数学の復習で個数に小数の答えを残す—文字が表す量から解を確かめる方法｜武蔵野個別指導塾

箱の個数を求める文章題で、3.333… のような解をそのまま答え欄へ書く場面から始めます。式が表す量と問いの量を照合し、小数が出る理由を探して式を作り直す手順を記します。照合できる個数です。

方程式の文章題で、答えの値が 3.333… になったとき、その数字をそのまま解答欄へ写す手順は、次の週の復習まで残ります。方程式の解は、x が表す値そのものです。x が何を表すかは問題文が決めていて、その量には、整数でよいのか、単位は何か、残りはどこへ入ったのかの確認が要ります。最初に照合するものは 3 つで、問題文が聞いている量、自分のノートに書いた式、そして解答欄の単位です。式を解く前の手順を足すのではなく、解いたあとの値の読み方から確かめます。

よくあるのは、中1が宿題のプリントを終えて、答えの欄を埋めている場面です。1 箱に 12 個入ったみかんの箱で、40 個を詰めるときは何箱必要かという問題です。x を箱の個数として 12x = 40 と立てると、解は 10/3、つまり 3.333… でした。計算は合っているのに、答え欄には「3.333… 箱」と小数がそのまま残されます。実在の生徒の話ではなく、整数になるべき答えが小数のまま残る場面として取り上げます。

小数の解は、計算の不足ではなく式の表す量の合図です

まず、取り違えが起きた場所を分解します。上の問題で、12 個入りの箱という条件のままでは、箱の個数が整数になる式は存在しません。40 は 12 の倍数ではないからです。12x = 40 を解いた 10/3 は、正しい計算の結果です。ずれているのは、x が表す量と、問題文が聞いている量です。問いは「全部入れるのに何箱必要か」なのに、式は「箱の中身がちょうど 40 個になるとき」を表していました。

同じ式でも、問いが違えば答えは変わります。求めるのは 40 個をすべて入れる箱の個数です。3 箱で 36 個、残り 4 個は 4 箱目に入れて 4 箱。答えは整数になります。式が表す量と問いがそろえば、解は自然に整数へ寄ります。逆に、小数が出たままなら、式か問いのどちらかにずれがあります。ずれは、計算をやり直す手順では直りません。

復習ノートに「x = 3.333…」の一行だけが残ると、3 つの誤りが同時に残ります。3.333… を丸めずに解答欄へ書き写すこと、単位を書かずに数値だけを残すこと、3 箱で 36 個しか入っていないのに残り 4 個を数えないことです。3 つの誤りは、それぞれ別の失敗ではありません。x の意味を確かめずに値を書き写すという 1 つの手順から生まれます。

図1のように、式から得た値には「箱の個数に使えるか」という確認が入ります。この確認は、計算をやり直す手順ではなく、問いへ戻る手順の入口です。小数が出たことを計算の失敗として片づけるのではなく、式の表す量と問いの量がずれていることを示す合図として使います。

照合の入口は 1 つで、出口は 2 つに分かれます。値が整数で、単位もそろっていれば、その値を書き写してかまいません。整数にならないときや、意味の違う量が混ざっているときは、式か問いのどちらかを組み直します。どちらへ戻るかは、x の意味と問題文の語を並べて読むだけで決まります。並べずに計算を続けると、小数への反応が遅れます。

この取り違えは、計算の速さとも深さとも別に残ります。ノートに書く量は変わらないのに、次の週になってはじめて意味が分かれるからです。だからこそ、答えの欄だけを写すのではなく、解のそばに x の意味と「その値を使ってよいか」を 2 行で残します。2 行の書き残しは、答えの正しさの説明そのものでもあります。

問題文の問いを拾い直してから、式を作り直す手順

ここから先は、問題文へ戻って答えを作り直す手順です。順序は入れません。問われている量を先に文字にして、そのあとで式を立てます。途中で迷ったら、問われている量の書き直しに戻ります。

1 つめは「問われている量」を一文で書き出すことです。例なら「40 個のみかんを 12 個入りの箱に入れるとき、必要な箱の個数はいくつか」と書きます。書き出すときに、問題文にある数 40 と 12 を、求める量である箱と切り離します。問題文には「箱に詰める」としか書かれていなくて、「ちょうど詰めるのか、すべて入れるのか」が書かれていないこともあります。この 1 文を作らずに式を立てると、x が何を表すかがあとで消えます。

2 つめは、自分の式のそばに x の意味を書き添えることです。「x は箱の個数」と 1 行で書きます。x の意味を書かずに解くと、解答のあとで x が何だったのかが分からなくなります。ノートへ式を写すときも、x の意味とセットにします。書き写すだけのノートは、検算の記録にもなりません。

