中3数学 乗法公式の選び方—和と差と二乗の形を見分けて展開を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

二項式の二乗で中央の項が生まれる理由と、和と差の積で交差項が消える条件を比べ、係数付きの式に使う公式を見分けます。

よくあるのは、二乗を各項の二乗の和として処理する場面です。(x+3)²をx²+9と書くと、両端の項は合っていても、その間に生まれる積が抜けています。括弧の中を眺める前に、二乗が同じ括弧を2回かける記号だと戻してみましょう。和の二乗と和と差の積は見た目が似ていますが、真ん中の項の働きが違います。

どの形を見分けるか

問われ方には、まず二項式の二乗を展開する型があります。例えば文字に係数が付いていても、括弧全体を2つの項に分け、その各項の積を追います。次に、同じ2つの項の和と差をかける型があります。こちらは交差する積が互いに打ち消されます。さらに、括弧の順序や符号が変わった式を分類し、なぜその公式を使えるかを説明する型があります。

目標は公式名を当てることだけではありません。どの部分をひとまとまりと見たか、符号が条件に合うか、展開した各項がどこから来たかを説明できることです。平方と和差の積を中心に扱い、因数分解は展開を逆向きに見る話にとどめます。

同じ括弧か、符号が反対か

式を2つの部分A、Bで表すと、和の二乗は(A+B)²です。これは(A+B)(A+B)を意味します。分配法則で、左のAとBのそれぞれに右のAとBをかけると、A²、AB、BA、B²の4つの積が生まれます。ABとBAは等しいので、合わせて2ABです。

(A+B)² = (A+B)(A+B)
= A²+AB+BA+B²
= A²+2AB+B²

差の二乗も、Bを引く同じ括弧を2回かけます。交差する積はどちらも負なので、中央は-2ABです。最後は負どうしの積で正になります。

(A-B)² = (A-B)(A-B)
= A²-AB-BA+B²
= A²-2AB+B²

一方、和と差の積では2つの括弧が同じではありません。Aを共通にし、もう一方の項が+Bと-Bになっています。交差する積は-ABと+BAで、和が0になります。

(A+B)(A-B) = A²-AB+BA-B²
= A²-B²

図1のように、平方では交差する2つの積が同じ符号で残り、和差の積では反対符号で消えます。公式の文字A、Bは1文字に限らず、数や係数付きの文字をまとめた式にも置き換えられます。ただし、置き換えた後に元の括弧と一致することが条件です。

図1の中央の列は、2つの交差する積をまとめた結果です。たとえば(2x+5)(2x-5)ならA=2x、B=5と見られますが、(2x+5)(x-5)ではAに当たる部分がそろいません。後者にそのまま平方差の公式を当てると、2種類の交差する積が等しくならず、消える保証がありません。

係数を含む項の二乗にも注意します。(3x)²は3xを2回かけるので9x²です。3x²では係数の3を1回しか使っていません。また、(A-B)²のBは引かれる部分全体です。符号をどこに含めたかを途中で変えず、式に戻して確認します。

符号を含めて組を作る

同じ文字があることと、同じ項であることは別です。(x+2)(x+2)は2つの括弧が等しいので和の二乗です。(x+2)(x-2)では数の項の符号が反対で、和差の積です。(x+2)(x-3)では数の大きさが違い、どちらにも当てはまりません。この3つを比べるときは、括弧の数や文字だけで決めず、各項の符号と係数まで読みます。

差の二乗を和の二乗として見る方法もあります。(x-4)²は、B=-4として(x+(-4))²と考えられます。中央は2・x・(-4)で-8x、最後は(-4)²で16です。差の公式を使うときはB=4として、中央にあらかじめ付いた引き算を使います。どちらも同じ結果ですが、Bを負にしたうえで差の公式の引き算も重ねると符号を二重に変えるため、どちらの置き方かを明記します。

和差の積の順番は逆でも構いません。(A-B)(A+B)でも交差する積はABと-BAになり、打ち消し合います。ただし(A-B)(B-A)は同じ組ではありません。後者はB-AがA-Bの符号を反転した式なので、各項を分配して符号を確かめます。見た目を整えるとき、括弧全体の符号を変えたかどうかが判断の分岐点です。

公式を覚えた後も、式の左辺に戻して確認できます。平方の公式の中央項が2ABであることは、同じ積が2回出ることから説明できます。和差の積に中央項がないことは、交差項がたまたま書かれていないからではなく、反対符号で和が0になるからです。この違いを説明できれば、暗記した形が曖昧になっても分配法則から作り直せます。

基本：係数のある和の二乗

例題1　(2x+3)²を展開し、xの次数が高い順に整理してください。

2xと3をそれぞれAとBに置きます。図2のように、4つの積を並べてから同類項を合わせます。公式を使う場合も、中央の項は2・2x・3であり、係数も含めて2回現れます。

(2x+3)² = (2x+3)(2x+3)
= 2x・2x+2x・3+3・2x+3・3
= 4x²+6x+6x+9
= 4x²+12x+9

図2の左右の6xは、別々の括弧から選んだ積です。2つが同じ値だからといって1つを捨てるのではなく、足して12xにします。x=1を元の式へ戻すと5²=25です。結果にも1を入れると4+12+9=25となり、この値で一致します。代入の一致は計算の点検にはなりますが、すべてのxでの等式の理由は上の分配法則にあります。

標準：共通する項を探す

例題2　(3x+4)(3x-4)を展開し、xの次数が高い順に整理してください。

両方に3xがあり、もう一方は+4と-4です。したがってA=3x、B=4と置く和差の積です。共通する項の二乗から、符号の異なる項の二乗を引きます。

(3x+4)(3x-4) = (3x)²-4²
= 9x²-16

分配法則でも、9x²-12x+12x-16となり、中央が消えます。x=2なら元の積は10・2=20、結果は36-16=20です。括弧の符号を逆に読み、(3x-4)²と取り違えると、中央に負の項が残る別の式になります。括弧の個数だけでなく、それぞれの符号まで比べます。

