中3数学 因数分解と共通因数—全項に共通する数と文字を先にくくり出す｜武蔵野個別指導塾

係数と文字の共通部分を探し、負の符号や括弧の中も点検します。積へ直す要は共通因数です。

よくあるのは、式の最初の2項から文字をくくり出し、最後の項をそのまま括弧の後ろに残す場面です。たとえば3つの項がある式で、2つの項にしかない文字を全体の外へ出すと、残った項にはその文字が掛かっていません。何をどの範囲に掛けたかを見失うと、見た目は積に近くても元の式へ戻りません。各項を分けて共通部分を探し、最後に展開して戻すところまで追いましょう。

どの項をまとめ、どこで止めるか

共通因数を使う問いには、見分けたい形が3つあります。1つ目は、係数と文字を比べ、全項に共通する部分を括弧の外へ出す形です。数の最大公約数と文字の少ない方の指数に着目します。2つ目は、先頭の項が負のときなどに、負の数や文字をまとめてくくり出す形です。括弧の中の符号がどう変わるかを確かめます。

3つ目は、くくり出した後にも括弧の中を積の形に直せる場合です。最初の共通因数を出したところで止めず、残った式に使える公式があるかを見ます。展開して元の式へ戻ることは変形が正しいかを調べる方法です。一方、元に戻るだけでは、さらに分解できる部分が残っていないかまでは判定できません。正しさと終了の両方を見ることが到達点です。

ここでは整数係数の式を扱い、整数係数の範囲で共通因数と乗法公式を使って分解を進めます。複雑な数の組を探す方法には広げず、各項から共通部分を取り出す判断に焦点を当てます。

足し算を積へ戻す仕組み

因数は、積を作っているそれぞれの式や数です。たとえば a(b + c) では a と (b + c) が因数です。分配法則によって a(b + c) = ab + ac となるので、逆に ab + ac を a(b + c) と書き直せます。和や差の形を、いくつかの因数の積で表すことを因数分解といいます。

共通因数とは、調べる各項に掛け算の一部分として現れる因数です。項は足し算や引き算で区切って考えます。引き算の後の項は、その符号も含めて見ると間違いが減ります。図1のように 12x² と 18x の両方を分けると、6x が共通し、残りはそれぞれ 2x と 3 です。

図1の各項では、6x と残りを掛けると元の項に戻ります。したがって全体は 6x(2x + 3) です。6 は 12 と 18 の最大公約数であり、x は x² と x の両方にある文字です。文字は x が2個と1個ですから、両方から取り出せる個数は1個です。x² を外に出すと 18x からは整数係数の文字式として取り出せません。

たとえば 8x²y と 12xy² なら、係数の最大公約数は 4、両項にある文字は x と y がそれぞれ1個です。共通因数は 4xy で、残りは 2x と 3y です。ある項にしかない文字は共通部分へ入れません。定数項があるときも同じです。6x + 9 には数の 3 は共通しますが、9 に x は含まれないため、x は共通因数ではありません。

係数が負なら、正の共通因数を出す方法と、負を含めて出す方法があります。どちらも展開して元に戻れば等しい変形です。負を外に出すと、括弧内の各項の符号は元の項と反対になります。たとえば -4x − 8 = -4(x + 2) です。外の -4 を両方に掛けると、-4x と -8 に戻ります。

共通部分を見落とさないための順番

項の数が増えたら、最初の2項だけで決めず、最後の項まで同じ候補を当ててみます。たとえば 10x² − 15x + 25 は、係数の共通部分が 5 です。最初の2項には x がありますが、最後の 25 には x がないので、全体の共通因数は 5 です。5(2x² − 3x + 5) を展開すると、10x² − 15x + 25 に戻ります。途中の引き算の符号も残りの -3x に含めます。

文字が複数ある場合は、それぞれを独立に数えます。たとえば 20a³b² と 30a²b³ なら、数は 10、a は2個、b は2個が共通です。したがって 20a³b² + 30a²b³ = 10a²b²(2a + 3b) です。a の多い項と b の多い項が違っても、文字ごとに少ない指数を選べば両方に掛け戻せます。

共通因数を探すとき、1つの項を別の項で割って比べる必要はありません。それぞれを同じ因数との積に分け、残りが文字式として書けるかを確かめます。この見方なら、文字に 0 を代入した場合も含め、分配法則によって等しい式として扱えます。

