【小5算数】整数と小数を図解で総まとめ—10倍・1/10で位はどう動くか｜武蔵野個別指導塾

3.047の位取りや、リボンを10等分する例題から、10倍と1/10のしくみを確かめます。位取り表と数直線を手がかりに、0を補う理由まで親子で一つずつ確かめる構成です。

よくあるのは、朝のホームルーム前に宿題を開き、「3.6を10倍すると36。でも、0.36を10倍するとどうなるの」と鉛筆が止まる場面です。「10倍なら0をつける」と覚えていると、0.360と書きたくなるかもしれません。ところが、0.36と0.360は同じ大きさです。整数で使えたように見えた方法が、小数ではうまくいかないのです。

この迷いをほどく手がかりは、数字がいる「位」です。同じ3でも、3、0.3、0.03では大きさが違います。数字そのものと、その数字が表す大きさを分けて見ると、10倍や1/10で何が変わるかを説明できます。

多くの教科書では5年生で、整数と小数のしくみをまとめて学びます。ここでは位取り表から出発し、0の役割、数の大小、小数点の位置まで順に確かめます。答えを出したあとに「もとの数に戻せるか」を試すところまで進みましょう。

この単元で身につけること

• 位と数字の意味を結びつけます。一の位の3は1が3個、小数第一位の3は0.1が3個というように、何をいくつ集めた数かを説明します。
• 整数と小数を同じしくみで読みます。位が左へ1つ進むと10倍、右へ1つ進むと1/10になるきまりは、小数点をまたいでも続きます。
• 10倍、100倍、1000倍を求めます。それぞれ何回10倍するのかを考え、数字が移る先の位を決めます。
• 1/10、1/100の大きさを求めます。10でわること、100でわることと結びつけ、必要な場所に0を補います。
• 小数の大小や計算結果を確かめます。小数点をそろえて位ごとに比べ、計算後の数が大きくなるはずか、小さくなるはずかも見ます。

前の学年で学んだ一、十、百の位や小数の表し方が、この単元の土台です。新しい計算を別々に覚えるのではなく、すでに知っている位の並びを小数の側へ伸ばして考えます。

基本の考え方

整数も小数も、10個集まると左の位へ進みます

0、1、2、3のような数を整数といいます。0.1や2.35のように、小数点を使って表す数が小数です。小数点は、一の位と小数第一位の間に置きます。点のすぐ右が小数第一位、その右が小数第二位、さらに右が小数第三位です。それぞれ0.1、0.01、0.001がいくつあるかを表します。

1が10個で10になるのと同じように、0.1が10個で1になります。0.01が10個で0.1、0.001が10個で0.01です。小数点のところで別のきまりに変わるわけではありません。どの位でも、10個集めると左隣の位の1個分になります。

図1のように3.047を位取り表に入れると、一の位に3、小数第一位に0、小数第二位に4、小数第三位に7が入ります。上の段の数は、その列で1個分になる大きさです。

3.047は、1が3個、0.01が4個、0.001が7個集まった数です。式では3.047 = 3 + 0.04 + 0.007と表せます。小数第一位の0は「0.1のまとまりがない」と知らせています。この0を消して3.47にすると、4が0.1の位へ移ってしまい、別の数になります。

一方、3.470の最後の0を消して3.47と書いても、大きさは変わりません。0.001が0個という部分を省いただけだからです。0を消してよいかは、場所で決まります。小数の末尾の0を省くときも、ほかの数字の位が変わらないことを確かめましょう。

10倍と1/10は、位を反対向きに動かします

数を10倍すると、それぞれの数字が表す大きさも10倍になります。たとえば2.35の2は2を表していますが、10倍した23.5では20を表します。3は0.3から3へ、5は0.05から0.5へ変わります。位取り表の中では、すべての数字が左へ1つ移っています。

100倍は10倍を2回することなので左へ2つ、1000倍は10倍を3回することなので左へ3つ移ります。2.35を100倍すると235、1000倍すると2350です。2350の一の位の0は、数字を動かしたあとに空いた位を埋めています。0を書かず235にすると、100倍した数になってしまいます。

反対に、1/10の大きさにするとは、10でわることです。2.35の1/10は0.235で、数字は右へ1つ移ります。1/100にするとは100でわること、つまり10で2回わることなので、右へ2つ移って0.0235になります。一の位にも小数第一位にも数が入らないため、そこを0で示します。

