高校情報I データの尺度—数字の意味から並べ替えと集計の可否を判断する｜武蔵野個別指導塾

設備番号と満足度、摂氏温度と長さを比べ、数字の意味に合った並べ替えや集計を選びます。

よくあるのは、設備番号の平均を求め、それを設備の特徴として報告するという場面です。番号が数字で書かれていても、その大小や差が設備の性質を表すとは限りません。まず何を記録した数字かを定義し、その意味が保たれる比較や集計を選びます。

出方には、項目を4種類の尺度に分ける型、項目定義書から計算の意味を判定する型、番号の付け直しや単位の変更で結論が保たれるか調べる型があります。どの型でも、見た目の数字より先に記録の約束を読みます。

数字が表す関係を定義する

データの尺度は、値の間にどんな関係があるかを整理する考え方です。設備の種類のように分類を表すものを質的データ、長さのように量を表すものを量的データと呼びます。分類に数字を割り当てても、数字自体が量になるわけではありません。数値か文字かという保存形式だけでは判定できません。

図1のように、名義尺度から順序尺度、間隔尺度、比例尺度へと、解釈できる関係が増えます。境界は項目の定義に基づきます。同じ数字の列でも、番号なのか、順番なのか、測定値なのかで答えが変わります。

図1の名義尺度では、値が同じか違うかを区別します。設備番号を付けた目的が識別なら、番号の大小から新旧や性能は判断できません。各番号の件数は数えられますが、番号の平均は設備の平均的な性質を示しません。番号を対応を保って付け直しても、同じ設備が同じ設備である関係は変わらないからです。

順序尺度では、同じか違うかに加えて順番を比べられます。満足度を「不満」「普通」「満足」の順に並べ、1、2、3を割り当てたとします。3は1より上ですが、1から2への心の変化と2から3への変化が等しいと、この定義だけでは決まりません。中央値や各段階の件数は順位を使って説明できますが、符号の平均を満足の量として扱うには等間隔などの追加の前提が必要です。

間隔尺度では差に意味があります。摂氏温度なら、12℃と18℃の差は6℃で、18℃と24℃の差も6℃です。ただし摂氏の0℃は温度の量がないことを意味しません。20℃が10℃の2倍の温度だと摂氏の数字からは言えません。平均や差を考えるときも、同じ対象・条件で測った値かを先に確認します。

比例尺度では差に加え、0が量のない状態を表すため、0でない値を基準とした比にも意味があります。長さが4 mと2 mなら前者は後者の2倍です。0 mは長さがない状態です。ただし基準値が0 mなら、何倍かを割り算で表せません。0という数字が書かれているだけで比例尺度とは決まらず、その0が何を意味するかが必要です。

項目定義書には、項目名、対象、単位や選択肢、符号の意味、欠損の扱い、尺度、許される比較を記します。空欄を0にすると、未記録が「量がない」や特定の選択肢に変わることがあります。異常な値や単位不明の値も、勝手に直さず元の記録と照合します。尺度が合っていても、測り方や対象が偏っていれば、集計結果を広い集団へそのまま当てはめられません。

基本例題: 設備表の項目定義を作る

学習用の設備表には次の4行があります。番号は識別用で、大小に意味はありません。満足度は1が不満、2が普通、3が満足で、順序のみを定めます。温度は同じ方法で測った摂氏温度、長さは同じ単位で測ったケーブルの長さです。欠損はありません。

各項目を尺度に分類し、番号の平均、満足度の中央値、温度の平均、長さの合計の意味をそれぞれ答えてください。中央値は値を順に並べ、中央の2値が同じ場合はその値とします。温度は℃、長さはmで答えます。図2のように、分類と集計を別々に判断します。

まず設備番号は識別の符号なので名義尺度です。10、20、30、40の平均は25と計算できますが、25という番号が代表設備を表す根拠はありません。番号を10、20、30、40から同じ順に100、200、300、400へ変えれば平均は250になりますが、設備は変わりません。

次に満足度は順序尺度です。1、2、2、3と並べると中央の2値はいずれも2です。中央値は2、つまり普通です。4行のうち不満1行、普通2行、満足1行に戻り、件数の合計も4行です。2と3の差が1だからといって、満足の変化量が等しいとは決めません。

温度は間隔尺度です。12、18、24、18の合計は72℃です。

72 ÷ 4 = 18℃

各温度から18℃を引くと、差は順に-6、0、6、0℃で、その合計は0℃です。これで平均を元の4測定値に戻して確かめられます。18℃が12℃の1.5倍の温度という解釈はしません。