基本例題：残りを項ごとに作る

次の式を、整数係数の範囲で因数分解し、積の形で答えてください。

12x² + 18x

まず係数 12 と 18 の最大公約数は 6 です。文字は x² と x の両方から x を1個取り出せます。よって 6x を外に出し、それぞれの項が 6x に何を掛けたものかを考えます。

12x² + 18x
= 6x・2x + 6x・3
= 6x(2x + 3)

図2のように、外の 6x は括弧の中の2つの項の両方に掛かります。最初の項は 6x・2x = 12x²、次の項は 6x・3 = 18x です。したがって展開すると、問題の式に戻ります。括弧内の 2x + 3 は、この範囲ではさらに共通因数を取り出せないので、ここで答えとします。

途中で 3x(4x + 6) と書いても、展開すれば元の式に戻ります。ただし括弧内の 4x と 6 に共通因数 2 が残っています。そこからもう一度くくれば 3x・2(2x + 3) = 6x(2x + 3) です。最初に最大の共通因数を選ぶと、残りを整理する回数を減らせます。

標準例題：負を外に出した後の符号

次の式を、先頭の項が正になる括弧を使って因数分解し、積の形で答えてください。

-15x² + 20x

係数の絶対値 15 と 20 の最大公約数は 5 で、どちらの項にも x が1個あります。先頭の項が負なので、-5x をくくると括弧の最初の項が正になります。各項を -5x との積に分けます。

-15x² + 20x
= -5x・3x + (-5x)・(-4)
= -5x(3x - 4)

外の -5x と 3x の積は -15x²、外の -5x と -4 の積は +20x です。負と負の積が正になるため、元の正の項から負をくくると括弧内は負になります。括弧の中には数と文字の共通因数が残っていません。

正の 5x をくくった 5x(-3x + 4) も、同じ式を表します。ただし、この問題では先頭の項が正になる括弧を指定したので、-5x(3x − 4) が求める形です。括弧の形に指定がない場合は、どちらの形も展開して元の式に戻るかで確かめられます。

発展例題：共通因数の先にある形

次の式を、整数係数の範囲で可能なところまで因数分解し、積の形で答えてください。

6x³ − 54x

係数の最大公約数は 6 で、文字は両方に x が1個あります。まず 6x をくくり、括弧の中を見ます。

6x³ - 54x
= 6x・x² - 6x・9
= 6x(x² - 9)
= 6x(x + 3)(x - 3)

括弧内の x² − 9 は、x の二乗から 3 の二乗を引いた形です。(x + 3)(x − 3) を展開すると x² − 3x + 3x − 9 = x² − 9 となります。この差の平方の形を使うことで、共通因数を出した後も積を増やせます。

検算は逆順に行います。まず (x + 3)(x − 3) = x² − 9、次に 6x(x² − 9) = 6x³ − 54x です。元の2項に戻り、残る2つの括弧にも共通因数はありません。6x(x² − 9) は途中の式としては正しいものの、さらに分解できるので、この問題の最終形としては足りません。

分かれ目は、外へ出す文字が全項にあるかと、括弧内がどの形かです。x² − 9 なら平方の差ですが、x² + 9 は足し算なので同じ公式は使えません。たとえば (x + 3)(x − 3) は x² + 9 ではなく x² − 9 に戻ります。符号までそろって初めて公式を使えます。

別の順序として 3x を最初にくくると、3x(2x² − 18) です。括弧内からさらに 2 をくくって 6x(x² − 9) とし、同じ答えへ進めます。途中のくくり方が小さくても等式は保てますが、最後に積の各部分を見直す必要があります。外の x を取り出す際に x = 0 を除く必要はありません。ここでしているのは等式の変形であり、x で割って方程式を解く操作ではないためです。

間違いを元の項まで戻して直す

次の誤答を考えます。

8x² + 12x + 4
= 4x(2x + 3) + 4

右辺を展開すると 8x² + 12x + 4 となるので、等式自体は正しいです。しかし右辺は和が残っており、式全体を積の形にしていません。図3のように最初の2項からは 4x を出せても、最後の 4 には x がないため、3項全部の共通因数に x を含めることはできません。

3項の係数 8、12、4 に共通する最大の正の整数は 4 です。図3で最後の項にも共通する 4 を選ぶと、次のように全体を積にできます。

8x² + 12x + 4
= 4(2x² + 3x + 1)
= 4(2x + 1)(x + 1)