発展：見た目を整えて条件を比べる

例題3　(5-2x)(2x+5)を展開し、xの次数が高い順に整理してください。また、和差の積として見る方法と分配法則を比べてください。

左の括弧は5-2x、右は項を並べ替えると5+2xです。項の順序は違いますが、5を共通にし、2xの符号が反対なので和差の積になります。A=5、B=2xと見ると、先に残るのは25、後に引くのは4x²です。

(5-2x)(2x+5) = (5-2x)(5+2x)
= 5²-(2x)²
= 25-4x²
= -4x²+25

分配法則なら、10x+25-4x²-10xから同じ結果に着きます。x=3を元へ入れると(-1)・11=-11、結果は-36+25=-11です。項の順序を整える操作は加法の順序を変えただけです。引き算を勝手に入れ替えて2x-5とすると元の括弧の符号が反転するので、並べ替えた後の各項の符号も確認します。

分かれ目は、2つの括弧で共通部分が本当に等しいかどうかです。たとえば(5-2x)(5+3x)は一方の文字の項の係数が違います。交差する積は15xと-10xで、5xが残ります。見かけが似ていても平方差にできない場合には、各項に分配する方法へ戻せます。公式を選べないことは計算を止める理由ではありません。

抜けた積を見つける

誤答として、(x+3)²=x²+9と書いた答案を考えます。原因は、二乗を足し算のそれぞれに配る操作だと考え、xと3を異なる括弧から選ぶ2通りを落としたことです。図3のように、元の二乗を2つの括弧へ戻し、x・3と3・xを書き足します。

図3の2つの3xを加えると、正しくはx²+6x+9です。x=1なら元は16ですが、誤答は10です。この反例は誤った等式が常に成り立つわけではないと示します。x=0では両方9になってしまうので、1つの値が合ったことを一般の証明には使えません。

別の誤りは、(x-3)²の最後を-9にすることです。最後は(-3)・(-3)=9であり、中央の-x・3に相当する積が2回あるため、x²-6x+9です。さらに(x+3)(x-4)は符号が反対でも、数の大きさがそろわないため交差項は消えません。実際に展開するとx²-x-12です。「符号が反対」という条件に加え、対応する項の大きさも照合します。

形を選ぶ練習

次の5問は、すべて展開して同類項をまとめ、xの次数が高い順に答えてください。3問目と5問目は、使った形の条件も言葉で説明してください。まず5問を続けて考え、その後の解答と照合します。

1. (x+7)²
2. (4x-1)²
3. (2x+5)(2x-5)
4. (6-x)²
5. (x-8)(x+2)

練習の答えと確かめ

1. x²+14x+49です。x²、2・x・7、7²を順に書きます。x=2で元は9²=81、結果も4+28+49=81です。中央を7xにした場合は交差する積が1つ欠けています。

2. 16x²-8x+1です。4xと1の差の二乗なので、中央は-2・4x・1です。x=1では元が3²=9、結果も16-8+1=9です。最後を負にした場合は、負の項どうしの積の符号を見直します。

3. 4x²-25です。共通する項は2xで、残る項は+5と-5という同じ大きさの反対符号です。x=3なら元は11・1=11、結果も36-25=11です。2x全体を二乗するため、最初は2x²ではなく4x²です。

4. x²-12x+36です。6をA、xをBとした差の二乗は36-12x+x²で、次数順に並べ替えます。x=2なら元は4²=16、結果は4-24+36=16です。先頭に文字がなくても、同じ括弧を2回かける形は変わりません。

5. x²-6x-16です。2つの括弧は同じではなく、数の項も-8と+2で大きさが異なるので、平方にも和差の積にも当てはまりません。分配するとx²+2x-8x-16です。x=3で元は(-5)・5=-25、結果も9-18-16=-25です。公式の条件に合わないと判断し、分配法則へ戻ることも選択の一部です。

代入による確認では、元の括弧の値を先に計算し、その積と展開後の値を比べています。負の数を入れる場合は括弧を残して符号を確認します。一致しなければ誤りがありますが、一致してもその1つの値での確認です。一般に等しい理由は各項の積を漏らさない変形に求めます。

計算を途中で止めてしまった場合は、まず4つの積のうちどこまで書いたかを確認します。交差項をまとめる前に符号を付けて並べれば、未計算の部分と、計算したが打ち消された部分を区別できます。答えだけが0に見える場合も、何と何が消えたのかを追うことができます。

手元に残す要点

• 二乗は同じ括弧を2回かけ、交差する積を2つとも数えます。
• 和と差の積は、共通部分が等しく、もう一方が同じ大きさの反対符号のときに使います。
• 係数付きの項は、係数を含む全体を二乗します。
• 条件が合わなければ分配法則で各項の積を作ります。
• 展開後は符号と同類項を見直し、元の式にも値を戻して点検します。

答案のどの行に戻るか

お子さまの答案で中央の項だけがないときは、最初の行を同じ括弧2つに書き直し、左から1項、右から1項を選ぶ組を指で追います。最後の定数の符号が違うときは、負の項どうしの積に戻ります。個別指導で確かめるなら、公式を唱えられるかに加えて、AとBを元の式のどこに置いたかを言葉にしてもらいます。

和差の積と判断した答案では、両方の括弧の共通部分と符号が反対の部分を別々に示せるかを確認します。条件が欠けた式でも同じ公式を使っていれば、交差する2つの積を実際に書き、消えるかどうかを比べます。形の判断と計算の根拠は、括弧を2つに戻すことでつながります。