3 つめは、解を計算する前に予想をつけることです。箱の個数なら 0 以上の整数、箱の中身なら 12 の倍数。このような予想を立ててから解けば、小数が出た瞬間に「予想と合わない」と気づけます。答えを計算する段階より先に型を予想しておくと、小数への反応が速くなります。

4 つめは、解を式へ戻して代入で確かめることです。x = 10/3 を 12x = 40 に戻すと、12 × 10/3 = 40 となって式は成り立ちます。つまり検算は通ります。検算が通ったから正解、とは限らないのが、ここでの要点です。検算が確かめているのは計算の整合で、量の整合はまだ確かめていません。検算のあとに、値を箱の個数として使えるかを、もう 1 つ照合します。

5 つめは、そこで整数にならない場合の分岐です。まず式が表す量と問題文の問いが同じかを照合します。上の例なら、式は「箱の中身がちょうど 40 個」でした。問いは「40 個をすべて入れるのに何箱必要か」です。両者が違うので、式を作り直します。3 箱で 36 個入ることと、残り 4 個を 4 箱目に入れることを 2 段で書き、答えを 4 箱とします。残り 4 個は切り捨てません。式を作り直すときは、問題文の語をそのまま式へ移します。「すべて入れる」を「ちょうど詰める」に置き換えても、式は 12x = 40 のまま残ってしまいます。

もう 1 つの分岐は、式が表す量が整数にならないのではなく、問われている量自体が整数でない場合です。道のりや重さを問う問題では、x が整数になるとは限りません。整数になるとは限らない量では、小数が出ても「式が間違っている」とは言えません。問われている量の型を先に確かめてから、小数を残すかどうかを判断します。

途中で止まるのは、式を直してもまだ整数が合わないときです。ここでは変数を増やします。箱の個数を x、1 箱の個数を 12、みかんの総数を 40 と、3 つの数を並べて、問題文の語と対応させてから式を書き直します。並べたときに同じ数を 2 回使っていた、あるいは 1 回しか使っていなかった、という書き方の誤りが見つかれば、そこがずれの根源です。書き直した式は、前の式より長くなります。前の式も消さずに残しておくと、誤った式と正しい式が同じノートの隣どうしに置かれるので、比べられます。どの語を式のどこへ入れたかが、差の形として残ります。

訂正したあとは、もう一度手順 3 と 4 を通します。予想、検算、量の照合の順です。終えたら、復習ノートには「問い、式、解、照合、答えと単位」の順で 1 段として残します。答えだけを写す欄を作らないことが、効きやすい手順です。欄の順番が決まると、値を書き写す前に量との照合が 1 回入ります。照合の結果は「10/3 は箱の個数として使えない」のように言葉で残します。図2のように、この順番をたどると、書き直した式がどこへ戻ったかを自分のノートで追えます。

書き直した式は、前の式と上下に並べて残します。前に書いた 12x = 40 と、書き直した 3 箱と残り 4 個の 2 段の式を 1 段の中に置いておくと、次に同じ型の問題が出たとき、最初に迷った場所まで戻れます。誤った式を消さないのは、誤りの形を残すためで、叱るためではありません。

丸めだけでは片づかない、ほかの取り違え

小数のまま残すのとは逆の失敗もあります。3.333… を見て、3 箱だと決めて終える形です。3 箱で入るのは 36 個で、40 個は入りません。切り捨ての判断をするときにも、元の問題文の条件を照合します。すべて入れるという条件なら 4 箱、ちょうど詰めるという条件なら「箱が埋まる 3 箱と余り 4 個」と書けます。どちらの問いだったかは、問題文の語から決まります。

もう 1 つは切り上げです。体育の発表の立ち位置を 240 人で割り、1 組 36 人で割る場面を考えます。240 ÷ 36 は 6.666… です。7 組と丸めると 7 × 36 = 252 人となり、240 人を超えます。6 組で 216 人、残り 24 人です。最後の組を 24 人で置くなら 7 組で収まりますが、7 組目を満席にする条件なら 7 組は条件を満たしません。切り上げの操作そのものを否定するのではなく、丸めたあとで元の条件を照合する手順を別に用意します。図3のように、丸める前の段階で確かめる点を決めておくと、切り上げも切り捨ても同じ手順で扱えます。

近似を書くときの基準がないことも失敗になります。「約 3.3 箱」と書いても、何を基準に丸めたのかと、残りをどうしたのかが読めません。基準は問題文の条件から決めます。条件が「すべて入れる」なら 4 箱と書き、3 箱と余り 4 個という内訳も添えます。基準の違う書き方だと、あとで読み返せません。