最後の2つの括弧を掛けると 2x² + 2x + x + 1 = 2x² + 3x + 1 です。さらに 4 を各項に掛ければ元の式に戻ります。ここでは最後に示した積を展開して確かめます。共通因数を出した直後の式が正しいことと、そこで分解が終わっていることは別々に点検します。

別の誤りは、8x² + 12x + 4 を 4x(2x + 3 + 1) とすることです。展開すると最後は 4x になり、元の定数項 4 と一致しません。たとえば x = 0 を代入すると元の式は 4、誤った式は 0 です。1つの値で違えば等しい式ではないと判断できます。ただし、1つの値で一致しただけでは、どの値でも等しいことにはなりません。各項への分配で確かめましょう。

符号も同じように戻します。-6x + 12 を -6(x + 2) とすると、展開結果は -6x − 12 で、最後の符号が違います。正しくは -6(x − 2) です。正の 12 を作るには、外の -6 と内の -2 を掛ける必要があります。外の負号を見たら、括弧の中の各項をそれぞれ掛け直す習慣をつけます。

自分で確かめる5問

いずれも整数係数の範囲で、可能なところまで因数分解し、積の形で答えてください。答えは5問の後にまとめています。

1. 14x² + 21x
2. 18a²b − 24ab²
3. -8y² − 12y。ただし、括弧の先頭の項を正にしてください。
4. 5t³ − 80t
5. 9z² + 6z + 1

答えとたどり方

1. 係数の最大公約数は 7、両項にある文字は x です。14x² = 7x・2x、21x = 7x・3 なので、答えは 7x(2x + 3) です。展開すると 14x² + 21x に戻り、括弧内には共通する数や文字が残りません。

2. 係数の最大公約数は 6 です。a は少ない方が1個、b も少ない方が1個なので、6ab をくくります。18a²b = 6ab・3a、-24ab² = 6ab・(-4b) から、答えは 6ab(3a − 4b) です。各項に掛け直すと 18a²b − 24ab² に戻ります。a と b の指数を、各項で別々に数えたことを確認してください。

3. 絶対値 8 と 12 の最大公約数は 4、両項には y があります。括弧の先頭を正にするため -4y をくくると、答えは -4y(2y + 3) です。-4y・2y = -8y²、-4y・3 = -12y で、両方とも問題の項へ戻ります。両項が負だからといって括弧内も両方負にすると、展開後は正になってしまいます。

4. 共通因数は 5t です。5t(t² − 16) となり、括弧内は t² − 4² なので、答えは 5t(t + 4)(t − 4) です。(t + 4)(t − 4) = t² − 16 を作ってから 5t を掛けると、5t³ − 80t に戻ります。差の平方かどうかを見る前に、全項の共通部分を確認する順序です。

5. 各項の係数の最大公約数は 1 で、定数項には z がありません。そこで括弧を作る前の式全体を見直します。9z² は (3z)²、1 は 1²、中央の 6z は 3z と 1 の積を2倍した形です。答えは (3z + 1)² です。展開すると 9z² + 3z + 3z + 1、すなわち 9z² + 6z + 1 に戻ります。外へ出す共通因数が見つからない場合も、式全体に公式を使えるかを調べます。

覚えておくこと

各項の係数の最大公約数と、全項にある文字を探します。
負をくくるときは、外の因数を各項に掛けて符号を戻します。
括弧の中に共通因数や公式で分解できる形がないか見ます。
最後は積を展開し、元の各項と符号に戻るか確かめます。

答案のどの行から立て直すか

お子さまの答案で、最初の変形から元に戻らないときは、外へ出した因数を括弧の各項へ掛ける行を書いてみてください。ある項だけ違えば、共通部分の見落としか、その項の残りの計算に原因を絞れます。定数項があるのに文字を外へ出した場合は、定数項にその文字があるかを先に確認します。

元に戻るのに答えが途中で終わる場合は、最後の括弧に印を付けて、係数、文字、平方の形と符号を順に見直します。個別指導で確かめるなら、正答を言い直すだけでなく、どの項から何を出し、何が残ったかを本人の言葉で説明してもらうと、手順の切れ目が見えます。等式が正しいことと分解が終わっていることを分けて確かめれば、共通因数を使う判断は次の式にもつながります。