ここで「数字が動く」と「小数点が動く」を混ぜないことが大切です。位取り表では小数点の場所を固定して数字を動かします。紙に書いた数字の並びをそのままにして答えを書くなら、10倍では小数点を右へ1つ、1/10では左へ1つ動かす、と考えられます。同じ変化を、見るものを変えて表しているのです。

比べるときは小数点をそろえます

小数は、書いてある数字の個数だけでは大小を決められません。0.8と0.75なら、0.8を0.80と書いて小数点をそろえます。一の位はどちらも0ですが、小数第一位は8と7なので、0.8のほうが大きいとわかります。左の位から比べ、初めて違った位で判断します。

ものさしの目盛りを思い浮かべると、0.8は0.1を8個集めた位置です。0.75は0.7と0.8の間にあります。「75は8より大きい」と数字だけを見るのではなく、同じ大きさのまとまりにそろえて比べましょう。

例題で解き方を確かめる

例題1　数字が表す大きさを読み取る

3.047の4はどの位の数字ですか。また、3.047は0.001を何個集めた数ですか。

1. 小数点の右から順に位を読みます。最初の0が小数第一位、次の4が小数第二位なので、4は0.01が4個あることを表します。
2. 図1の3、0.04、0.007を、すべて0.001の何個分かにそろえます。まとまりの大きさをそろえないと、個数を足せないからです。
3. 3は3000個分、0.04は40個分、0.007は7個分です。3000 + 40 + 7 = 3047と計算します。

答え：4は小数第二位の数字で、3.047は0.001を3047個集めた数です。

3個と4個と7個をそのまま足して14個としないようにします。この3個は1の個数、4個は0.01の個数で、数えているものの大きさが違います。答えの3047に0.001をかけた大きさが3.047になることも確かめられます。

例題2　10倍、100倍、1000倍を求める

0.406を10倍、100倍、1000倍した数をそれぞれ求めましょう。

1. もとの4が小数第一位にあることを確かめます。4の行き先を目印にすると、何個分の位を動かしたかが見えやすくなります。
2. 10倍では数字を左へ1つ動かし、4を一の位に置きます。0.406 × 10 = 4.06です。間の0も一緒に動かします。
3. 100倍では左へ2つ動かし、4を十の位に置きます。0.406 × 100 = 40.6です。1000倍では左へ3つ動かし、4を百の位に置くので、0.406 × 1000 = 406です。

答え：10倍は4.06、100倍は40.6、1000倍は406です。

図2のように、同じ4、0、6の並びが、1段下がるたびに左へ1列ずつ移ります。赤い縦線は小数点の位置です。図の左端には段の名前を置き、数を入れる列とは分けています。

図2で4だけでなく6もたどると、小数第三位から小数第二位、小数第一位、一の位へと進んでいます。10倍するたびにすべての数字の位が変わるので、途中の0だけを取り除くことはできません。

例題3　小さくした数に0を補う

7.2の1/10と1/100の大きさを求めましょう。

1. 1/10は10でわることなので、数字を右へ1つ動かします。7が一の位から小数第一位へ移り、2が小数第二位へ移ります。
2. 一の位が空くため0を書き、7.2 ÷ 10 = 0.72とします。小数点の前の0が、1より小さい数であることを見やすくします。
3. 1/100では右へ2つ動かします。7は小数第二位へ移るので、小数第一位にも0が必要です。7.2 ÷ 100 = 0.072となります。

答え：1/10は0.72、1/100は0.072です。

0.072を100倍すると7.2に戻ります。反対向きの計算で確かめると、0を1つ書き落とした間違いにも気づけます。0.72を100倍すると72になるので、もとの7.2には戻りません。

例題4　リボンを10等分する

長さ4.8mのリボンを、同じ長さになるように10本に切り分けます。1本の長さは何mですか。切るときに失われる長さは考えません。

1. 全体を同じ長さに10等分するので、1本分は全体の1/10です。「10本」という数字だけでかけ算を選ばず、求める長さが全体より短いことを確かめます。
2. 全体の長さを10でわり、4.8 ÷ 10と立式します。数字を右へ1つ動かすと、4が小数第一位、8が小数第二位に来ます。
3. 一の位に0を補って0.48mとします。0.48 × 10 = 4.8なので、10本分を合わせるともとの長さに戻ります。

