ほどで、次の2つを試せます。1つ目は、小さな品物を9個並べて2個ずつ組にし、1個足すと偶数になるかを確かめることです。2つ目は、12個の品物を同じ個数ずつに分け、何組にできるかを全部探すことです。保護者の方は、お子さまに「残りが出ないのは何組のときかな」と尋ねると、約数の意味を確かめられます。

個別指導では、言葉で迷っているのか、わり算のあまりで迷っているのかを分けて確認します。必要なら品物を同じ個数ずつ並べるところまで戻り、式と実物の動きを結びつけます。

まとめ

問題を読んで手が止まったら、答えになりそうな数を1つ選び、実際に並べたり分けたりしてみましょう。ベルなら同じ時点に着くか、お菓子なら両方とも残らないかを調べます。その試し方が決まれば、どの数を探すべきかが見えてきます。

「最小」「最大」という言葉だけで計算を選ばず、答えの数をもとの場面に戻して確かめましょう。12分後と6袋の違いを説明する言葉に、倍数と約数の理解が表れます。