長さは比例尺度です。2、4、6、4 mを足すと16 mです。対象が別々のケーブルで重複がないので、合計は4本をつないだ長さとして読めます。例えば同じケーブルを2行に記録していたなら、合計16 mを異なるケーブルの総延長とは報告できません。図2の尺度の分類が正しくても、行の意味まで点検する必要があります。

標準例題: 付け直しで順序を点検する

展示設備の使いやすさを「使いにくい」「普通」「使いやすい」の順に調べ、3人が順に「使いにくい」「普通」「使いやすい」と答えました。記録方法Aは順に1、2、3、記録方法Bは順に1、2、10を割り当てます。どちらも選択肢の順序だけを表す約束です。各方法の符号の平均を分数または整数で、中央の選択肢を言葉で答え、平均の解釈を説明してください。欠損はありません。

Aの符号の合計は1 + 2 + 3 = 6です。

6 ÷ 3 = 2

Bの符号の合計は1 + 2 + 10 = 13です。

13 ÷ 3 = 13/3

どちらも選択肢を低い順に並べると、中央は「普通」です。元の回答に戻すと、3人の選択肢は同じで、各選択肢の人数も1人ずつです。それなのに符号の平均は変わります。順序を保つ付け直しだけで平均が変わるので、平均値を選択肢から決まる使いやすさの量として解釈することはできません。

順序尺度で平均が絶対に計算不可能という意味ではありません。数として入力すれば計算機は答えを出します。等間隔とみなす根拠を別に置いた分析も考えられますが、ここで与えたのは順序だけです。集計の目的が分布の把握なら、各段階の人数と中央値を併記すれば、符号の間隔を勝手に作らずに伝えられます。

反対に、単なる識別番号を小さい順に表示することはできます。表示の順を決める操作と、設備自体に大小の意味があると主張することは別です。順序が選択肢の内容に結び付いているかを確かめると、数字による見かけの並べ替えに引きずられません。

発展例題: 温度と長さの変換を比べる

学習用の記録で、2地点の温度は10℃と20℃、2本の棒の長さは2 mと4 mでした。温度は、ここで定める別の表記として各値に100を足して表します。棒の長さは1 mを100 cmとして換算します。元の表記と変換後のそれぞれで、大きい値から小さい値を引いた差と、大きい値を小さい値で割った比を求めてください。温度の差は各表記の単位、長さの差はmまたはcmで示し、比は分数または整数で示します。

温度の元の差は20 − 10 = 10℃です。

温度の元の数字の比は20 ÷ 10 = 2です。

別の表記では110と120になり、差は120 − 110 = 10です。

別の表記の数字の比は120 ÷ 110 = 12/11です。

差は変わらず、比は変わりました。別の表記から100を引くと10℃と20℃へ戻ります。同じ温度の組なのに数字の比が変わるため、摂氏の数字だけから一方が他方の2倍という結論は出せません。この表記は原点の違いを考えるための問題内の約束です。

長さの元の差は4 − 2 = 2 mです。

元の比は4 ÷ 2 = 2です。

換算後は200 cmと400 cmで、差は400 − 200 = 200 cmです。

換算後の比は400 ÷ 200 = 2です。

200 cmは2 mに戻り、比も2のままです。単位が変わると差の数字は変わりますが、単位を含めた長さの差は同じです。温度の0は摂氏の基準点であり、長さの0は長さがない状態です。この違いが比の解釈を分けます。

比が意味を持つ尺度でも、測定の目的を無視してよいわけではありません。2本の棒が違う条件で測られたなら、比の計算が正しくても、その差の原因を断定できません。尺度は計算の意味を点検する入口であり、対象の選び方、測り方、記録の正確さまで保証するものではありません。

誤答を直す: 設備番号の平均は何を表すか

設備番号が4、8、12の3台を考えます。番号は識別用で、設備の大きさや性能とは無関係です。「平均は8だから、設備の平均的な性能は8である」という報告を検討します。図3のように、計算の正しさと結論の正しさを分けます。

計算自体は4 + 8 + 12 = 24、24 ÷ 3 = 8で合っています。しかし8は番号の平均であって、性能の測定値ではありません。番号4を40、8を80、12を120と付け直しても、元の設備と対応させれば3台の性質は変わりません。その平均は80になり、報告する数は変わってしまいます。

修正するには、番号を設備の識別に使い、性能を表したいなら別に測定項目と単位、測定条件を定めます。例えば長さを測る目的なら、各設備の対象部分を同じ方法で測り、長さの列を作ります。元の番号列だけから性能値を復元することはできません。図3の修正は、平均を別の数に置き換えることではなく、何を測るかを定義し直すことです。