小数でよい場面もあります。整数 cm に割り切れないとき、小数の答えが出ます。25 cm の紙を 4 等分すると、1 切れの長さは 6.25 cm です。道のりや重さのように、整数である必要のない量では、小数の答えはそのまま使えます。見分ける基準は「その量が個数や人数や回数であるかどうか」です。箱の個数と道のりでは、求める量の型が違うので、判定のしかたも別になります。小数を消したり直したりするのは、型が整数である量を問われているときだけにします。

自分の記録へ戻すときは、ノートを「解の記録」ではなく「照合の記録」にします。問われている量、x の意味、式、解、照合の結果、答えと単位の 6 項目を 1 段で残します。解が 3.333… だった段落は、誤答として消さず、「この値は箱の個数として使えない」と書いたまま残します。次に同じ型の問題を見たとき、その 1 行が判断の材料になります。解いた答えだけを写すノートは、次の問題でも同じ取り違えが繰り返されます。

確かめの問題

ここまでの手順を、自分の数字で確かめてください。使う数字と例は、本文の例と変えています。解答のあと、間違えた場合は戻る場所を示します。

問1. 1 箱に 8 個入るカードの箱が 1 つあります。カードが 38 個あります。カードをすべて入れるには、箱が何箱必要ですか。

解答. 38 ÷ 8 = 4.75。箱の個数は整数です。4 箱では 32 個で、6 個が余ります。残りも入れるなら 5 箱です。5 箱なら余裕をもって入れられます。戻る場所は、問われている量を書き出した 1 文です。「何箱必要か」と「箱の中の個数」のどちらを問う文かを読みます。箱の中に何個あるかを問う文なら、答えは 38 のままです。

問2. みかんを A と B に分けます。A のほうが 5 個多く、合わせて 23 個です。A には何個入っていますか。

解答. x を A の個数として x + (x + 5) = 23 と置くと、2x = 18 で x = 9。A は 9 個で、B は 14 個です。検算は 9 + 14 = 23 で確かめられます。戻る場所は、式のそばに書いた x の意味です。5 個という差を式に入れずに 2x = 23 と置くと x = 11.5 となり、差の条件を落としてしまいます。

問3. 道のり 15 km を 4 日に分けて進むとして、1 日あたり何 km 進みますか。

解答. 15 ÷ 4 = 3.75 km です。道のりは整数である必要がないので、小数のままで使えます。問われている量が道のりであることを確かめてから、3.75 と書きます。戻る場所は、求める量の型を確かめなかった箇所です。個数・人数・回数を問う文だったなら、小数が出た時点で式と問いのずれを疑います。

問4. 5x = 14 と 7x = 21 の 2 つの式について、それぞれの解が「個数」を表す値として使えるかどうかと、その理由を書いてください。

解答. 5x = 14 の解は 2.8 なので、個数として使えません。7x = 21 の解は 3 なので、個数として使えます。理由は、値を求める式と、求める量の型がそろっているかどうかです。戻る場所は、x が何を表す量かを書き直す 1 文です。

問5. ボールを 2 つの箱に入れます。多いほうの箱は少ないほうより 5 個多く、合わせて 26 個です。少ないほうの箱には何個入っていますか。

解答. x を少ないほうの個数として x + (x + 5) = 26 と置くと、2x = 21 で x = 10.5 となります。10.5 個という答えでは、少ないほうの箱が 0.5 個分になります。整数にならないので、式を直す前に条件のほうを疑います。少ないほうの個数を a とすると、a と a + 5 の和は奇数で 21 となり、26 個の条件と 맞いません。問題文の数字を確かめます。合わせて 27 個なら 2x = 22 で x = 11 個、多いほうは 16 個となり、条件を満たします。戻る場所は、問われている量と、問題文にある数字です。

授業で確かめる点

方程式の文章題で、まず x の意味を言えるかに注目します。次に、解が小数や分数になったときに「これは何の個数かもしれない」と気づけるかです。この 2 つを授業では確かめます。ノートに x の意味を書かせると、解答のあとで値が何を表すかを確認できます。整数にならない値が出たときは、計算をやり直すのではなく、問題文の問いを拾い直すようにします。単位を書かない解答は、書かなくても読めてしまうため見過ごしやすいので、解答欄の横の欄に単位を入れる習慣にします。

お子さまが家庭で確認する場面では、ノートを開いて、問い、式、照合の順で説明できるかどうかを確かめます。説明できるなら手順は身についています。説明の途中で「x が何か」が曖昧になったら、そこに戻ります。手順をそろえても、点数の変化までは約束できません。こちらで確かめるのは、値と量の対応が書けているかどうかだけです。

結び

小数の解が出た夜に最初に見つめ直されるのは、計算の精度ではなく x の意味です。問われている量と式が表す量がそろってはじめて、解答欄への書き写しがはじまります。小数を消さずに残した記録は、次に同じ型が出たときの近道になります。問い、式、値、照合、単位の 5 つが並んでいれば、答えの理由が 1 行で読み返せます。