答え：1本の長さは0.48mです。

長さの単位は、問題から答えまでmのままです。数が小さくなったのは単位を変えたからではなく、全体を10等分したからです。文章題では、数の計算と、何の長さを求めたのかをセットで説明しましょう。

つまずきやすいところと直し方

間違い1　10倍なら末尾に0をつける

間違った書き方：0.36 × 10 = 0.360。

どこが違うかというと、小数の末尾に0をつけても、3や6の位が変わっていないことです。0.360は0.36と同じ大きさで、10倍にはなっていません。整数の36を10倍して360と書く場合は、3が十の位から百の位へ、6が一の位から十の位へ移っています。

正しい書き方：0.36 × 10 = 3.6。0を足す作業として覚えるのではなく、3が小数第一位から一の位へ移ったかを確かめます。

間違い2　1/100でも右へ1つしか動かさない

間違った書き方：7.2 ÷ 100 = 0.72。

どこが違うかというと、7が右へ1つしか移っていないことです。100でわるときは、10でわる操作を2回行います。正しい書き方は7.2 ÷ 100 = 0.072です。7.2 → 0.72 → 0.072と途中の数も書くと、2回の変化を追えます。

答えを書く前に「7は小数第二位」と言ってから数字を置く方法も使えます。小数点の移動を頭の中だけで済ませず、空いた位に0を入れるところまで紙に残しましょう。

間違い3　小数点の右を整数として比べる

間違った書き方：0.75 > 0.8。

どこが違うかというと、75と8を同じ位の整数のように比べていることです。0.75は0.01が75個分、0.8は0.01が80個分なので、正しい書き方は0.75 < 0.8です。

図3のように0.70から0.80までを10等分すると、1目盛りは0.01です。0.75は左端から5目盛り、0.8は10目盛り進んだ位置にあります。右にある数のほうが大きいので、数字の個数に惑わされたときは数直線に戻れます。

練習問題

練習1：5.028の2はどの位の数字ですか。また、5.028は0.001を何個集めた数ですか。

練習2：0.709を10倍、100倍、1000倍した数を、それぞれ求めましょう。

練習3：6.3の1/10と1/100の大きさを求めましょう。答えにある0が、どの位を埋めているかも説明しましょう。

練習4：長さ2.5mのひもを同じ長さに10本に分けます。1本の長さは何mですか。また、その長さは0.3mより長いですか、短いですか。

答えと解説

練習1：2は小数第二位で、5028個です。5は5000個分、0.02は20個分、0.008は8個分なので、5000 + 20 + 8 = 5028です。

練習2：7.09、70.9、709です。7を目印にすると、移った先は一の位、十の位、百の位です。7と9の間の0を残します。

練習3：0.63、0.063です。1/10では一の位を0で埋め、1/100では一の位と小数第一位を0で埋めます。もとの6の位をたどって確かめます。

練習4：2.5 ÷ 10 = 0.25より0.25mで、0.3mより短いです。0.3を0.30と書くと、小数第一位の2と3で比べられます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

この位のしくみは、小数のかけ算やわり算で答えの小数点を決めるときに使います。mをcmに直すときにも、同じ長さをどの単位で数えるかと100倍の関係を結びつけられます。

家庭では5分ほどで、次の2つを試せます。1つ目は、料理用の計量カップにある数を1つ選び、その数の10倍と1/10を紙に書くことです。実際の容量を超えて注ぐ必要はなく、数字の位だけをたどります。2つ目は、ものさしを見ながら0.7cmと0.65cmの位置を探し、どちらが長いかを説明することです。

個別指導では、お子さまが答えに迷ったら、小数点の動かし方の前に「0.1が10個で1になる」ところまで戻って確かめます。位取り表に自分で数字を置けるかを見ると、練習を始める場所が定まります。

まとめ

答えが合ったときにも、数字を1つ選び、「この数字は何の位から何の位へ移ったか」とたどってみましょう。たとえば0.406を100倍した40.6なら、4は小数第一位から十の位へ移っています。その説明ができれば、初めて見る小数でも同じきまりを使えます。

ノートの0を消す前に、その0が守っている位を確かめるひと手間が、数の意味をはっきりさせます。小数点の位置には、数字1つ分の大きさを決める理由があります。