欠損にも同じ注意が必要です。番号が空欄の行を番号0の設備として数えると、元の識別情報を作り足したことになります。空欄は未記録として残し、元の台帳を確認します。確認先が使えない場合は未確認のまま件数を分けて報告し、推測した番号で平均や分類を作りません。

練習: 項目の意味を表へ戻す

次の5問はそれぞれ独立した学習用の設定です。空欄は未記録を表し、0とは区別します。指定の形で答えてください。

1. 座席を識別するため、席に7、9、11という番号を付けました。番号の平均を整数で求め、席の広さを表すかを理由とともに答えてください。番号の大小と広さの関係は定義されていません。
2. 混雑の程度を「少ない」「普通」「多い」の順とし、それぞれ1、2、3と符号化します。4回の記録は3、1、2、2でした。順序尺度として並べた列と中央値を符号と選択肢で答えてください。中央の2値は同じです。
3. 室内の摂氏温度が14℃、16℃、18℃でした。平均と最高値と最低値の差をそれぞれ℃で求め、「18℃は14℃の温度の9/7倍」という主張の可否を理由とともに答えてください。
4. 3本のひもの長さが3 m、5 m、7 mです。合計をmで、最長と最短の比を分数で答え、合計を元の3本に照らして確認してください。3行は重複のない別々のひもです。
5. 記録表の「器具の色」は1が青、2が赤で、空欄は未記録です。4行が1、2、空欄、1のとき、尺度、色別件数、未記録件数を答えてください。空欄を2に変えた表を確定結果に使ってよいか、理由も述べてください。

練習の答えと解き方

1. 席の識別

7 + 9 + 11 = 27です。

27 ÷ 3 = 9です。

平均は9ですが、広さは表しません。番号は名義尺度の識別符号で、数字と広さを結ぶ定義がないためです。3席の番号を元の列に戻すと7、9、11であり、平均9はたまたま存在する番号と一致しています。一致していても、その席が平均的な広さだとは言えません。広さを知るには面積などを別に測定します。

2. 混雑の順序

低い順の列は1、2、2、3です。中央の2値は2と2なので、中央値は2、選択肢では「普通」です。元の4回に戻すと、少ない1回、普通2回、多い1回で合計4回です。順序を使った答えなので、符号の差が等しい混雑の差だという前提は不要です。記録が空欄だった回は、勝手に少ないへ入れず別に数えます。

3. 温度の差と平均

14 + 16 + 18 = 48℃です。

48 ÷ 3 = 16℃です。

18 − 14 = 4℃です。

平均は16℃、差は4℃です。16℃からの差は順に-2、0、2℃で合計0℃となり、3つの値に照らして平均を確認できます。摂氏温度は間隔尺度で、0℃は温度がない状態を示さないため、数字の比9/7を温度の比とする主張は採用できません。温度差が4℃という判断とは区別します。

4. ひもの合計と比

3 + 5 + 7 = 15 mです。

7 ÷ 3 = 7/3です。

合計は15 m、最長と最短の比は7/3です。15 mから5 mと7 mを引くと3 mで、残りの1本に戻ります。最短が0 mなら比の分母が0になり、この割り算はできません。今回は最短が3 mなので比を求められます。重複のない3本という条件があるため、合計は3本分の長さを表します。

5. 色と未記録

色は順序を定めない分類なので名義尺度です。青は2行、赤は1行、未記録は1行です。2 + 1 + 1 = 4行で元の表の件数に戻ります。空欄を赤に変えると赤が2行となり、未記録の器具が赤だったと根拠なく決めたことになります。確定結果には使わず、元の記録を確認するか、未記録として分けて示します。数値の2は赤という符号であり、青の2倍の色という意味ではありません。

覚えておくこと

• 名義は区別、順序は区別と順番を表します。
• 間隔は差、比例はさらに0でない基準に対する比を解釈できます。
• 数字の見た目ではなく、項目の定義と0の意味を確認します。
• 空欄は未記録として扱い、0や選択肢に勝手に変えません。
• 尺度に合う計算でも、対象と測定条件を確かめます。

設備番号を平均したくなったら、番号を付け直しても結論が変わらないか試します。順序の符号で迷うときは、選択肢の言葉に戻し、隣り合う段階の差が定義されているか確認します。個別指導では、項目定義書の各行に「何を比べるか」と「その根拠」を書き、温度の差と比、長さの単位換算を一緒に点検します。数字の役割を先に定めると、集計結果に言えることの境界が見えます。